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1. 给出下列说法：①无限小数不能转化为分数；②无理数分为正无理数、零、负无理数；③有限小数是有理数；④无限小数是无理数. 其中正确的有(
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
).A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1.B
解析
【分析】
这道题考查有理数、无理数的相关概念辨析，解题时先回忆两类数的定义和分类规则，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可选出答案。思考时要明确：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，仅包含正、负两类，0属于有理数。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数可转化为分数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$），因此①错误；
②0是有理数，不属于无理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，因此②错误；
③有限小数都可以写成分数形式，符合有理数的定义，因此③正确；
④无限小数中的无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此④错误。
综上，仅1个说法正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的核心是准确区分有理数和无理数的范围，尤其要注意无限小数的分类、0的归属这两个高频易错点。
【难度系数】
0.7
这道题考查有理数、无理数的相关概念辨析，解题时先回忆两类数的定义和分类规则，再逐一判断4个说法的正误，最后统计正确说法的数量即可选出答案。思考时要明确：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可转化为分数，属于有理数；无理数是无限不循环小数，仅包含正、负两类，0属于有理数。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
①无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数可转化为分数（如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$），因此①错误；
②0是有理数，不属于无理数，无理数仅分为正无理数和负无理数，因此②错误；
③有限小数都可以写成分数形式，符合有理数的定义，因此③正确；
④无限小数中的无限循环小数属于有理数，只有无限不循环小数才是无理数，因此④错误。
综上，仅1个说法正确，故选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题是基础概念类考题，解题的核心是准确区分有理数和无理数的范围，尤其要注意无限小数的分类、0的归属这两个高频易错点。
【难度系数】
0.7
2. $\sqrt[3]{64}$的相反数是(
A.4
B.-4
C.2
D.-2
B
).A.4
B.-4
C.2
D.-2
答案
2.B
解析
【分析】
解这道题需要分两步思考：第一步先计算出$\sqrt[3]{64}$的结果，第二步再求该结果的相反数。首先根据立方根的定义，找到立方等于64的数，就能得到$\sqrt[3]{64}$的值；再根据相反数的定义，给得到的结果添上负号，就是所求的答案。
【解析】
首先计算立方根：因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{64}=4$。
再求相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此4的相反数是$-4$，即$\sqrt[3]{64}$的相反数是$-4$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的计算，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根与平方根的运算规则，掌握相反数的定义即可快速作答，注意不要误将$\sqrt[3]{64}$算成平方根的结果导致选错。
【难度系数】
0.9
解这道题需要分两步思考：第一步先计算出$\sqrt[3]{64}$的结果，第二步再求该结果的相反数。首先根据立方根的定义，找到立方等于64的数，就能得到$\sqrt[3]{64}$的值；再根据相反数的定义，给得到的结果添上负号，就是所求的答案。
【解析】
首先计算立方根：因为$4^3=4×4×4=64$，根据立方根的定义可得$\sqrt[3]{64}=4$。
再求相反数：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此4的相反数是$-4$，即$\sqrt[3]{64}$的相反数是$-4$。
【答案】
B
【知识点】
立方根的计算，相反数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分立方根与平方根的运算规则，掌握相反数的定义即可快速作答，注意不要误将$\sqrt[3]{64}$算成平方根的结果导致选错。
【难度系数】
0.9
3. 已知a，b是两个连续整数，$a＜\sqrt{13}＜b$，则a，b分别是(
A.1，2
B.2，3
C.3，4
D.4，5
C
).A.1，2
B.2，3
C.3，4
D.4，5
答案
3.C
解析
【分析】
要确定$\sqrt{13}$介于哪两个连续整数之间，我们可以利用算术平方根和平方互为逆运算的关系，先找到与13相邻的两个完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{13}$的取值范围，进而确定a、b的值。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即 $3＜\sqrt{13}＜4$
又
∵a、b是连续整数，且$a＜\sqrt{13}＜b$
∴a=3，b=4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，就能快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
要确定$\sqrt{13}$介于哪两个连续整数之间，我们可以利用算术平方根和平方互为逆运算的关系，先找到与13相邻的两个完全平方数，再对这三个数同时开算术平方根，就能得到$\sqrt{13}$的取值范围，进而确定a、b的值。
【解析】
首先计算相邻整数的平方：
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且 $9＜13＜16$
对三个正数同时开算术平方根，不等号方向不变，可得：
$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即 $3＜\sqrt{13}＜4$
又
∵a、b是连续整数，且$a＜\sqrt{13}＜b$
∴a=3，b=4，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题的关键是熟练掌握常见整数的平方值，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，就能快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
4. 在实数0，$-\sqrt[3]{64}$，$\sqrt{3}$，-3中，最小的是(
A.0
B.$-\sqrt[3]{64}$
C.$\sqrt{3}$
D.-3
B
).A.0
B.$-\sqrt[3]{64}$
C.$\sqrt{3}$
D.-3
答案
4.B
解析
【分析】
要找出给定实数中最小的数，解题思路如下：第一步先把含有运算的数化简，本题中需要先计算$-\sqrt[3]{64}$的结果；第二步根据实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于负数，先排除正数和0，缩小范围到负数中；第三步比较两个负数的大小，依据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”的规则，就能确定最小的数。
【解析】
首先化简$-\sqrt[3]{64}$：
因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，因此$-\sqrt[3]{64}=-4$。
现在四个实数分别为：0、-4、$\sqrt{3}$、-3。
根据实数大小比较规则：正数$\sqrt{3}＞0$，0大于所有负数，因此最小的数在-4和-3中。
再比较两个负数的大小：
计算绝对值：$|-4|=4$，$|-3|=3$，因为$4＞3$，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得$-4＜-3$。
综上四个数的大小顺序为：$\sqrt{3}＞0＞-3＞-\sqrt[3]{64}$，所以最小的数是$-\sqrt[3]{64}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 立方根的化简
2. 实数大小比较
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是实数比较大小的常规题型，解题核心是先正确化简带根式的数，再遵循实数比较大小的规则逐一判断，需要注意负数比较大小时不要混淆绝对值和数的大小关系。
【难度系数】
0.8
要找出给定实数中最小的数，解题思路如下：第一步先把含有运算的数化简，本题中需要先计算$-\sqrt[3]{64}$的结果；第二步根据实数比较大小的基本规则：正数大于0，0大于负数，先排除正数和0，缩小范围到负数中；第三步比较两个负数的大小，依据“两个负数比较，绝对值大的数反而小”的规则，就能确定最小的数。
【解析】
首先化简$-\sqrt[3]{64}$：
因为$4^3=64$，所以$\sqrt[3]{64}=4$，因此$-\sqrt[3]{64}=-4$。
现在四个实数分别为：0、-4、$\sqrt{3}$、-3。
根据实数大小比较规则：正数$\sqrt{3}＞0$，0大于所有负数，因此最小的数在-4和-3中。
再比较两个负数的大小：
计算绝对值：$|-4|=4$，$|-3|=3$，因为$4＞3$，根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得$-4＜-3$。
综上四个数的大小顺序为：$\sqrt{3}＞0＞-3＞-\sqrt[3]{64}$，所以最小的数是$-\sqrt[3]{64}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 立方根的化简
2. 实数大小比较
3. 绝对值的性质
【点评】
本题是实数比较大小的常规题型，解题核心是先正确化简带根式的数，再遵循实数比较大小的规则逐一判断，需要注意负数比较大小时不要混淆绝对值和数的大小关系。
【难度系数】
0.8
5. 下列各式计算正确的是(
A.$(-2)^3 = -6$
B.$\sqrt{7} - \sqrt{5} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt[3]{-27} + (-\sqrt{3})^2 = 0$
D.$|1.73 - \sqrt{3}| = 1.73 - \sqrt{3}$
C
).A.$(-2)^3 = -6$
B.$\sqrt{7} - \sqrt{5} = \sqrt{2}$
C.$\sqrt[3]{-27} + (-\sqrt{3})^2 = 0$
D.$|1.73 - \sqrt{3}| = 1.73 - \sqrt{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
这是一道基础运算正误判断题，解题思路是逐个验证每个选项的计算是否符合对应运算法则：依次对每个选项按照有理数乘方、根式运算、绝对值化简的相关规则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一计算各选项：
A选项：$(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8≠-6$，故A错误；
B选项：$\sqrt{7}$和$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能直接合并相减，$\sqrt{7}-\sqrt{5}$无法化简为$\sqrt{2}$，故B错误；
C选项：先计算立方根$\sqrt[3]{-27}=-3$（因为$(-3)^3=-27$），再计算乘方$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，相加得$-3+3=0$，故C正确；
D选项：$\sqrt{3}\approx1.732＞1.73$，因此$1.73-\sqrt{3}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|1.73-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1.73≠1.73-\sqrt{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 根式化简运算
3. 绝对值的性质
【点评】
本题侧重考察基础代数运算规则的掌握情况，涉及的都是初中代数的基础运算点，学习中要注意区分相似运算的规则，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.8
这是一道基础运算正误判断题，解题思路是逐个验证每个选项的计算是否符合对应运算法则：依次对每个选项按照有理数乘方、根式运算、绝对值化简的相关规则计算出正确结果，再和选项给出的结果对比，即可选出正确选项。
【解析】
我们逐一计算各选项：
A选项：$(-2)^3$表示3个-2相乘，即$(-2)×(-2)×(-2)=-8≠-6$，故A错误；
B选项：$\sqrt{7}$和$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能直接合并相减，$\sqrt{7}-\sqrt{5}$无法化简为$\sqrt{2}$，故B错误；
C选项：先计算立方根$\sqrt[3]{-27}=-3$（因为$(-3)^3=-27$），再计算乘方$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3$，相加得$-3+3=0$，故C正确；
D选项：$\sqrt{3}\approx1.732＞1.73$，因此$1.73-\sqrt{3}＜0$，负数的绝对值是它的相反数，故$|1.73-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1.73≠1.73-\sqrt{3}$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数乘方运算
2. 根式化简运算
3. 绝对值的性质
【点评】
本题侧重考察基础代数运算规则的掌握情况，涉及的都是初中代数的基础运算点，学习中要注意区分相似运算的规则，避免混淆概念导致出错。
【难度系数】
0.8
6. 若实数$a$满足$0＜a＜1$，则$\sqrt{a^2} + |a - 2|$的化简结果是(
A.2
B.$2a$
C.$2a - 2$
D.$2 - 2a$
A
).A.2
B.$2a$
C.$2a - 2$
D.$2 - 2a$
答案
6.A
解析
【分析】
本题是含二次根式和绝对值的代数式化简题，解题思路如下：首先回忆两个核心性质：1. 二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$；2. 绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第一步先将$\sqrt{a^2}$转化为绝对值形式，第二步根据$0＜a＜1$的取值范围，分别判断两个绝对值内部式子的正负性，第三步按绝对值规则去符号后合并同类项，即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式可变形为：
$\sqrt{a^2} + |a - 2|=|a|+|a-2|$
已知$0＜a＜1$，可得：
$a＞0$，$a-2＜1-2=-1＜0$
根据绝对值的化简规则：
$|a|=a$，$|a-2|=-(a-2)=2-a$
代入原式计算：
$|a|+|a-2|=a+(2-a)=2$
因此化简结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对二次根式和绝对值性质的应用，解题关键是结合给定的取值范围准确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
本题是含二次根式和绝对值的代数式化简题，解题思路如下：首先回忆两个核心性质：1. 二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$；2. 绝对值的化简规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。第一步先将$\sqrt{a^2}$转化为绝对值形式，第二步根据$0＜a＜1$的取值范围，分别判断两个绝对值内部式子的正负性，第三步按绝对值规则去符号后合并同类项，即可得到化简结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质可得$\sqrt{a^2}=|a|$，因此原式可变形为：
$\sqrt{a^2} + |a - 2|=|a|+|a-2|$
已知$0＜a＜1$，可得：
$a＞0$，$a-2＜1-2=-1＜0$
根据绝对值的化简规则：
$|a|=a$，$|a-2|=-(a-2)=2-a$
代入原式计算：
$|a|+|a-2|=a+(2-a)=2$
因此化简结果为2，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对二次根式和绝对值性质的应用，解题关键是结合给定的取值范围准确判断绝对值内代数式的正负，熟练掌握相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
7. 已知三个实数a，b，c满足$a - c = c - b$，则下列结论不正确的是(
A.$a + b = 2c$
B.若a，b互为相反数，则$c = 0$
C.若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$c ＞ 0$
D.若$a ＞ c$，则$c ＜ b$
D
).A.$a + b = 2c$
B.若a，b互为相反数，则$c = 0$
C.若$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$c ＞ 0$
D.若$a ＞ c$，则$c ＜ b$
答案
7.D
解析
【分析】
首先对已知等式$a - c = c - b$利用等式的性质移项变形，得到$a$、$b$、$c$三者的核心关系$a+b=2c$，再结合各选项给出的附加条件，逐一推导验证选项的正误，注意题目要求选择结论不正确的选项。
【解析】
首先对已知条件变形：
由$a - c = c - b$，移项可得$a + b = c + c$，即$a + b = 2c$。
选项A：变形结果直接为$a + b = 2c$，该结论正确，不符合题意；
选项B：若$a$，$b$互为相反数，则$a + b = 0$，代入$a + b = 2c$得$2c=0$，解得$c=0$，该结论正确，不符合题意；
选项C：若$a＞0$，$b＞0$，则$a + b＞0$，即$2c＞0$，两边同除以2得$c＞0$，该结论正确，不符合题意；
选项D：若$a＞c$，则$a - c＞0$，结合已知$a - c = c - b$，可得$c - b＞0$，即$c＞b$，与选项中$c ＜ b$矛盾，该结论错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，相反数的定义，不等式的性质
【点评】
本题属于基础题，考查等式变形的基本能力，同时结合相反数、不等式的相关知识进行简单推理，解题时需注意题干要求选出错误结论，避免因审题粗心丢分。
【难度系数】
0.8
首先对已知等式$a - c = c - b$利用等式的性质移项变形，得到$a$、$b$、$c$三者的核心关系$a+b=2c$，再结合各选项给出的附加条件，逐一推导验证选项的正误，注意题目要求选择结论不正确的选项。
【解析】
首先对已知条件变形：
由$a - c = c - b$，移项可得$a + b = c + c$，即$a + b = 2c$。
选项A：变形结果直接为$a + b = 2c$，该结论正确，不符合题意；
选项B：若$a$，$b$互为相反数，则$a + b = 0$，代入$a + b = 2c$得$2c=0$，解得$c=0$，该结论正确，不符合题意；
选项C：若$a＞0$，$b＞0$，则$a + b＞0$，即$2c＞0$，两边同除以2得$c＞0$，该结论正确，不符合题意；
选项D：若$a＞c$，则$a - c＞0$，结合已知$a - c = c - b$，可得$c - b＞0$，即$c＞b$，与选项中$c ＜ b$矛盾，该结论错误，符合题意。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
等式的性质，相反数的定义，不等式的性质
【点评】
本题属于基础题，考查等式变形的基本能力，同时结合相反数、不等式的相关知识进行简单推理，解题时需注意题干要求选出错误结论，避免因审题粗心丢分。
【难度系数】
0.8
8. 已知$|a|=5$，$\sqrt{b^2}=7$，且$|a+b|=a+b$，则$a-b$的值为(
A.2或12
B.2或-12
C.-2或12
D.-2或-12
D
).A.2或12
B.2或-12
C.-2或12
D.-2或-12
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值和二次根式的性质求出a、b所有可能的取值，再根据|a+b|=a+b的约束条件，判断出a+b是非负数，筛选出符合条件的a、b的取值组合，最后代入计算a-b的值即可。
【解析】
第一步：求a的所有可能取值
∵|a|=5，
∴a=5或a=-5；
第二步：求b的所有可能取值
∵$\sqrt{b^2}=|b|=7$，
∴b=7或b=-7；
第三步：根据约束条件筛选取值
∵|a+b|=a+b，根据绝对值的性质，非负数的绝对值等于它本身，
∴a+b≥0；
对a、b的4种组合逐一验证：
①当a=5，b=7时，a+b=5+7=12≥0，符合要求，此时a-b=5-7=-2；
②当a=5，b=-7时，a+b=5+(-7)=-2＜0，不符合要求，排除；
③当a=-5，b=7时，a+b=-5+7=2≥0，符合要求，此时a-b=-5-7=-12；
④当a=-5，b=-7时，a+b=-5+(-7)=-12＜0，不符合要求，排除；
综上，a-b的值为-2或-12。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值与二次根式的性质应用，解题的关键是牢记“非负数的绝对值等于它本身”，根据约束条件对参数的所有可能取值进行筛选，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据绝对值和二次根式的性质求出a、b所有可能的取值，再根据|a+b|=a+b的约束条件，判断出a+b是非负数，筛选出符合条件的a、b的取值组合，最后代入计算a-b的值即可。
【解析】
第一步：求a的所有可能取值
∵|a|=5，
∴a=5或a=-5；
第二步：求b的所有可能取值
∵$\sqrt{b^2}=|b|=7$，
∴b=7或b=-7；
第三步：根据约束条件筛选取值
∵|a+b|=a+b，根据绝对值的性质，非负数的绝对值等于它本身，
∴a+b≥0；
对a、b的4种组合逐一验证：
①当a=5，b=7时，a+b=5+7=12≥0，符合要求，此时a-b=5-7=-2；
②当a=5，b=-7时，a+b=5+(-7)=-2＜0，不符合要求，排除；
③当a=-5，b=7时，a+b=-5+7=2≥0，符合要求，此时a-b=-5-7=-12；
④当a=-5，b=-7时，a+b=-5+(-7)=-12＜0，不符合要求，排除；
综上，a-b的值为-2或-12。
【答案】
D
【知识点】
绝对值的性质，二次根式的化简，代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值与二次根式的性质应用，解题的关键是牢记“非负数的绝对值等于它本身”，根据约束条件对参数的所有可能取值进行筛选，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.6
9. 把下列各数填入相应的大括号内：
$-6,\ \frac{π}{4},\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,$
$\sqrt{6},\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.$
自然数集合：$\{\ \dots\ \};$
整数集合：$\{\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\ \dots\ \}.$
$-6,\ \frac{π}{4},\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,$
$\sqrt{6},\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}.$
自然数集合：$\{\ \dots\ \};$
整数集合：$\{\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\ \dots\ \}.$
答案
9. 自然数集合：$\{0,\sqrt{64}\ \dots\ \};$
整数集合：$\{-6,\ -|-3|,\ 0,\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{-\frac{2}{3},\ -0.4,\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\frac{π}{4},\ \frac{22}{7},\ \sqrt{6},\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{-6,\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\frac{π}{4},\ \sqrt{6}\ \dots\ \}.$
整数集合：$\{-6,\ -|-3|,\ 0,\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{-\frac{2}{3},\ -0.4,\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\frac{π}{4},\ \frac{22}{7},\ \sqrt{6},\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{-6,\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\frac{π}{4},\ \sqrt{6}\ \dots\ \}.$
解析
【分析】
解题前首先要先把题目中含有绝对值、根式的数先化简，再回忆各类数的定义：自然数是0和正整数；整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（含负有限小数、负无限循环小数、可化为分数的负根式）；正实数是大于0的所有实数；有理数是整数和分数的统称，可表示为两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的根式等。最后将化简后的数逐一对应分类，做到不重不漏即可。
【解析】
首先化简题目中可运算的数：
$-|-3|=-3$，$\sqrt{64}=8$，$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$
再根据定义分类：
1. 自然数集合：取非负整数，符合的有$0$、$\sqrt{64}$；
2. 整数集合：取所有正整数、0、负整数，符合的有$-6$、$-|-3|$、$0$、$\sqrt{64}$；
3. 负分数集合：取小于0的分数类数，符合的有$-\frac{2}{3}$、$-0.4$、$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$；
4. 正实数集合：取大于0的实数，符合的有$\frac{π}{4}$、$\frac{22}{7}$、$\sqrt{6}$、$\sqrt{64}$；
5. 有理数集合：取所有整数和分数，符合的有$-6$、$-\frac{2}{3}$、$-|-3|$、$\frac{22}{7}$、$-0.4$、$0$、$\sqrt{64}$、$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$；
6. 无理数集合：取无限不循环小数，符合的有$\frac{π}{4}$、$\sqrt{6}$。
【答案】
自然数集合：$\{0,\sqrt{64}\ \dots\ \};$
整数集合：$\{-6,\ -|-3|,\ 0,\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{-\frac{2}{3},\ -0.4,\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\frac{π}{4},\ \frac{22}{7},\ \sqrt{6},\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{-6,\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\frac{π}{4},\ \sqrt{6}\ \dots\ \}.$
【知识点】
实数的分类；绝对值化简；根式化简
【点评】
本题核心考查实数的分类判定，解题的关键是先对含有绝对值、开方运算的数完成化简，再结合各类数的定义逐一归类，要注意区分有理数和无理数的边界，避免将含π的数、开方开不尽的数误判为有理数。
【难度系数】
0.7
解题前首先要先把题目中含有绝对值、根式的数先化简，再回忆各类数的定义：自然数是0和正整数；整数包含正整数、0、负整数；负分数是小于0的分数（含负有限小数、负无限循环小数、可化为分数的负根式）；正实数是大于0的所有实数；有理数是整数和分数的统称，可表示为两个整数的比值；无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的根式等。最后将化简后的数逐一对应分类，做到不重不漏即可。
【解析】
首先化简题目中可运算的数：
$-|-3|=-3$，$\sqrt{64}=8$，$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}=-\frac{5}{4}$
再根据定义分类：
1. 自然数集合：取非负整数，符合的有$0$、$\sqrt{64}$；
2. 整数集合：取所有正整数、0、负整数，符合的有$-6$、$-|-3|$、$0$、$\sqrt{64}$；
3. 负分数集合：取小于0的分数类数，符合的有$-\frac{2}{3}$、$-0.4$、$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$；
4. 正实数集合：取大于0的实数，符合的有$\frac{π}{4}$、$\frac{22}{7}$、$\sqrt{6}$、$\sqrt{64}$；
5. 有理数集合：取所有整数和分数，符合的有$-6$、$-\frac{2}{3}$、$-|-3|$、$\frac{22}{7}$、$-0.4$、$0$、$\sqrt{64}$、$-\sqrt[3]{\frac{125}{64}}$；
6. 无理数集合：取无限不循环小数，符合的有$\frac{π}{4}$、$\sqrt{6}$。
【答案】
自然数集合：$\{0,\sqrt{64}\ \dots\ \};$
整数集合：$\{-6,\ -|-3|,\ 0,\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
负分数集合：$\{-\frac{2}{3},\ -0.4,\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
正实数集合：$\{\frac{π}{4},\ \frac{22}{7},\ \sqrt{6},\ \sqrt{64}\ \dots\ \};$
有理数集合：$\{-6,\ -\frac{2}{3},\ -|-3|,\ \frac{22}{7},\ -0.4,\ 0,\ \sqrt{64},\ -\sqrt[3]{\frac{125}{64}}\ \dots\ \};$
无理数集合：$\{\frac{π}{4},\ \sqrt{6}\ \dots\ \}.$
【知识点】
实数的分类；绝对值化简；根式化简
【点评】
本题核心考查实数的分类判定，解题的关键是先对含有绝对值、开方运算的数完成化简，再结合各类数的定义逐一归类，要注意区分有理数和无理数的边界，避免将含π的数、开方开不尽的数误判为有理数。
【难度系数】
0.7
10. 如图2-4-1，实数$\sqrt{6}$在数轴上的对应点可能是
C
点. 答案
10.C
解析
【分析】
要确定$\sqrt{6}$在数轴上的对应点，首先需要估算$\sqrt{6}$的取值范围：先找到和6相邻的两个完全平方数，通过计算这两个完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{6}$的区间，再对照数轴上三个点的位置，即可匹配到对应点。
【解析】
1. 估算$\sqrt{6}$的取值范围
因为$4＜6＜9$，对不等式各项同时开算术平方根可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
2. 匹配数轴上的点
观察数轴可知：A点在0~1之间，B点在1~2之间，C点在2~3之间，符合$\sqrt{6}$取值范围的是C点。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应
【点评】
本题考查无理数的估算方法和实数与数轴的一一对应关系，解题关键是用“夹逼法”准确估算出无理数的取值范围，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.8
要确定$\sqrt{6}$在数轴上的对应点，首先需要估算$\sqrt{6}$的取值范围：先找到和6相邻的两个完全平方数，通过计算这两个完全平方数的算术平方根，就能得到$\sqrt{6}$的区间，再对照数轴上三个点的位置，即可匹配到对应点。
【解析】
1. 估算$\sqrt{6}$的取值范围
因为$4＜6＜9$，对不等式各项同时开算术平方根可得：$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$。
2. 匹配数轴上的点
观察数轴可知：A点在0~1之间，B点在1~2之间，C点在2~3之间，符合$\sqrt{6}$取值范围的是C点。
【答案】
C
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应
【点评】
本题考查无理数的估算方法和实数与数轴的一一对应关系，解题关键是用“夹逼法”准确估算出无理数的取值范围，属于基础考查题型。
【难度系数】
0.8
11. 比较大小：(1)$-\sqrt{5}$
＜
$-\sqrt{3}$；(2)$\sqrt[3]{10}$ ＜
$\sqrt{5}$。答案
11.(1)＜ (2)＜
解析
【分析】
本题考查实数的大小比较，可分两小问逐步推导：
(1) 两个负无理数比较大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的规则，先比较它们绝对值（$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$）的大小，算术平方根的被开方数越大，对应结果越大，判断出绝对值的大小后，即可推导负数的大小关系。
(2) 立方根和算术平方根的根指数不同，直接比较难度大，可利用“正数的同次正乘方结果越大，原数越大”的规律，将两个数同时进行6次方（2和3的最小公倍数是6），转化为有理数后再比较大小，方法符合学段知识要求。
【解析】
(1) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}$，$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$
∵ 被开方数$5＞3$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{3}$
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{5}＜-\sqrt{3}$
(2) 两个数都是正数，将它们同时进行6次方运算：
$(\sqrt[3]{10})^6=[(\sqrt[3]{10})^3]^2=10^2=100$
$(\sqrt{5})^6=[(\sqrt{5})^2]^3=5^3=125$
∵ $100＜125$，正数同次乘方结果越大，原数越大
∴ $\sqrt[3]{10}＜\sqrt{5}$
【答案】
(1)＜ (2)＜
【知识点】
实数大小比较、算术平方根性质、立方根性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时要根据根式的类型灵活选择比较方法，负根式可结合负数比较法则通过绝对值判断，不同次的正根式可通过升次转化为有理数比较，掌握根式的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.85
本题考查实数的大小比较，可分两小问逐步推导：
(1) 两个负无理数比较大小，依据“两个负数，绝对值大的反而小”的规则，先比较它们绝对值（$\sqrt{5}$和$\sqrt{3}$）的大小，算术平方根的被开方数越大，对应结果越大，判断出绝对值的大小后，即可推导负数的大小关系。
(2) 立方根和算术平方根的根指数不同，直接比较难度大，可利用“正数的同次正乘方结果越大，原数越大”的规律，将两个数同时进行6次方（2和3的最小公倍数是6），转化为有理数后再比较大小，方法符合学段知识要求。
【解析】
(1) 先计算两个数的绝对值：
$\left|-\sqrt{5}\right|=\sqrt{5}$，$\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3}$
∵ 被开方数$5＞3$，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{3}$
根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可得：$-\sqrt{5}＜-\sqrt{3}$
(2) 两个数都是正数，将它们同时进行6次方运算：
$(\sqrt[3]{10})^6=[(\sqrt[3]{10})^3]^2=10^2=100$
$(\sqrt{5})^6=[(\sqrt{5})^2]^3=5^3=125$
∵ $100＜125$，正数同次乘方结果越大，原数越大
∴ $\sqrt[3]{10}＜\sqrt{5}$
【答案】
(1)＜ (2)＜
【知识点】
实数大小比较、算术平方根性质、立方根性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题时要根据根式的类型灵活选择比较方法，负根式可结合负数比较法则通过绝对值判断，不同次的正根式可通过升次转化为有理数比较，掌握根式的基本性质是解题的核心。
【难度系数】
0.85
12. 在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数$x(|x|＜20)$的运算程序，如图2-4-2所示，若输出的$y$值为$\sqrt{2}$，则输入的实数$x$可取的负整数值是
图2-4-2
-2，-14
。图2-4-2
答案
12.-2，-14
解析
【分析】
我们采用逆推法解题：首先根据最终输出的$y=\sqrt{2}$，可知最后一步取算术平方根前的数为$(\sqrt{2})^2=2$。接下来分情况讨论运算次数：①仅1次运算就输出，解得的x无符合要求的负整数；②2次运算输出，即第一次得到的算术平方根是有理数，返回后第二次运算得到的绝对值为2，逆推求解x；③3次运算输出，同理逆推，同时注意题目限制$|x|＜20$，4次及以上运算得到的x绝对值会超出范围，无需考虑。
【解析】
已知输出$y=\sqrt{2}$，因此取算术平方根前的数为$(\sqrt{2})^2=2$。
1. 仅1次运算输出：
即$|x-2|=2$，解得$x=4$或$x=0$，均不是负整数，不符合要求。
2. 经过2次运算输出：
第一次运算得到的算术平方根$a$是有理数，代入得$|a-2|=2$。
因$a$是算术平方根，故$a≥0$，解得$a=4$或$a=0$：
当$a=4$时，第一次的$|x-2|=4^2=16$，解得$x=18$或$x=-14$，$x=-14$是负整数且$|-14|＜20$，符合要求；
当$a=0$时，$|x-2|=0^2=0$，解得$x=2$，不是负整数，不符合要求。
3. 经过3次运算输出：
第二次运算得到的算术平方根$n$是有理数，代入得$|n-2|=2$，解得$n=4$或$n=0$：
当$n=0$时，第二次的$|m-2|=0^2=0$（$m$是第一次算术平方根，非负有理数），得$m=2$，此时第一次的$|x-2|=2^2=4$，解得$x=6$或$x=-2$，$x=-2$是负整数且$|-2|＜20$，符合要求；
当$n=4$时，$|m-2|=4^2=16$，得$m=18$，此时$|x-2|=18^2=324$，x的绝对值远超20，不符合要求。
4. 4次及以上运算时，逆推得到的$|x-2|$更大，x绝对值必然超过20，不符合条件。
综上，符合要求的负整数x为-2、-14。
【答案】
-2，-14
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的概念
【点评】
本题结合流程图考查实数相关运算，需要运用逆推法分类讨论，解题时要注意不要遗漏运算次数的情况，同时紧扣x的取值范围筛选结果。
【难度系数】
0.3
我们采用逆推法解题：首先根据最终输出的$y=\sqrt{2}$，可知最后一步取算术平方根前的数为$(\sqrt{2})^2=2$。接下来分情况讨论运算次数：①仅1次运算就输出，解得的x无符合要求的负整数；②2次运算输出，即第一次得到的算术平方根是有理数，返回后第二次运算得到的绝对值为2，逆推求解x；③3次运算输出，同理逆推，同时注意题目限制$|x|＜20$，4次及以上运算得到的x绝对值会超出范围，无需考虑。
【解析】
已知输出$y=\sqrt{2}$，因此取算术平方根前的数为$(\sqrt{2})^2=2$。
1. 仅1次运算输出：
即$|x-2|=2$，解得$x=4$或$x=0$，均不是负整数，不符合要求。
2. 经过2次运算输出：
第一次运算得到的算术平方根$a$是有理数，代入得$|a-2|=2$。
因$a$是算术平方根，故$a≥0$，解得$a=4$或$a=0$：
当$a=4$时，第一次的$|x-2|=4^2=16$，解得$x=18$或$x=-14$，$x=-14$是负整数且$|-14|＜20$，符合要求；
当$a=0$时，$|x-2|=0^2=0$，解得$x=2$，不是负整数，不符合要求。
3. 经过3次运算输出：
第二次运算得到的算术平方根$n$是有理数，代入得$|n-2|=2$，解得$n=4$或$n=0$：
当$n=0$时，第二次的$|m-2|=0^2=0$（$m$是第一次算术平方根，非负有理数），得$m=2$，此时第一次的$|x-2|=2^2=4$，解得$x=6$或$x=-2$，$x=-2$是负整数且$|-2|＜20$，符合要求；
当$n=4$时，$|m-2|=4^2=16$，得$m=18$，此时$|x-2|=18^2=324$，x的绝对值远超20，不符合要求。
4. 4次及以上运算时，逆推得到的$|x-2|$更大，x绝对值必然超过20，不符合条件。
综上，符合要求的负整数x为-2、-14。
【答案】
-2，-14
【知识点】
绝对值运算，算术平方根，无理数的概念
【点评】
本题结合流程图考查实数相关运算，需要运用逆推法分类讨论，解题时要注意不要遗漏运算次数的情况，同时紧扣x的取值范围筛选结果。
【难度系数】
0.3
