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14. 已知 $x=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$y=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，求 $x^2 + xy + y^2$ 的值.
答案
14. 18
解析
【分析】
如果直接将x、y的值代入代数式计算，过程繁琐且容易出错。我们可以先利用完全平方公式对所求代数式进行变形：$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，只需要先分别求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入变形后的式子计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
首先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2\sqrt{5}$
$xy=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$
再对所求代数式变形：
$x^2+xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-xy=(x+y)^2-xy$
将$x+y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{5})^2 - 2=4×5 -2=20-2=18$
【答案】
18
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，采用整体代入的思想可简化计算过程，熟练掌握整式乘法公式能帮助我们快速找到解题思路，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
如果直接将x、y的值代入代数式计算，过程繁琐且容易出错。我们可以先利用完全平方公式对所求代数式进行变形：$x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy$，只需要先分别求出$x+y$与$xy$的值，再整体代入变形后的式子计算即可，能大幅简化计算过程。
【解析】
首先计算$x+y$与$xy$的值：
$x+y=(\sqrt{5}+\sqrt{3})+(\sqrt{5}-\sqrt{3})=2\sqrt{5}$
$xy=(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2=5-3=2$
再对所求代数式变形：
$x^2+xy+y^2=(x^2+2xy+y^2)-xy=(x+y)^2-xy$
将$x+y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{5})^2 - 2=4×5 -2=20-2=18$
【答案】
18
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题考查代数式的化简求值，采用整体代入的思想可简化计算过程，熟练掌握整式乘法公式能帮助我们快速找到解题思路，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
15. 当$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$时，求$a^3 -2a -2$的值。
答案
15. -1
解析
【分析】
已知a的表达式带有根号，若直接代入$a^3 -2a -2$计算高次幂运算量较大，容易出错。我们可以先对a的表达式进行变形，通过平方去掉根号，得到关于a的低次整式恒等式，再利用该恒等式对$a^3$进行降次处理，最后整体代入代数式计算即可，这种方法能大幅简化运算。
【解析】
解：已知$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
1. 对a的表达式变形去根号
两边同乘2得：$2a=\sqrt{5}+1$
移项得：$2a-1=\sqrt{5}$
两边同时平方：$(2a-1)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边：$4a^2-4a+1=5$
整理得：$4a^2-4a=4$，两边同除以4得：$a^2=a+1$
2. 对$a^3$降次
$a^3=a· a^2$，将$a^2=a+1$代入得：
$a^3=a(a+1)=a^2+a$
再次将$a^2=a+1$代入上式得：
$a^3=(a+1)+a=2a+1$
3. 代入原式计算
将$a^3=2a+1$代入$a^3 -2a -2$得：
原式$=2a+1-2a-2=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式运算、代数式求值、整体代入
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是避免直接代入高次运算，通过对已知条件变形得到整式恒等式，利用降次和整体代入的思路简化计算，这类解题思路在处理含无理数的高次代数式求值问题中非常常用。
【难度系数】
0.6
已知a的表达式带有根号，若直接代入$a^3 -2a -2$计算高次幂运算量较大，容易出错。我们可以先对a的表达式进行变形，通过平方去掉根号，得到关于a的低次整式恒等式，再利用该恒等式对$a^3$进行降次处理，最后整体代入代数式计算即可，这种方法能大幅简化运算。
【解析】
解：已知$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
1. 对a的表达式变形去根号
两边同乘2得：$2a=\sqrt{5}+1$
移项得：$2a-1=\sqrt{5}$
两边同时平方：$(2a-1)^2=(\sqrt{5})^2$
展开左边：$4a^2-4a+1=5$
整理得：$4a^2-4a=4$，两边同除以4得：$a^2=a+1$
2. 对$a^3$降次
$a^3=a· a^2$，将$a^2=a+1$代入得：
$a^3=a(a+1)=a^2+a$
再次将$a^2=a+1$代入上式得：
$a^3=(a+1)+a=2a+1$
3. 代入原式计算
将$a^3=2a+1$代入$a^3 -2a -2$得：
原式$=2a+1-2a-2=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次根式运算、代数式求值、整体代入
【点评】
本题是代数式求值的典型题型，核心技巧是避免直接代入高次运算，通过对已知条件变形得到整式恒等式，利用降次和整体代入的思路简化计算，这类解题思路在处理含无理数的高次代数式求值问题中非常常用。
【难度系数】
0.6
16. 小明画了两张漂亮的正方形图画，其中一张面积为$800\ \mathrm{cm}^2$，另一张面积为$450\ \mathrm{cm}^2$. 如果把这两张图画的边镶上彩带就更漂亮了，小明现在有一根1.2 m长的彩带，请你帮他算一算，这根彩带够用吗？如果不够用，大约还需要一根多长的彩带？($\sqrt{2} \approx 1.414$，结果精确到1 cm)
答案
16. 不够用. 大约还需要一根78 cm长的彩带
解析
【分析】
要判断彩带是否够用，需先求出两张正方形图画镶边所需的总彩带长度，即两个正方形的周长之和。首先根据正方形面积公式，由面积求出各自的边长（正方形边长是其面积的算术平方根），再用正方形周长公式计算总周长，将总长度和现有彩带长度比较，若总长度更大则不够用，二者的差值就是还需要的彩带长度。解题时注意先化简二次根式，再代入√2的近似值计算，还要统一单位。
【解析】
首先统一单位：$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm}$
1. 计算两个正方形的边长：
面积为$800\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{800}=\sqrt{400×2}=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
面积为$450\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=15\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
2. 计算两个正方形的总周长：
正方形周长公式为$C=4a$（$a$为边长），因此总周长为：
$4×20\sqrt{2} + 4×15\sqrt{2}=80\sqrt{2}+60\sqrt{2}=140\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
3. 代入近似值计算并比较：
把$\sqrt{2}\approx1.414$代入得：$140\sqrt{2}\approx140×1.414=197.96\approx198\ \mathrm{cm}$
因为$198＞120$，所以现有彩带不够用。
4. 计算还需要的彩带长度：$198-120=78\ \mathrm{cm}$
【答案】
不够用，大约还需要一根78 cm长的彩带
【知识点】
算术平方根的应用；二次根式的运算；正方形周长计算
【点评】
本题结合生活实际考查二次根式的相关运算，解题时要先统一单位，再通过正方形面积与周长的关系求出总镶边长度，最后通过对比和减法计算得出结果，计算过程中先对二次根式化简能降低运算难度。
【难度系数】
0.7
要判断彩带是否够用，需先求出两张正方形图画镶边所需的总彩带长度，即两个正方形的周长之和。首先根据正方形面积公式，由面积求出各自的边长（正方形边长是其面积的算术平方根），再用正方形周长公式计算总周长，将总长度和现有彩带长度比较，若总长度更大则不够用，二者的差值就是还需要的彩带长度。解题时注意先化简二次根式，再代入√2的近似值计算，还要统一单位。
【解析】
首先统一单位：$1.2\ \mathrm{m}=120\ \mathrm{cm}$
1. 计算两个正方形的边长：
面积为$800\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{800}=\sqrt{400×2}=20\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
面积为$450\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长：$\sqrt{450}=\sqrt{225×2}=15\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
2. 计算两个正方形的总周长：
正方形周长公式为$C=4a$（$a$为边长），因此总周长为：
$4×20\sqrt{2} + 4×15\sqrt{2}=80\sqrt{2}+60\sqrt{2}=140\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
3. 代入近似值计算并比较：
把$\sqrt{2}\approx1.414$代入得：$140\sqrt{2}\approx140×1.414=197.96\approx198\ \mathrm{cm}$
因为$198＞120$，所以现有彩带不够用。
4. 计算还需要的彩带长度：$198-120=78\ \mathrm{cm}$
【答案】
不够用，大约还需要一根78 cm长的彩带
【知识点】
算术平方根的应用；二次根式的运算；正方形周长计算
【点评】
本题结合生活实际考查二次根式的相关运算，解题时要先统一单位，再通过正方形面积与周长的关系求出总镶边长度，最后通过对比和减法计算得出结果，计算过程中先对二次根式化简能降低运算难度。
【难度系数】
0.7
17. 小明在解方程$\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$①时采用了下面的方法：$(\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x})·(\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x})=(\sqrt{24-x})^2-(\sqrt{8-x})^2=(24-x)-(8-x)=16$.
因为$\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$，所以$\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x}=8$②.
将①②联立可得$\begin{cases}\sqrt{24-x}=5,\\\sqrt{8-x}=3.\end{cases}$
将$\sqrt{24-x}=5$两边平方可解得 $x = -1$,
经检验$x=-1$是原方程的解.
请你仿照小明的方法，解决下面问题：
(1) 方程$\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10$的解是
(2) 解方程：$\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x$.
因为$\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$，所以$\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x}=8$②.
将①②联立可得$\begin{cases}\sqrt{24-x}=5,\\\sqrt{8-x}=3.\end{cases}$
将$\sqrt{24-x}=5$两边平方可解得 $x = -1$,
经检验$x=-1$是原方程的解.
请你仿照小明的方法，解决下面问题：
(1) 方程$\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10$的解是
$x=\pm2$
；(2) 解方程：$\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x$.
答案
17. (1) $x=\pm2$ (2) $x=3$
解析
【分析】
本题是方法模仿类题型，核心思路是利用平方差公式构造对偶式（将原式中两个根式的加减号互换得到的式子），先通过平方差运算消去根号内的公共项，得到两个根式的和与差的乘积，再结合已知的和或差求出对偶式的值，联立两个式子即可单独求出每个根式的值，平方后求解未知数，最后检验解是否满足原方程即可。解第(2)问时要先根据二次根式非负的性质确定x的取值范围，避免出现增根。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算对偶式的乘积：
$(\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12})·(\sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12})=(\sqrt{x^2+32})^2-(\sqrt{x^2+12})^2=(x^2+32)-(x^2+12)=20$
已知$\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10$，代入得：$\sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12}=20÷10=2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10 \\ \sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12}=2 \end{cases}$
两式相加得$2\sqrt{x^2+32}=12$，即$\sqrt{x^2+32}=6$，两边平方得$x^2+32=36$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
经检验，$x=\pm2$代入原方程均成立，是方程的解。
(2) 首先确定取值范围：左边两个二次根式均非负，因此右边$4x≥0$，即$x≥0$，且$x=0$时根号内为负数无意义，故$x＞0$。
利用平方差公式计算对偶式的乘积：
$(\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5})·(\sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5})=(4x^2+6x-5)-(4x^2-2x-5)=8x$
已知$\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x$，代入得：$\sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5}=8x÷4x=2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x \\ \sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5}=2 \end{cases}$
两式相加得$2\sqrt{4x^2+6x-5}=4x+2$，化简得$\sqrt{4x^2+6x-5}=2x+1$，两边平方得：
$4x^2+6x-5=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$
移项化简得$2x=6$，解得$x=3$。
经检验，$x=3$代入原方程左边为$\sqrt{49}+\sqrt{25}=12$，右边为$4×3=12$，左右两边相等，是原方程的解。
【答案】
(1) $x=\pm2$；(2) $x=3$
【知识点】
平方差公式，无理方程求解，二次根式的性质
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先掌握题干给出的构造对偶式结合平方差公式解无理方程的方法，求解过程中要注意二次根式有意义的隐含条件，求出解后必须代入原方程检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
本题是方法模仿类题型，核心思路是利用平方差公式构造对偶式（将原式中两个根式的加减号互换得到的式子），先通过平方差运算消去根号内的公共项，得到两个根式的和与差的乘积，再结合已知的和或差求出对偶式的值，联立两个式子即可单独求出每个根式的值，平方后求解未知数，最后检验解是否满足原方程即可。解第(2)问时要先根据二次根式非负的性质确定x的取值范围，避免出现增根。
【解析】
(1) 利用平方差公式计算对偶式的乘积：
$(\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12})·(\sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12})=(\sqrt{x^2+32})^2-(\sqrt{x^2+12})^2=(x^2+32)-(x^2+12)=20$
已知$\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10$，代入得：$\sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12}=20÷10=2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{x^2+32}+\sqrt{x^2+12}=10 \\ \sqrt{x^2+32}-\sqrt{x^2+12}=2 \end{cases}$
两式相加得$2\sqrt{x^2+32}=12$，即$\sqrt{x^2+32}=6$，两边平方得$x^2+32=36$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
经检验，$x=\pm2$代入原方程均成立，是方程的解。
(2) 首先确定取值范围：左边两个二次根式均非负，因此右边$4x≥0$，即$x≥0$，且$x=0$时根号内为负数无意义，故$x＞0$。
利用平方差公式计算对偶式的乘积：
$(\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5})·(\sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5})=(4x^2+6x-5)-(4x^2-2x-5)=8x$
已知$\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x$，代入得：$\sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5}=8x÷4x=2$
联立两个方程：
$\begin{cases}\sqrt{4x^2+6x-5}+\sqrt{4x^2-2x-5}=4x \\ \sqrt{4x^2+6x-5}-\sqrt{4x^2-2x-5}=2 \end{cases}$
两式相加得$2\sqrt{4x^2+6x-5}=4x+2$，化简得$\sqrt{4x^2+6x-5}=2x+1$，两边平方得：
$4x^2+6x-5=(2x+1)^2=4x^2+4x+1$
移项化简得$2x=6$，解得$x=3$。
经检验，$x=3$代入原方程左边为$\sqrt{49}+\sqrt{25}=12$，右边为$4×3=12$，左右两边相等，是原方程的解。
【答案】
(1) $x=\pm2$；(2) $x=3$
【知识点】
平方差公式，无理方程求解，二次根式的性质
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先掌握题干给出的构造对偶式结合平方差公式解无理方程的方法，求解过程中要注意二次根式有意义的隐含条件，求出解后必须代入原方程检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
