12.今年四月份,李叔叔收获洋葱30t,黄瓜13t。现计划租用甲、乙两种货车共10辆,将这两种蔬菜全部运往外地销售。已知一辆甲种货车可装洋葱4t和黄瓜1t,一辆乙种货车可装洋葱和黄瓜各2t。
(1)李大叔租用甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(2)若甲种货车每辆要付运费2000元,乙种货车每辆要付运费1300元,请你帮助李叔叔算一算应选哪种方案才能使运费最少。最少运费是多少元?

12.解:(1)设李叔叔租甲种货车 x 辆,则租乙种货车(10 - x)辆。依题意得$\begin{cases}4x + 2(10 - x) ≥ 30, \\ x + 2(10 - x) ≥ 13,\end{cases}$解得 5≤x≤7。故有三种租车方案:第一种是租甲种货车 5 辆,乙种货车 5 辆;第二种是租甲种货车 6 辆,乙种货车 4 辆;第三种是租甲种货车 7 辆,乙种货车 3 辆。
(2)总运费是:2000x + 1300(10 - x) = 700x + 13000,由于 x 的范围是 5≤x≤7,所以 3500 + 13000 ≤700x + 13000 ≤4900 + 13000,因此当 x = 5 时,总运费最少,最少运费是 16500 元。

【分析】
解决第一问的方案设计问题时，先设租用甲种货车的数量为x辆，即可用含x的式子表示乙种货车的数量。再根据运输的洋葱总重量不低于30t、运输的黄瓜总重量不低于13t两个限制条件，列出一元一次不等式组，解出x的取值范围，结合x为正整数的实际意义，就能得到所有可行的租车方案。第二问求最少运费时，先根据两种货车的运费标准列出总运费关于x的表达式，结合第一问得到的x的取值范围，根据表达式的增减性即可找到运费最小值对应的方案。
【解析】
(1) 设李叔叔租用甲种货车x辆，则租用乙种货车$(10-x)$辆，根据题意列不等式组：
$\begin{cases}4x + 2(10 - x) ≥ 30 \\ x + 2(10 - x) ≥ 13\end{cases}$
解第一个不等式：
$4x+20-2x≥30$，化简得$2x≥10$，解得$x≥5$。
解第二个不等式：
$x+20-2x≥13$，化简得$-x≥-7$，解得$x≤7$。
因此不等式组的解集为$5≤ x≤7$，由于x为车辆数，是正整数，所以x可取5、6、7，对应三种方案：
方案一：租用甲种货车5辆，乙种货车$10-5=5$辆；
方案二：租用甲种货车6辆，乙种货车$10-6=4$辆；
方案三：租用甲种货车7辆，乙种货车$10-7=3$辆。
(2) 设总运费为W元，根据运费标准可得：
$W=2000x + 1300(10 - x)=700x+13000$
由于$700＞0$，因此W随x的增大而增大，结合$5≤ x≤7$，当x取最小值5时，总运费最少。
代入$x=5$得：$W=700×5+13000=16500$元。
【答案】
(1) 共有3种租车方案：方案一：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案二：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案三：租甲种货车7辆，乙种货车3辆。
(2) 选择租用甲种货车5辆、乙种货车5辆的方案运费最少，最少运费是16500元。
【知识点】
一元一次不等式组的应用，方案设计，一次函数求最值
【点评】
本题是典型的实际优化类问题，解题关键是从实际场景中提取不等关系列出不等式组确定可行方案，再结合函数性质选出最优方案，能够有效考察将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7

13.某公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元。
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元;
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次。若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1 220万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用多少万元?

13.解:(1)设购买 A 型公交车每辆需 x 万元,购买 B 型公交车每辆需 y 万元,由题意得$\begin{cases}x + 2y = 400, \\ 2x + y = 350,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 100, \\ y = 150。\end{cases}$答:购买 A 型公交车每辆需 100 万元,购买 B 型公交车每辆需 150 万元。
(2)设购买 A 型公交车 a 辆,则购买 B 型公交车(10 - a)辆,由题意得$\begin{cases}100a + 150(10 - a) ≤ 1220, \\ 60a + 100(10 - a) ≥ 650,\end{cases}$解得$\dfrac{28}{5} ≤ a ≤ \dfrac{35}{4}$,因为 a 是整数,所以 a = 6,7,8,则 10 - a = 4,3,2。共有三种方案:①购买 A 型公交车 6 辆,B 型公交车 4 辆,需要费用为 100 × 6 + 150 × 4 = 1200(万元);②购买 A 型公交车 7 辆,B 型公交车 3 辆,需要费用为 100 × 7 + 150 × 3 = 1150(万元);③购买 A 型公交车 8 辆,B 型公交车 2 辆,需要费用为 100 × 8 + 150 × 2 = 1100(万元)。故购买 A 型公交车 8 辆,B 型公交车 2 辆所需总费用最少,最少总费用为 1100 万元。

【分析】
(1) 第一问求两种公交车的单价，属于二元一次方程组应用问题。可分别设A型、B型公交车单价为x万元、y万元，结合题目给出的两种购买组合的总费用，找到两个等量关系，列方程组求解即可。
(2) 第二问属于方案优化问题，先设购买A型公交车a辆，则B型为(10-a)辆，根据“总费用不超过1220万元、年均载客总和不少于650万人次”两个限制条件，找到两个不等关系，列一元一次不等式组求出a的取值范围，再结合a是正整数的实际意义，得到所有合规购车方案，最后计算各方案总费用，比较得出费用最低的方案即可。
【解析】
(1) 设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得：
$\begin{cases}x + 2y = 400 \\ 2x + y = 350\end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘2得$2x+4y=800$，减去第二个方程得$3y=450$，解得$y=150$，将$y=150$代入$2x+y=350$，得$2x=200$，解得$x=100$，即$\begin{cases}x = 100 \\ y = 150\end{cases}$。
(2) 设购买A型公交车a辆，则购买B型公交车$(10-a)$辆，由题意得：
$\begin{cases}100a + 150(10 - a) ≤ 1220 \\ 60a + 100(10 - a) ≥ 650\end{cases}$
解第一个不等式：$100a+1500-150a≤1220$，整理得$-50a≤-280$，系数化1得$a≥\frac{28}{5}$；
解第二个不等式：$60a+1000-100a≥650$，整理得$-40a≥-350$，系数化1得$a≤\frac{35}{4}$；
因此不等式组的解集为$\frac{28}{5} ≤ a ≤ \frac{35}{4}$，由于a是车辆数，为正整数，所以a可取6、7、8，对应$10-a$为4、3、2，共3种方案：
①购买A型6辆，B型4辆，总费用：$100×6 + 150×4 = 1200$（万元）；
②购买A型7辆，B型3辆，总费用：$100×7 + 150×3 = 1150$（万元）；
③购买A型8辆，B型2辆，总费用：$100×8 + 150×2 = 1100$（万元）。
比较可知1100＜1150＜1200，第三种方案总费用最少。
【答案】
(1) 购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元；
(2) 共有3种购车方案：①购A型6辆，B型4辆；②购A型7辆，B型3辆；③购A型8辆，B型2辆。购买A型8辆、B型2辆时总费用最少，最少总费用为1100万元。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案选择问题
【点评】
本题是方程与不等式结合的实际应用类题型，重点考察学生从题干提取等量关系、不等关系的能力，解题时需注意车辆数为正整数这一隐含条件，整体贴近生活实际，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7