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12. 先化简，再求值：$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2}) - a(a-1)$，其中$a=\sqrt{5}+2$。
答案
12. 化简得原式=$a-2$，求值得原式=$a-2=\sqrt{5}$
解析
【分析】
拿到化简求值类题目，优先采用“先化简，再代值”的思路，可大幅降低计算量。首先观察式子结构：第一项$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})$符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的特征，可直接用公式展开；第二项$a(a-1)$是单项式乘多项式，按照整式乘法法则展开即可，之后去括号、合并同类项得到最简结果，最后代入$a$的数值计算即可。
【解析】
解：利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - (\sqrt{2})^2 - (a^2 - a)\\&=a^2 - 2 - a^2 + a\\&=a - 2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{5}+2$代入化简后的式子：
$原式=\sqrt{5}+2 - 2=\sqrt{5}$
【答案】
化简结果为$a-2$，求值结果为$\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，整式运算，化简求值
【点评】
本题是基础运算题，熟练掌握平方差公式、整式乘法法则以及去括号规则是解题的关键，先化简再代值的思路能有效避免复杂计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
拿到化简求值类题目，优先采用“先化简，再代值”的思路，可大幅降低计算量。首先观察式子结构：第一项$(a+\sqrt{2})(a-\sqrt{2})$符合平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$的特征，可直接用公式展开；第二项$a(a-1)$是单项式乘多项式，按照整式乘法法则展开即可，之后去括号、合并同类项得到最简结果，最后代入$a$的数值计算即可。
【解析】
解：利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$\begin{aligned}原式&=a^2 - (\sqrt{2})^2 - (a^2 - a)\\&=a^2 - 2 - a^2 + a\\&=a - 2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{5}+2$代入化简后的式子：
$原式=\sqrt{5}+2 - 2=\sqrt{5}$
【答案】
化简结果为$a-2$，求值结果为$\sqrt{5}$
【知识点】
平方差公式，整式运算，化简求值
【点评】
本题是基础运算题，熟练掌握平方差公式、整式乘法法则以及去括号规则是解题的关键，先化简再代值的思路能有效避免复杂计算，减少出错概率。
【难度系数】
0.8
13. 使$\frac{\sqrt{2x - 1}}{|x| - 2}$有意义的$x$的取值范围是
$x≥\dfrac{1}{2}$且$x≠2$
.答案
13.$x≥\dfrac{1}{2}$且$x≠2$
解析
【分析】
要使含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以先分别列出满足两个条件的不等式，分别求解后再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围，最后还要注意排除不符合第一个条件的多余解。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{2x - 1}}{|x| - 2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义：被开方数$2x-1≥0$
解不等式：$2x≥1$，得$x≥\frac{1}{2}$
2. 分式有意义：分母$\left|x\right|-2≠0$
化简得$\left|x\right|≠2$，即$x≠2$且$x≠-2$
结合第一个条件$x≥\frac{1}{2}$，$x=-2$不在这个取值范围内，无需额外排除。
综上，x的取值范围是$x≥\frac{1}{2}$且$x≠2$。
【答案】
$x≥\dfrac{1}{2}$且$x≠2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数式有意义的基础常考题型，解题的关键是明确不同类型代数式的限制条件，求解后要注意取多个条件的公共解集，避免出现多写限制条件或漏写限制条件的错误。
【难度系数】
0.7
要使含有二次根式和分式的代数式有意义，需同时满足两个限制条件：一是二次根式的被开方数必须是非负数，二是分式的分母不能为0。我们可以先分别列出满足两个条件的不等式，分别求解后再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围，最后还要注意排除不符合第一个条件的多余解。
【解析】
要使$\frac{\sqrt{2x - 1}}{|x| - 2}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义：被开方数$2x-1≥0$
解不等式：$2x≥1$，得$x≥\frac{1}{2}$
2. 分式有意义：分母$\left|x\right|-2≠0$
化简得$\left|x\right|≠2$，即$x≠2$且$x≠-2$
结合第一个条件$x≥\frac{1}{2}$，$x=-2$不在这个取值范围内，无需额外排除。
综上，x的取值范围是$x≥\frac{1}{2}$且$x≠2$。
【答案】
$x≥\dfrac{1}{2}$且$x≠2$
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于代数式有意义的基础常考题型，解题的关键是明确不同类型代数式的限制条件，求解后要注意取多个条件的公共解集，避免出现多写限制条件或漏写限制条件的错误。
【难度系数】
0.7
14. 计算：$(\sqrt{2}+1)^2 × (-\sqrt{8}) ÷ (-\sqrt{18})$
答案
14.$2+\dfrac{4}{3}\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算，解题遵循四则运算顺序思考：第一步先算乘方，利用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+1)^2$；第二步将式中的$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$化为最简二次根式；第三步处理乘除运算，先确定符号（负负得正），再将同类的二次根式部分约分简化，最后用乘法分配律计算即可，优先约分能减少运算量，降低出错概率。
【解析】
解：原式$=[(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2]×(-\sqrt{8})÷(-\sqrt{18})$
$=(2+2\sqrt{2}+1)×(-2\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})$
$=(3+2\sqrt{2})×[(-2\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})]$
$=(3+2\sqrt{2})×\frac{2}{3}$
$=3×\frac{2}{3}+2\sqrt{2}×\frac{2}{3}$
$=2+\frac{4}{3}\sqrt{2}$
【答案】
$2+\dfrac{4}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式乘除运算
3. 最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查运算顺序和二次根式化简能力，运算时优先处理符号、先约分再计算，可有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
本题属于二次根式的混合运算，解题遵循四则运算顺序思考：第一步先算乘方，利用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+1)^2$；第二步将式中的$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$化为最简二次根式；第三步处理乘除运算，先确定符号（负负得正），再将同类的二次根式部分约分简化，最后用乘法分配律计算即可，优先约分能减少运算量，降低出错概率。
【解析】
解：原式$=[(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2]×(-\sqrt{8})÷(-\sqrt{18})$
$=(2+2\sqrt{2}+1)×(-2\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})$
$=(3+2\sqrt{2})×[(-2\sqrt{2})÷(-3\sqrt{2})]$
$=(3+2\sqrt{2})×\frac{2}{3}$
$=3×\frac{2}{3}+2\sqrt{2}×\frac{2}{3}$
$=2+\frac{4}{3}\sqrt{2}$
【答案】
$2+\dfrac{4}{3}\sqrt{2}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 二次根式乘除运算
3. 最简二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，重点考查运算顺序和二次根式化简能力，运算时优先处理符号、先约分再计算，可有效提升计算准确率和效率。
【难度系数】
0.7
15. 一个长方体玻璃容器中装满水，其底面是边长为 30 cm 的正方形. 现将玻璃容器中的一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10 cm 的长方体铁盒中，当铁盒中水满时，玻璃容器中的水面下降了 20 cm，则铁盒的底面正方形的边长是多少厘米？（玻璃容器壁和铁盒壁厚度不计）
答案
15.$30\sqrt{2}$ cm
解析
【分析】
解题的核心是抓住等量关系：从玻璃容器中倒出的水的体积等于装满水的铁盒的容积。首先计算倒出的水的体积：玻璃容器底面是边长30cm的正方形，水面下降20cm，倒出的水为长方体，体积=底面积×水面下降高度。再设铁盒底面正方形边长为x cm，根据长方体体积公式表示出铁盒的容积，令二者相等列方程求解即可，注意边长为正数，需取正根，最后化简二次根式得到结果。
【解析】
解：设铁盒的底面正方形的边长为$ x $ cm。
根据倒出的水的体积等于铁盒的容积，列方程得：
$ 10x^2 = 30 × 30 × 20 $
化简右边得：$ 10x^2 = 18000 $
两边同时除以10得：$ x^2 = 1800 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} $
【答案】
$ 30\sqrt{2} $ cm
【知识点】
长方体体积计算；一元二次方程的应用；二次根式的化简
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用题，解题关键是找准体积相等的等量关系，求解时要注意结合实际意义舍去负根，同时要掌握二次根式的正确化简方法。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住等量关系：从玻璃容器中倒出的水的体积等于装满水的铁盒的容积。首先计算倒出的水的体积：玻璃容器底面是边长30cm的正方形，水面下降20cm，倒出的水为长方体，体积=底面积×水面下降高度。再设铁盒底面正方形边长为x cm，根据长方体体积公式表示出铁盒的容积，令二者相等列方程求解即可，注意边长为正数，需取正根，最后化简二次根式得到结果。
【解析】
解：设铁盒的底面正方形的边长为$ x $ cm。
根据倒出的水的体积等于铁盒的容积，列方程得：
$ 10x^2 = 30 × 30 × 20 $
化简右边得：$ 10x^2 = 18000 $
两边同时除以10得：$ x^2 = 1800 $
因为边长为正数，所以$ x = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} $
【答案】
$ 30\sqrt{2} $ cm
【知识点】
长方体体积计算；一元二次方程的应用；二次根式的化简
【点评】
本题是几何与代数结合的实际应用题，解题关键是找准体积相等的等量关系，求解时要注意结合实际意义舍去负根，同时要掌握二次根式的正确化简方法。
【难度系数】
0.7
16. 在化简$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$时，小宏使用了如下方法：
$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} +1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1.$
请你参照小宏的方法，化简：
(1)$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$； (2)$\sqrt{7+4\sqrt{3}}.$
$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} +1}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1.$
请你参照小宏的方法，化简：
(1)$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$； (2)$\sqrt{7+4\sqrt{3}}.$
答案
16.(1)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$ (2)$2+\sqrt{3}$
解析
【分析】
小宏的化简核心是将复合二次根号下的式子凑成完全平方形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为实数）开方得到最简结果。解题步骤为：①将根号内形如$m\pm2\sqrt{n}$的式子中，把常数$m$拆成两个正数的和；②验证这两个正数乘积的算术平方根的2倍恰好等于$2\sqrt{n}$，凑成$(a\pm b)^2$的形式；③根据二次根式非负性，去掉绝对值得到最终结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$：
观察根号内的式子，将常数5拆为3+2，其中$(\sqrt{3})^2=3$，$(\sqrt{2})^2=2$，且$2×\sqrt{3}×\sqrt{2}=2\sqrt{6}$，因此：
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}$
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，即$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0$，所以$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(2) 化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$：
先将$4\sqrt{3}$变形为$2×2×\sqrt{3}$，再把常数7拆为4+3，其中$2^2=4$，$(\sqrt{3})^2=3$，因此：
$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$
因为$2+\sqrt{3}＞0$，所以$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(2)$2+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧类题型，通过模仿示例凑完全平方的方法即可求解，重点考查对完全平方公式的灵活运用和二次根式非负性的理解，掌握拆分方法后能快速解决同类复合二次根式化简问题。
【难度系数】
0.7
小宏的化简核心是将复合二次根号下的式子凑成完全平方形式，再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为实数）开方得到最简结果。解题步骤为：①将根号内形如$m\pm2\sqrt{n}$的式子中，把常数$m$拆成两个正数的和；②验证这两个正数乘积的算术平方根的2倍恰好等于$2\sqrt{n}$，凑成$(a\pm b)^2$的形式；③根据二次根式非负性，去掉绝对值得到最终结果。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$：
观察根号内的式子，将常数5拆为3+2，其中$(\sqrt{3})^2=3$，$(\sqrt{2})^2=2$，且$2×\sqrt{3}×\sqrt{2}=2\sqrt{6}$，因此：
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}$
因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，即$\sqrt{3}-\sqrt{2}＞0$，所以$\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
(2) 化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$：
先将$4\sqrt{3}$变形为$2×2×\sqrt{3}$，再把常数7拆为4+3，其中$2^2=4$，$(\sqrt{3})^2=3$，因此：
$\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{2^2 + 2×2×\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}$
因为$2+\sqrt{3}＞0$，所以$\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；(2)$2+\sqrt{3}$
【知识点】
完全平方公式；二次根式化简；算术平方根的性质
【点评】
本题属于二次根式化简的技巧类题型，通过模仿示例凑完全平方的方法即可求解，重点考查对完全平方公式的灵活运用和二次根式非负性的理解，掌握拆分方法后能快速解决同类复合二次根式化简问题。
【难度系数】
0.7
17. 观察规律：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$，$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，$\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$……请写出这列式子中的第$n$个式子，并求$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{3\sqrt{11}+10}$的值。
答案
17. 第$n$个式子是$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{3\sqrt{11}+10}=9$
解析
【分析】
首先找规律：观察给出的前几个式子，等式左边分母都是两个相邻正整数的算术平方根的和，分子都是1；等式右边是这两个算术平方根的差，据此可推导第n个式子。其次计算求和：将每一项按照找到的规律拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，再计算即可，注意最后一项的分母需要先变形为两个算术平方根的和的形式，对应得到拆分结果。
【解析】
1. 推导第n个式子：
观察已知式子：
第1个式子：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$
第2个式子：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第3个式子：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$
……
可得第n个式子为：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
通过分母有理化验证：左边分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母为$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，因此左边等于$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，等式成立。
2. 计算求和式：
先变形最后一项的分母：$3\sqrt{11}=\sqrt{9×11}=\sqrt{99}$，$10=\sqrt{100}$，因此最后一项为$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$
将原式每一项拆分：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\&=\sqrt{100}-1\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
第$n$个式子是$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{3\sqrt{11}+10}$的值为$9$
【知识点】
规律探究，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题将规律探究与二次根式计算相结合，解题关键是准确找到式子的变形规律，利用裂项相消的方法简化计算，避免逐项计算的繁琐，是二次根式相关的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先找规律：观察给出的前几个式子，等式左边分母都是两个相邻正整数的算术平方根的和，分子都是1；等式右边是这两个算术平方根的差，据此可推导第n个式子。其次计算求和：将每一项按照找到的规律拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，再计算即可，注意最后一项的分母需要先变形为两个算术平方根的和的形式，对应得到拆分结果。
【解析】
1. 推导第n个式子：
观察已知式子：
第1个式子：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$
第2个式子：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第3个式子：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$
……
可得第n个式子为：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
通过分母有理化验证：左边分子分母同乘$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，分母为$(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=(\sqrt{n+1})^2-(\sqrt{n})^2=(n+1)-n=1$，因此左边等于$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，等式成立。
2. 计算求和式：
先变形最后一项的分母：$3\sqrt{11}=\sqrt{9×11}=\sqrt{99}$，$10=\sqrt{100}$，因此最后一项为$\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$
将原式每一项拆分：
$\begin{aligned}原式&=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{100}-\sqrt{99})\\&=\sqrt{100}-1\\&=10-1\\&=9\end{aligned}$
【答案】
第$n$个式子是$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{3\sqrt{11}+10}$的值为$9$
【知识点】
规律探究，分母有理化，二次根式运算
【点评】
本题将规律探究与二次根式计算相结合，解题关键是准确找到式子的变形规律，利用裂项相消的方法简化计算，避免逐项计算的繁琐，是二次根式相关的典型题型。
【难度系数】
0.7
