登录
14. 求下列各式中$x$的值：
(1) $x^3 = 512$；
(2) $64x^3 + 125 = 0$；
(3) $(x-1)^3 = -8$；
(4) $3(x+1)^3 = \frac{1}{9}$。
(1) $x^3 = 512$；
(2) $64x^3 + 125 = 0$；
(3) $(x-1)^3 = -8$；
(4) $3(x+1)^3 = \frac{1}{9}$。
答案
14.(1)$x=8$ (2)$x=-\frac{5}{4}$ (3)$x=-1$ (4)$x=-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
这组题目均是利用立方根的定义求解含三次方的方程，解题核心思路为：先将含未知数的三次项整理到等式一侧，常数项整理到另一侧，再根据“若$a^3=b$，则$a=\sqrt[3]{b}$”开立方转化为一次方程求解，遇到括号内带未知数的情况可先将括号部分看作整体计算。
【解析】
(1) 已知$x^3 = 512$，根据立方根定义，对等式两边同时开立方：
$x=\sqrt[3]{512}$
因为$8^3=512$，所以$x=8$。
(2) 先移项整理：
$64x^3=-125$
等式两边同时除以64，得：
$x^3=-\frac{125}{64}$
对等式两边开立方：
$x=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}$
因为$(-\frac{5}{4})^3=-\frac{125}{64}$，所以$x=-\frac{5}{4}$。
(3) 将$(x-1)$看作整体，对等式两边开立方：
$x-1=\sqrt[3]{-8}$
因为$(-2)^3=-8$，所以$x-1=-2$
移项得：$x=-2+1=-1$。
(4) 等式两边先同时除以3，整理得：
$(x+1)^3=\frac{1}{27}$
将$(x+1)$看作整体开立方：
$x+1=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$
因为$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$，所以$x+1=\frac{1}{3}$
移项得：$x=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=-\frac{5}{4}$；(3)$x=-1$；(4)$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的定义、开立方运算
【点评】
本题属于立方根的基础应用题型，解题关键是熟练掌握立方根的性质，遇到含整体三次方的式子时可先对整体开立方，再求解未知数，计算时注意常见立方数的积累，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
这组题目均是利用立方根的定义求解含三次方的方程，解题核心思路为：先将含未知数的三次项整理到等式一侧，常数项整理到另一侧，再根据“若$a^3=b$，则$a=\sqrt[3]{b}$”开立方转化为一次方程求解，遇到括号内带未知数的情况可先将括号部分看作整体计算。
【解析】
(1) 已知$x^3 = 512$，根据立方根定义，对等式两边同时开立方：
$x=\sqrt[3]{512}$
因为$8^3=512$，所以$x=8$。
(2) 先移项整理：
$64x^3=-125$
等式两边同时除以64，得：
$x^3=-\frac{125}{64}$
对等式两边开立方：
$x=\sqrt[3]{-\frac{125}{64}}$
因为$(-\frac{5}{4})^3=-\frac{125}{64}$，所以$x=-\frac{5}{4}$。
(3) 将$(x-1)$看作整体，对等式两边开立方：
$x-1=\sqrt[3]{-8}$
因为$(-2)^3=-8$，所以$x-1=-2$
移项得：$x=-2+1=-1$。
(4) 等式两边先同时除以3，整理得：
$(x+1)^3=\frac{1}{27}$
将$(x+1)$看作整体开立方：
$x+1=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$
因为$(\frac{1}{3})^3=\frac{1}{27}$，所以$x+1=\frac{1}{3}$
移项得：$x=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x=8$；(2)$x=-\frac{5}{4}$；(3)$x=-1$；(4)$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
立方根的定义、开立方运算
【点评】
本题属于立方根的基础应用题型，解题关键是熟练掌握立方根的性质，遇到含整体三次方的式子时可先对整体开立方，再求解未知数，计算时注意常见立方数的积累，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
15. 一个正数的两个平方根分别是$2a-1$与$-a+2$，求$a$和这个正数。
答案
15.$a=-1$，这个正数为9.
解析
【分析】
首先回忆平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。我们可以先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值；再将a的值代入任意一个平方根的表达式，对结果进行平方运算，就能求出这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ (2a - 1) + (-a + 2) = 0
去括号，得：2a - 1 - a + 2 = 0
合并同类项，得：a + 1 = 0
解得：a = -1
将a = -1代入2a - 1，得：2×(-1) - 1 = -3
则这个正数为：(-3)² = 9
【答案】
a=-1，这个正数为9
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题，解题的核心是掌握正数的两个平方根互为相反数这一特点，计算最终正数时要注意对平方根取平方，不要误把平方根的值当成正数本身。
【难度系数】
0.8
首先回忆平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。我们可以先根据这个性质列出关于a的一元一次方程，求出a的值；再将a的值代入任意一个平方根的表达式，对结果进行平方运算，就能求出这个正数。
【解析】
解：
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ (2a - 1) + (-a + 2) = 0
去括号，得：2a - 1 - a + 2 = 0
合并同类项，得：a + 1 = 0
解得：a = -1
将a = -1代入2a - 1，得：2×(-1) - 1 = -3
则这个正数为：(-3)² = 9
【答案】
a=-1，这个正数为9
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题，解题的核心是掌握正数的两个平方根互为相反数这一特点，计算最终正数时要注意对平方根取平方，不要误把平方根的值当成正数本身。
【难度系数】
0.8
16. 若一个正数 m 的两个平方根分别是2a−1 和 3−a，a+3b−16 的立方根是 3，则 2b−3a 的平方根是多少？
答案
16.$\pm6$
解析
【分析】
解题时先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，据此可列等式求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，代入a的值可求出b的值；最后计算2b-3a的结果，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 求a的值：
因为正数m的两个平方根分别是2a−1和3−a，而正数的两个平方根互为相反数，所以两者之和为0，即：
$(2a - 1) + (3 - a) = 0$
化简得：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。
2. 求b的值：
已知$a + 3b - 16$的立方根是3，根据立方根的定义，可得：
$a + 3b - 16 = 3^3 = 27$
把$a = -2$代入上式：
$-2 + 3b - 16 = 27$
整理得：$3b = 45$，解得$b = 15$。
3. 计算$2b - 3a$的平方根：
把$a=-2$，$b=15$代入$2b - 3a$：
$2×15 - 3×(-2) = 30 + 6 = 36$
因为$(±6)^2 = 36$，所以36的平方根是$±6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础应用，解题核心是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，以及立方根和被开方数的对应关系，计算时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，据此可列等式求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，代入a的值可求出b的值；最后计算2b-3a的结果，再求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
1. 求a的值：
因为正数m的两个平方根分别是2a−1和3−a，而正数的两个平方根互为相反数，所以两者之和为0，即：
$(2a - 1) + (3 - a) = 0$
化简得：$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。
2. 求b的值：
已知$a + 3b - 16$的立方根是3，根据立方根的定义，可得：
$a + 3b - 16 = 3^3 = 27$
把$a = -2$代入上式：
$-2 + 3b - 16 = 27$
整理得：$3b = 45$，解得$b = 15$。
3. 计算$2b - 3a$的平方根：
把$a=-2$，$b=15$代入$2b - 3a$：
$2×15 - 3×(-2) = 30 + 6 = 36$
因为$(±6)^2 = 36$，所以36的平方根是$±6$。
【答案】
$\pm6$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义
【点评】
本题考查平方根与立方根的基础应用，解题核心是熟练掌握正数两个平方根互为相反数的性质，以及立方根和被开方数的对应关系，计算时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，避免漏写负的结果。
【难度系数】
0.7
17.【探索与应用】
表2-3-1
(1)表2-3-1中$x=$
(2)从表2-3-1中探究$a$与$\sqrt{a}$数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$，则$\sqrt{1000}\approx$
②已知$\sqrt{3.24}=1.8$，若$\sqrt{a}=180$，则$a=$
【拓展】
(3)已知$\sqrt[3]{12}\approx2.289$，若$\sqrt[3]{z}\approx0.228\ 9$，则$z=$
表2-3-1
(1)表2-3-1中$x=$
0.1
，$y=$10
.(2)从表2-3-1中探究$a$与$\sqrt{a}$数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知$\sqrt{10}\approx3.16$，则$\sqrt{1000}\approx$
31.6
；②已知$\sqrt{3.24}=1.8$，若$\sqrt{a}=180$，则$a=$
32400
.【拓展】
(3)已知$\sqrt[3]{12}\approx2.289$，若$\sqrt[3]{z}\approx0.228\ 9$，则$z=$
0.012
.答案
17.(1)0.1 10 (2)①31.6 ②32 400 (3)0.012
解析
【分析】
解题思路：第(1)问直接根据算术平方根的定义，求对应数的算术平方根即可得到x、y的值；第(2)问先观察表格中被开方数a和算术平方根$\sqrt{a}$的小数点移动规律，再利用规律求解两个小问：①已知$\sqrt{10}$的近似值，根据10到1000的小数点移动位数，对应得到$\sqrt{1000}$的近似值；②已知$\sqrt{3.24}$的值，根据算术平方根从1.8到180的移动位数，反推被开方数a的值；第(3)问类比算术平方根的规律，推导立方根的变化规律，结合已知条件求z的值。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
x是0.01的算术平方根，因为$0.1^2=0.01$，所以$x=\sqrt{0.01}=0.1$；
y是100的算术平方根，因为$10^2=100$，所以$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格可得算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
① 10到1000，被开方数的小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点也向右移动1位，因为$\sqrt{10}\approx3.16$，所以$\sqrt{1000}\approx31.6$；
② 算术平方根从1.8变为180，小数点向右移动了2位，所以被开方数的小数点要向右移动$2×2=4$位，因为$\sqrt{3.24}=1.8$，所以$a=3.24×10000=32400$。
(3) 类比算术平方根的规律可得立方根的变化规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
立方根从2.289变为0.2289，小数点向左移动了1位，所以被开方数的小数点要向左移动3位，因为$\sqrt[3]{12}\approx2.289$，所以$z=12÷1000=0.012$。
【答案】
(1)0.1；10
(2)①31.6；②32400
(3)0.012
【知识点】
算术平方根的计算，算术平方根的变化规律，立方根的变化规律
【点评】
本题是规律探究类题目，需要先从给定表格的数据中归纳出被开方数和方根的小数点移动规律，再将规律迁移应用到解题中，能有效锻炼观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：第(1)问直接根据算术平方根的定义，求对应数的算术平方根即可得到x、y的值；第(2)问先观察表格中被开方数a和算术平方根$\sqrt{a}$的小数点移动规律，再利用规律求解两个小问：①已知$\sqrt{10}$的近似值，根据10到1000的小数点移动位数，对应得到$\sqrt{1000}$的近似值；②已知$\sqrt{3.24}$的值，根据算术平方根从1.8到180的移动位数，反推被开方数a的值；第(3)问类比算术平方根的规律，推导立方根的变化规律，结合已知条件求z的值。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
x是0.01的算术平方根，因为$0.1^2=0.01$，所以$x=\sqrt{0.01}=0.1$；
y是100的算术平方根，因为$10^2=100$，所以$y=\sqrt{100}=10$。
(2) 观察表格可得算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
① 10到1000，被开方数的小数点向右移动了2位，所以算术平方根的小数点也向右移动1位，因为$\sqrt{10}\approx3.16$，所以$\sqrt{1000}\approx31.6$；
② 算术平方根从1.8变为180，小数点向右移动了2位，所以被开方数的小数点要向右移动$2×2=4$位，因为$\sqrt{3.24}=1.8$，所以$a=3.24×10000=32400$。
(3) 类比算术平方根的规律可得立方根的变化规律：被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位。
立方根从2.289变为0.2289，小数点向左移动了1位，所以被开方数的小数点要向左移动3位，因为$\sqrt[3]{12}\approx2.289$，所以$z=12÷1000=0.012$。
【答案】
(1)0.1；10
(2)①31.6；②32400
(3)0.012
【知识点】
算术平方根的计算，算术平方根的变化规律，立方根的变化规律
【点评】
本题是规律探究类题目，需要先从给定表格的数据中归纳出被开方数和方根的小数点移动规律，再将规律迁移应用到解题中，能有效锻炼观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
