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三、解答题
10.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:(注:获利=售价-进价)
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1 100元,则甲、乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4 300元,且销售完这批商品后获利多于1 260元,请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案。
10.某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表:(注:获利=售价-进价)
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1 100元,则甲、乙两种商品应分别购进多少件?
(2)若商店计划投入资金少于4 300元,且销售完这批商品后获利多于1 260元,请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案。
答案
10.解:由表格可知甲种商品每件获利 20 - 15 = 5(元),乙种商品每件获利 45 - 35 = 10(元)。
(1)设甲种商品应购进 x 件,乙种商品应购进 y 件。根据题意,得$\begin{cases} x + y = 160, \\ 5x + 10y = 1100。\end{cases}$解得$\begin{cases} x = 100, \\ y = 60。\end{cases}$
答:甲种商品应购进 100 件,乙种商品应购进 60 件。
(2)设甲种商品购进 a 件,则乙种商品应购进(160 - a)件。根据题意,得
$\begin{cases}15a + 35(160 - a) ＜ 4300, \\ 5a + 10(160 - a) ＞ 1260。\end{cases}$解不等式组,得 65 ＜ a ＜ 68。由于 a 为非负整数,则 a 取 66,67,160 - a 相应取 94,93。所以有两种购货方案,方案一:甲种商品购进 66 件,乙种商品购进 94 件;方案二:甲种商品购进 67 件,乙种商品购进 93 件。计算两种方案的利润,方案一:5 × 66 + 10 × 94 = 1270(元),方案二:5 × 67 + 10 × 93 = 1265(元),1270元＞1265 元,因此最大获利的方案是方案一,即甲种商品购进 66 件,乙种商品购进 94 件。
(1)设甲种商品应购进 x 件,乙种商品应购进 y 件。根据题意,得$\begin{cases} x + y = 160, \\ 5x + 10y = 1100。\end{cases}$解得$\begin{cases} x = 100, \\ y = 60。\end{cases}$
答:甲种商品应购进 100 件,乙种商品应购进 60 件。
(2)设甲种商品购进 a 件,则乙种商品应购进(160 - a)件。根据题意,得
$\begin{cases}15a + 35(160 - a) ＜ 4300, \\ 5a + 10(160 - a) ＞ 1260。\end{cases}$解不等式组,得 65 ＜ a ＜ 68。由于 a 为非负整数,则 a 取 66,67,160 - a 相应取 94,93。所以有两种购货方案,方案一:甲种商品购进 66 件,乙种商品购进 94 件;方案二:甲种商品购进 67 件,乙种商品购进 93 件。计算两种方案的利润,方案一:5 × 66 + 10 × 94 = 1270(元),方案二:5 × 67 + 10 × 93 = 1265(元),1270元＞1265 元,因此最大获利的方案是方案一,即甲种商品购进 66 件,乙种商品购进 94 件。
解析
【分析】
首先先计算甲、乙两种商品的单件获利：甲单件获利为售价减进价即20-15=5元，乙单件获利为45-35=10元。
针对第(1)问，题干给出两个等量关系：①甲乙商品总数量为160件；②销售完总获利为1100元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
针对第(2)问，题干给出两个不等关系：①进货总投入资金少于4300元；②销售完总获利多于1260元，因此可设甲商品购进数量为a件，乙商品数量用(160-a)表示，列一元一次不等式组求出a的取值范围，再结合商品数量为非负整数的隐含条件，得到符合要求的购货方案，最后通过计算各方案利润找到获利最大的方案即可。
【解析】
首先计算单件获利：甲种商品每件获利20-15=5(元)，乙种商品每件获利45-35=10(元)。
(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件。根据题意，列方程组：
$\begin{cases} x + y = 160, \\ 5x + 10y = 1100。\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得y=160-x，代入第二个方程得5x+10(160-x)=1100，解得x=100，再代入得y=60。
(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品应购进(160 - a)件。根据题意，列不等式组：
$\begin{cases}15a + 35(160 - a) ＜ 4300, \\ 5a + 10(160 - a) ＞ 1260。\end{cases}$
解第一个不等式：15a+5600-35a＜4300，-20a＜-1300，得a＞65；
解第二个不等式：5a+1600-10a＞1260，-5a＞-340，得a＜68；
所以不等式组的解集为65＜a＜68。
因为a为非负整数，所以a可取66、67，对应160-a为94、93，即有两种购货方案：
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件。
计算两种方案的利润：
方案一利润：5×66 + 10×94 = 1270(元)
方案二利润：5×67 + 10×93 = 1265(元)
因为1270＞1265，所以获利最大的是方案一。
【答案】
(1)甲种商品购进100件，乙种商品购进60件；
(2)共有2种购货方案：方案一：甲购进66件，乙购进94件；方案二：甲购进67件，乙购进93件；其中获利最大的购货方案为甲购进66件，乙购进94件。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、方案决策问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，正确列出对应的方程组与不等式组，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义（商品数量为非负整数），最优方案既可以通过计算各方案结果判断，也可通过单件利润的差异快速分析，能较好考查学生的信息提取能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
首先先计算甲、乙两种商品的单件获利：甲单件获利为售价减进价即20-15=5元，乙单件获利为45-35=10元。
针对第(1)问，题干给出两个等量关系：①甲乙商品总数量为160件；②销售完总获利为1100元，因此可设两个未知数列二元一次方程组求解。
针对第(2)问，题干给出两个不等关系：①进货总投入资金少于4300元；②销售完总获利多于1260元，因此可设甲商品购进数量为a件，乙商品数量用(160-a)表示，列一元一次不等式组求出a的取值范围，再结合商品数量为非负整数的隐含条件，得到符合要求的购货方案，最后通过计算各方案利润找到获利最大的方案即可。
【解析】
首先计算单件获利：甲种商品每件获利20-15=5(元)，乙种商品每件获利45-35=10(元)。
(1)设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件。根据题意，列方程组：
$\begin{cases} x + y = 160, \\ 5x + 10y = 1100。\end{cases}$
解方程组：由第一个方程得y=160-x，代入第二个方程得5x+10(160-x)=1100，解得x=100，再代入得y=60。
(2)设甲种商品购进a件，则乙种商品应购进(160 - a)件。根据题意，列不等式组：
$\begin{cases}15a + 35(160 - a) ＜ 4300, \\ 5a + 10(160 - a) ＞ 1260。\end{cases}$
解第一个不等式：15a+5600-35a＜4300，-20a＜-1300，得a＞65；
解第二个不等式：5a+1600-10a＞1260，-5a＞-340，得a＜68；
所以不等式组的解集为65＜a＜68。
因为a为非负整数，所以a可取66、67，对应160-a为94、93，即有两种购货方案：
方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；
方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件。
计算两种方案的利润：
方案一利润：5×66 + 10×94 = 1270(元)
方案二利润：5×67 + 10×93 = 1265(元)
因为1270＞1265，所以获利最大的是方案一。
【答案】
(1)甲种商品购进100件，乙种商品购进60件；
(2)共有2种购货方案：方案一：甲购进66件，乙购进94件；方案二：甲购进67件，乙购进93件；其中获利最大的购货方案为甲购进66件，乙购进94件。
【知识点】
二元一次方程组应用、一元一次不等式组应用、方案决策问题
【点评】
本题属于销售类实际应用问题，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，正确列出对应的方程组与不等式组，解题时要注意实际问题中未知数的取值需符合现实意义（商品数量为非负整数），最优方案既可以通过计算各方案结果判断，也可通过单件利润的差异快速分析，能较好考查学生的信息提取能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
11.某超市销售甲、乙两种商品,甲商品每件进价10元,售价15元;乙商品每件进价30元,售价40元。
(1)若该超市一次性购进两种商品共80件,且恰好用去1 600元,则购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1 640元,且总利润(利润=售价-进价)不少于600元。请你帮助该超市找出获得利润最大的方案。
(1)若该超市一次性购进两种商品共80件,且恰好用去1 600元,则购进甲、乙两种商品各多少件?
(2)若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1 640元,且总利润(利润=售价-进价)不少于600元。请你帮助该超市找出获得利润最大的方案。
答案
11.解:(1)设该超市购进甲商品 a 件,则购进乙商品(80 - a)件。由题意得 10a + 30(80 - a) = 1600,解得 a = 40,80 - a = 40。
∴ 购进甲商品 40 件,乙商品 40 件。
(2)设该超市购进甲商品 x 件,则购进乙商品(80 - x)件。甲商品每件利润为 15 - 10 = 5(元),乙商品每件利润为 40 - 30 = 10(元)。由题意得$\begin{cases}10x + 30(80 - x) ≤ 1640, \\ 5x + 10(80 - x) ≥ 600,\end{cases}$解得 38≤x≤40。
∵ x 为非负整数,
∴ x = 38,39,40,80 - x = 42,41,40。利润是5x + 10(80 - x) = -5x + 800,当 x = 38 时,利润是 610 元;当 x = 39 时,利润是 605 元;当 x = 40 时,利润是 600 元。所以购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件时,该超市获得利润最大。
∴ 购进甲商品 40 件,乙商品 40 件。
(2)设该超市购进甲商品 x 件,则购进乙商品(80 - x)件。甲商品每件利润为 15 - 10 = 5(元),乙商品每件利润为 40 - 30 = 10(元)。由题意得$\begin{cases}10x + 30(80 - x) ≤ 1640, \\ 5x + 10(80 - x) ≥ 600,\end{cases}$解得 38≤x≤40。
∵ x 为非负整数,
∴ x = 38,39,40,80 - x = 42,41,40。利润是5x + 10(80 - x) = -5x + 800,当 x = 38 时,利润是 610 元;当 x = 39 时,利润是 605 元;当 x = 40 时,利润是 600 元。所以购进甲商品 38 件,购进乙商品 42 件时,该超市获得利润最大。
解析
【分析】
(1) 第一问属于一元一次方程的实际应用，已知两种商品的总购进数量和总进价，我们可以设甲商品的购进数量为未知数，用总数量减去甲的数量表示乙的数量，再根据“甲商品总进价+乙商品总进价=总花费”列一元一次方程，求解即可得到两种商品的购进数量。
(2) 第二问属于方案优化类问题，首先需要根据两个限制条件：购进总费用不超过1640元、总利润不少于600元，列出一元一次不等式组，求出甲商品购进数量的取值范围；再结合商品数量为非负整数，得到所有可能的购进方案；最后写出总利润的表达式，根据表达式的增减性即可快速找到利润最大的方案。
【解析】
(1) 设该超市购进甲商品$a$件，则购进乙商品$(80 - a)$件。
根据总进价为1600元列方程：
$10a + 30(80 - a) = 1600$
展开得：$10a + 2400 - 30a = 1600$
移项合并得：$-20a = -800$
解得：$a = 40$
则乙商品的购进数量为$80 - 40 = 40$（件）。
(2) 设该超市购进甲商品$x$件，则购进乙商品$(80 - x)$件。
先计算单件利润：甲商品每件利润为$15 - 10 = 5$（元），乙商品每件利润为$40 - 30 = 10$（元）。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 10x + 30(80 - x) ≤ 1640 \\ 5x + 10(80 - x) ≥ 600 \end{cases}$
解第一个不等式：
$10x + 2400 - 30x ≤ 1640$
$-20x ≤ -760$，得$x ≥ 38$
解第二个不等式：
$5x + 800 - 10x ≥ 600$
$-5x ≥ -200$，得$x ≤ 40$
因此不等式组的解集为$38 ≤ x ≤ 40$。
∵$x$为非负整数，
∴$x$可取38、39、40，对应乙商品数量为42、41、40。
总利润$W=5x+10(80-x)=-5x+800$，
∵$-5＜0$，
∴$W$随$x$的增大而减小，当$x=38$时，$W$取得最大值，最大值为$-5×38+800=610$元。
【答案】
(1) 购进甲商品40件，乙商品40件；
(2) 购进甲商品38件，乙商品42件时，该超市获得的利润最大。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；方案优化问题
【点评】
本题结合实际销售场景考察方程与不等式的综合应用，解题时要准确梳理进价、售价、利润、数量之间的对应关系，正确列方程和不等式组，同时要注意未知数的实际意义，商品数量必须为非负整数，结合一次函数的增减性可以快速判断最优方案，减少计算量。
【难度系数】
0.65
(1) 第一问属于一元一次方程的实际应用，已知两种商品的总购进数量和总进价，我们可以设甲商品的购进数量为未知数，用总数量减去甲的数量表示乙的数量，再根据“甲商品总进价+乙商品总进价=总花费”列一元一次方程，求解即可得到两种商品的购进数量。
(2) 第二问属于方案优化类问题，首先需要根据两个限制条件：购进总费用不超过1640元、总利润不少于600元，列出一元一次不等式组，求出甲商品购进数量的取值范围；再结合商品数量为非负整数，得到所有可能的购进方案；最后写出总利润的表达式，根据表达式的增减性即可快速找到利润最大的方案。
【解析】
(1) 设该超市购进甲商品$a$件，则购进乙商品$(80 - a)$件。
根据总进价为1600元列方程：
$10a + 30(80 - a) = 1600$
展开得：$10a + 2400 - 30a = 1600$
移项合并得：$-20a = -800$
解得：$a = 40$
则乙商品的购进数量为$80 - 40 = 40$（件）。
(2) 设该超市购进甲商品$x$件，则购进乙商品$(80 - x)$件。
先计算单件利润：甲商品每件利润为$15 - 10 = 5$（元），乙商品每件利润为$40 - 30 = 10$（元）。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 10x + 30(80 - x) ≤ 1640 \\ 5x + 10(80 - x) ≥ 600 \end{cases}$
解第一个不等式：
$10x + 2400 - 30x ≤ 1640$
$-20x ≤ -760$，得$x ≥ 38$
解第二个不等式：
$5x + 800 - 10x ≥ 600$
$-5x ≥ -200$，得$x ≤ 40$
因此不等式组的解集为$38 ≤ x ≤ 40$。
∵$x$为非负整数，
∴$x$可取38、39、40，对应乙商品数量为42、41、40。
总利润$W=5x+10(80-x)=-5x+800$，
∵$-5＜0$，
∴$W$随$x$的增大而减小，当$x=38$时，$W$取得最大值，最大值为$-5×38+800=610$元。
【答案】
(1) 购进甲商品40件，乙商品40件；
(2) 购进甲商品38件，乙商品42件时，该超市获得的利润最大。
【知识点】
一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用；方案优化问题
【点评】
本题结合实际销售场景考察方程与不等式的综合应用，解题时要准确梳理进价、售价、利润、数量之间的对应关系，正确列方程和不等式组，同时要注意未知数的实际意义，商品数量必须为非负整数，结合一次函数的增减性可以快速判断最优方案，减少计算量。
【难度系数】
0.65
