1. 下列说法正确的是().

A.$\sqrt{3}$与$\sqrt{30}$可以合并
B.$\sqrt{5}$与$-\sqrt{45}$可以合并
C.$-\sqrt{2}$与$\sqrt{24}$可以合并
D.$\sqrt{8}$与$\sqrt{28}$可以合并

1.B

【分析】
要判断两个二次根式能否合并，核心是先把两个二次根式都化为最简二次根式，若化简后被开方数相同，说明是同类二次根式，就可以合并。我们按照这个思路，逐个化简每个选项中的二次根式，再对比被开方数即可得到正确答案。
【解析】
先明确最简二次根式的判定规则：被开方数不含能开得尽方的因数，且不含分母。接下来逐个分析选项：
A. $\sqrt{3}$是最简二次根式，被开方数为3；$\sqrt{30}$是最简二次根式，被开方数为30，二者被开方数不同，不能合并，A错误。
B. $\sqrt{5}$是最简二次根式，被开方数为5；化简$-\sqrt{45}=-\sqrt{9×5}=-3\sqrt{5}$，化简后被开方数为5，二者被开方数相同，可以合并，B正确。
C. $-\sqrt{2}$是最简二次根式，被开方数为2；化简$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数为6，二者被开方数不同，不能合并，C错误。
D. 化简$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，被开方数为2；化简$\sqrt{28}=\sqrt{4×7}=2\sqrt{7}$，被开方数为7，二者被开方数不同，不能合并，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式判定
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，解题关键是掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的判断规则，为后续二次根式的加减运算打基础。
【难度系数】
0.8

2. 给出下列算式：①$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3$；②$\sqrt{3}+\sqrt{4}=\sqrt{12}$；③$\sqrt{16}-\sqrt{8}=\sqrt{2}$.其中正确的有().

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

2.A

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路是先将每个算式中的二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），将计算结果和原式给出的结果对比，逐一判断每个算式的正误即可。
【解析】
我们逐个验证3个算式：
1. 验证算式①：
先化简二次根式：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$
则$\sqrt{27}-\sqrt{12}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}≠3$，故①错误。
2. 验证算式②：
$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{3}$和2不是同类二次根式，无法合并，左边结果为$\sqrt{3}+2$；
右边$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，显然$\sqrt{3}+2≠2\sqrt{3}$，故②错误。
3. 验证算式③：
化简得$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，左边结果为$4-2\sqrt{2}$，显然$4-2\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，故③错误。
综上，3个算式全部错误，正确的有0个。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，解题核心是牢记二次根式加减的运算规则：只有化为最简后被开方数相同的同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变。要避免出现不化简直接合并、非同类二次根式强行合并、根号内数字直接加减的常见错误。
【难度系数】
0.7

3. 计算：$(\sqrt{48}+\sqrt{36}-\sqrt{18})÷\sqrt{6}=$ ；
$(\sqrt{12}+2)×(3-\sqrt{8})=$ 。

3. $2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$；$6+6\sqrt{3}-4\sqrt{2}-4\sqrt{6}$

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路如下：
1. 第一个式子是含二次根式的多项式除以单项式，可利用除法分配律，将括号内的每一项分别除以$\sqrt{6}$，再结合二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）计算，最后化简结果即可。
2. 第二个式子是两个含二次根式的多项式相乘，类比整式多项式乘多项式法则，用第一个括号的每一项依次乘第二个括号的每一项，先将式中二次根式化为最简二次根式，再计算各项乘积，最后合并所有项即可。
【解析】
计算第一个式子：
$\begin{aligned}(\sqrt{48}+\sqrt{36}-\sqrt{18})÷\sqrt{6}&=\sqrt{48}÷\sqrt{6}+\sqrt{36}÷\sqrt{6}-\sqrt{18}÷\sqrt{6}\\&=\sqrt{\frac{48}{6}}+\sqrt{\frac{36}{6}}-\sqrt{\frac{18}{6}}\\&=\sqrt{8}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\\&=2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}\end{aligned}$
计算第二个式子：
先化简式中二次根式：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，则：
$\begin{aligned}(\sqrt{12}+2)×(3-\sqrt{8})&=(2\sqrt{3}+2)×(3-2\sqrt{2})\\&=2\sqrt{3}×3 + 2\sqrt{3}×(-2\sqrt{2}) + 2×3 + 2×(-2\sqrt{2})\\&=6\sqrt{3}-4\sqrt{6}+6-4\sqrt{2}\\&=6+6\sqrt{3}-4\sqrt{2}-4\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{3}$；$6+6\sqrt{3}-4\sqrt{2}-4\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式混合运算、多项式乘多项式、二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握二次根式的化简规则、乘除运算法则，以及多项式的运算规律，计算时要注意符号处理，避免漏乘、错算。
【难度系数】
0.7

4. 计算：$\sqrt{12} + \sqrt{48} =$ ；$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{8}} =$ ；$\sqrt{20} - \sqrt{80} =$ 。

4. $6\sqrt{3}$；$\frac{3}{4}\sqrt{2}$；$-2\sqrt{5}$

【分析】
解决二次根式加减类题目，核心思路分两步：第一步先把每个二次根式化为最简二次根式（满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式两个要求）；第二步识别同类二次根式（被开方数相同的二次根式），将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变即可。我们逐个计算三个式子：先分别化简每个式子中的二次根式，再合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{12} + \sqrt{48}$：
先化简根式：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
合并同类二次根式：$2\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(2+4)\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
2. 计算$\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{8}}$：
先化简根式：$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$
合并同类二次根式：$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{2\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{4}\sqrt{2}$
3. 计算$\sqrt{20} - \sqrt{80}$：
先化简根式：$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$
合并同类二次根式：$2\sqrt{5}-4\sqrt{5}=(2-4)\sqrt{5}=-2\sqrt{5}$
【答案】
$6\sqrt{3}$；$\frac{3}{4}\sqrt{2}$；$-2\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查最简二次根式的化简规则和同类二次根式的合并方法，掌握运算步骤后难度较低，是二次根式运算的常考基础题。
【难度系数】
0.8

5. 计算：$\sqrt{24}-\sqrt{6}=$ ；$7\sqrt{18}-5\sqrt{32}=$ ；$\sqrt{12}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}=$ 。

5. $\sqrt{6}$；$\sqrt{2}$；$3\sqrt{3}$

【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路分为两步：第一步，先把每个算式中的二次根式都化为最简二次根式（即被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步，找出同类二次根式（被开方数相同的二次根式），将它们的系数相加减，被开方数保持不变，即可得到结果。
【解析】
1. 计算$\sqrt{24}-\sqrt{6}$：
先化简$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，
则原式$=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=(2-1)\sqrt{6}=\sqrt{6}$。
2. 计算$7\sqrt{18}-5\sqrt{32}$：
先化简$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，
则原式$=7×3\sqrt{2} - 5×4\sqrt{2}=21\sqrt{2}-20\sqrt{2}=(21-20)\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
3. 计算$\sqrt{12}+3\sqrt{\dfrac{1}{3}}$：
先化简$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
则原式$=2\sqrt{3} + 3×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}$；$\sqrt{2}$；$3\sqrt{3}$
【知识点】
最简二次根式化简；同类二次根式合并；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式基础运算题，解题关键是熟练掌握最简二次根式的化简方法，合并同类二次根式时仅需对系数作加减运算，计算时需注意不要写错系数或者出现化简错误。
【难度系数】
0.8

6. 如果$\sqrt{2a - 1}$和$-\sqrt{3a - 7}$都是最简二次根式且它们可以合并，那么$a=$.

6. 6

【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心要点：一是如果最简二次根式可以合并，说明它们属于同类二次根式；二是同类二次根式的特点是化简后被开方数完全相同。我们可以根据这一性质列出关于a的方程，求解后再验证结果是否满足二次根式有意义的要求即可。
【解析】
∵ $\sqrt{2a - 1}$和$-\sqrt{3a - 7}$都是最简二次根式且可以合并
∴ 二者是同类二次根式，被开方数相等，可得方程：
$2a - 1 = 3a - 7$
移项得：$2a - 3a = -7 + 1$
合并同类项得：$-a = -6$
系数化为1得：$a = 6$
验证：当$a=6$时，$2a-1=11＞0$，$3a-7=11＞0$，且$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
最简二次根式，同类二次根式，一元一次方程求解
【点评】
本题是基础考点题型，解题关键是掌握“可合并的最简二次根式被开方数相等”的性质，求解后建议验证结果是否满足二次根式的被开方数非负、是最简形式的要求，避免出现错误。
【难度系数】
0.8

7. 一个等腰三角形的两边长分别是$\sqrt{24}$和$\sqrt{54}$，则它的周长是。

7. $7\sqrt{6}$或$8\sqrt{6}$

【分析】
解题时首先明确等腰三角形两腰长度相等，已知两边未明确腰和底，因此需分两种情况讨论：①腰长为$\sqrt{24}$，底边长为$\sqrt{54}$；②腰长为$\sqrt{54}$，底边长为$\sqrt{24}$。先将两个二次根式化简为最简形式，再对每种情况验证是否满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），符合条件的情况再计算周长即可。
【解析】
先化简二次根式：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$
分两种情况讨论：
1. 当腰长为$2\sqrt{6}$（即$\sqrt{24}$）时，三角形三边长为$2\sqrt{6}$、$2\sqrt{6}$、$3\sqrt{6}$
验证三边关系：$2\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4\sqrt{6}＞3\sqrt{6}$，满足三角形构成条件
此时周长为：$2\sqrt{6}+2\sqrt{6}+3\sqrt{6}=7\sqrt{6}$
2. 当腰长为$3\sqrt{6}$（即$\sqrt{54}$）时，三角形三边长为$3\sqrt{6}$、$3\sqrt{6}$、$2\sqrt{6}$
验证三边关系：$3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=5\sqrt{6}＞3\sqrt{6}$，满足三角形构成条件
此时周长为：$3\sqrt{6}+3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=8\sqrt{6}$
综上，该等腰三角形的周长为$7\sqrt{6}$或$8\sqrt{6}$
【答案】
$7\sqrt{6}$或$8\sqrt{6}$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，二次根式的运算
【点评】
本题易漏解，解题时要注意分类讨论等腰三角形的腰和底，每次分类后都要验证是否符合三角形三边关系，避免出现不符合实际的结果，同时二次根式运算要先化简再计算，保证结果准确。
【难度系数】
0.7

8. 计算：$|5 - \sqrt{27}| - \frac{1}{2}\sqrt{48} =$ ；
$(π + 1)^0 - |\sqrt{8} - 3| =$ 。

8. $\sqrt{3}-5$；$2\sqrt{2}-2$

【分析】
解答本题需按步骤运算：1. 处理绝对值：先化简绝对值内的二次根式，判断正负后根据绝对值性质去绝对值符号，负数的绝对值是它的相反数；2. 化简二次根式为最简形式；3. 处理零指数幂：非零数的零次幂等于1；4. 合并同类二次根式得到最终结果。第一小题先化简$\sqrt{27}$判断$5-\sqrt{27}$的正负，去绝对值后化简$\sqrt{48}$，再合并同类二次根式；第二小题先算零指数幂，再化简$\sqrt{8}$判断$\sqrt{8}-3$的正负去绝对值，去括号后合并即可。
【解析】
第一空计算：
1. 化简二次根式并判断绝对值内符号：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}\approx5.2＞5$，因此$5-\sqrt{27}＜0$，根据绝对值性质，$|5-\sqrt{27}|=\sqrt{27}-5=3\sqrt{3}-5$。
2. 化简$\frac{1}{2}\sqrt{48}$：$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$，因此$\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
3. 合并运算：原式$=(3\sqrt{3}-5)-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}-5-2\sqrt{3}=\sqrt{3}-5$。
第二空计算：
1. 计算零指数幂：$π+1≠0$，因此$(π+1)^0=1$。
2. 化简二次根式并判断绝对值内符号：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.83＜3$，因此$\sqrt{8}-3＜0$，根据绝对值性质，$|\sqrt{8}-3|=3-\sqrt{8}=3-2\sqrt{2}$。
3. 去括号合并运算：原式$=1-(3-2\sqrt{2})=1-3+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2$。
【答案】
$\sqrt{3}-5$；$2\sqrt{2}-2$
【知识点】
二次根式化简，绝对值的性质，零指数幂运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式相关的混合运算规则，只要熟练掌握绝对值化简、零指数幂性质以及二次根式化简、合并的方法，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

9. 计算：$\frac{\sqrt{8}+\sqrt{48}}{2} - \frac{\sqrt{8}-\sqrt{48}}{2} =$ ；
$(\sqrt{8}+\sqrt{32})^2 =$ 。

9. $4\sqrt{3}$；72

【分析】
第一小题观察到两个分式为同分母，可先合并分子再计算，能直接抵消相同的二次根式，比先单独化简每个根式再计算更简便；第二小题有两种解题思路，一是先把括号内的二次根式化简合并后再计算平方，二是直接利用完全平方公式展开计算，两种方法均符合二次根式运算规则，计算时注意遵循二次根式的运算性质即可。
【解析】
第一空计算：
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{8}+\sqrt{48}}{2} - \frac{\sqrt{8}-\sqrt{48}}{2} &= \frac{(\sqrt{8}+\sqrt{48}) - (\sqrt{8}-\sqrt{48})}{2} \\&= \frac{\sqrt{8}+\sqrt{48}-\sqrt{8}+\sqrt{48}}{2} \\&= \frac{2\sqrt{48}}{2} \\&= \sqrt{48}=4\sqrt{3}\end{aligned}$
第二空计算：
先化简括号内二次根式再计算平方：
$\begin{aligned}(\sqrt{8}+\sqrt{32})^2 &= (2\sqrt{2}+4\sqrt{2})^2 \\&= (6\sqrt{2})^2 \\&= 6^2×(\sqrt{2})^2 \\&= 36×2=72\end{aligned}$
（也可利用完全平方公式展开计算，结果一致）
【答案】
$4\sqrt{3}$；$72$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、完全平方公式
【点评】
本题是二次根式的基础运算题，解题时可优先观察式子结构选择简便算法，计算过程中要注意二次根式化简的正确性，合理运用运算公式可以降低出错率。
【难度系数】
0.8

10. 计算：$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=$.

10. $19+2\sqrt{6}$

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路是先观察式子结构，发现两个加数都是完全平方的形式，因此可以利用完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$分别将两个完全平方展开，再合并常数项和同类二次根式即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式分别展开两个完全平方式：
1. 展开$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(2\sqrt{3}+\sqrt{2})^2&=(2\sqrt{3})^2 + 2×2\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=4×3 + 4\sqrt{6} + 2\\&=12+4\sqrt{6}+2\\&=14+4\sqrt{6}\end{aligned}$
2. 展开$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$：
$\begin{aligned}(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2&=(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2\\&=3 - 2\sqrt{6} + 2\\&=5-2\sqrt{6}\end{aligned}$
3. 合并两个展开式的结果：
$\begin{aligned}原式&=(14+4\sqrt{6})+(5-2\sqrt{6})\\&=(14+5)+(4\sqrt{6}-2\sqrt{6})\\&=19+2\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$19+2\sqrt{6}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式乘方运算，同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的展开规则，运算过程中要注意二次根式乘方的计算规则，合并同类项时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7

11. 已知 $ x = 3 - \sqrt{10} $，求代数式 $ x^2 - 4x + 3\sqrt{10} $ 的值。

11. $7+\sqrt{10}$

【分析】
直接将x的值代入代数式计算二次根式的平方运算量较大，可先利用配方法对代数式进行变形，将原式转化为含(x-2)的表达式，先计算x-2的值，再代入简化后的式子计算，能有效降低运算难度，减少出错概率。
【解析】
先对代数式配方变形：
$x^2 - 4x + 3\sqrt{10}$
$=(x^2 -4x +4) -4 +3\sqrt{10}$
$=(x-2)^2 +3\sqrt{10} -4$
已知$x=3-\sqrt{10}$，则$x-2=3-\sqrt{10}-2=1-\sqrt{10}$，代入上式：
原式$=(1-\sqrt{10})^2 +3\sqrt{10} -4$
根据完全平方公式展开$(1-\sqrt{10})^2=1^2 - 2×1×\sqrt{10} + (\sqrt{10})^2=1-2\sqrt{10}+10=11-2\sqrt{10}$
代入得：
$11-2\sqrt{10} +3\sqrt{10} -4$
$=(11-4)+(-2\sqrt{10}+3\sqrt{10})$
$=7+\sqrt{10}$
【答案】
$7+\sqrt{10}$
【知识点】
代数式求值；配方法的应用；二次根式的运算
【点评】
本题在求解代数式值时，优先采用配方法对原式进行降次简化，相比直接代入计算的方法，运算量更小，准确率更高，是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7

12. 计算：(1) $9\sqrt{3} +7\sqrt{12} -6\sqrt{48}$；
(2) $5\sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2}\sqrt{8} -2\sqrt{\frac{9}{2}}$。

12. (1) $-\sqrt{3}$ (2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【分析】
这两道题均属于二次根式的加减运算题，解题思路遵循“先化简，再合并”的原则：第一步先将算式中所有非最简二次根式化为最简二次根式，第二步识别出被开方数相同的同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，被开方数保持不变，最终计算得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=9\sqrt{3}+7×2\sqrt{3}-6×4\sqrt{3}\\&=9\sqrt{3}+14\sqrt{3}-24\sqrt{3}\\&=(9+14-24)\sqrt{3}\\&=-\sqrt{3}\end{aligned}$
(2) 先化简各二次根式：
$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=5×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}-2×\frac{3\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\&=\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{2}-\frac{6\sqrt{2}}{2}\\&=\frac{5+2-6}{2}\sqrt{2}\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\sqrt{3}$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
最简二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题型，侧重考查二次根式化简规则和同类二次根式合并方法的掌握程度，计算时需注意系数运算的符号，避免因化简错误或系数计算失误失分。
【难度系数】
0.8

13. 如果$\sqrt{5}+2$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，那么$a^2+4ab+4b^2$的值是。

13. 20

【分析】
要解决这道题，我们分三步思考：第一步，先确定√5的取值范围，从而得到√5+2的整数部分a和小数部分b；第二步，观察待求的代数式，发现它符合完全平方公式的结构，先因式分解简化代数式，避免直接代入的复杂计算；第三步，把a、b的值代入简化后的式子计算结果即可。
【解析】
1. 估算√5的范围：
∵ $2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$
2. 确定$a$和$b$的值：
给不等式三边同时加2，得$4＜\sqrt{5}+2＜5$
∴ $\sqrt{5}+2$的整数部分$a=4$
小数部分$b = (\sqrt{5}+2) - a = \sqrt{5}+2 -4 = \sqrt{5} -2$
3. 化简待求代数式：
根据完全平方公式，$a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$
4. 代入计算：
先算$a+2b = 4 + 2×(\sqrt{5} - 2) = 4 + 2\sqrt{5} - 4 = 2\sqrt{5}$
∴ $(a+2b)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4×5 = 20$
【答案】
20
【知识点】
无理数的估算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题重点考查无理数整数部分与小数部分的确定方法，以及因式分解在代数式化简求值中的应用，解题时先利用平方数估算无理数的范围是基础，合理运用公式简化运算能有效降低计算量，减少出错概率。
【难度系数】
0.7