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8. 如图,在$\triangle ABC$中,直线$ED垂直平分线段BC$,分别交$BC$,$AB于点D$,$E$,若$BD = 3$,$\triangle AEC的周长为20$,则$\triangle ABC$的周长为(
A.$23$
B.$26$
C.$28$
D.$30$
B
)A.$23$
B.$26$
C.$28$
D.$30$
答案
B
解析
∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，BC=2BD=6。
∵△AEC的周长为20，
∴AE+EC+AC=20。
∵EC=EB，
∴AE+EB+AC=AB+AC=20。
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20+6=26。
B
9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 115^{\circ}$,$BC = 15\mathrm{cm}$,$EF$,$MN分别为AB$,$AC$的垂直平分线,则$\triangle FAN$的周长是
15cm
,$\angle FAN$的度数为50°
.答案
15cm 50°
解析
∵EF是AB的垂直平分线，
∴FA=FB。
∵MN是AC的垂直平分线，
∴NA=NC。
△FAN的周长=FA+FN+NA=FB+FN+NC=BC=15cm。
∵FA=FB，
∴∠FAB=∠B。
∵NA=NC，
∴∠NAC=∠C。
在△ABC中，∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=65°。
∴∠FAB+∠NAC=∠B+∠C=65°。
∠FAN=∠BAC-(∠FAB+∠NAC)=115°-65°=50°。
15cm 50°
10. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$BC边的垂直平分线MN经过点A$,连接$AC$. 求证：点$A在CD$的垂直平分线上.
答案
证明:
∵MN垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵AB=AD,
∴AC=AD.
∴点A在CD的垂直平分线上.
∵MN垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵AB=AD,
∴AC=AD.
∴点A在CD的垂直平分线上.
11. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC边的垂直平分线DE与\angle BAC的平分线交于点E$,$EF\perp AB交AB的延长线于点F$,$EG\perp AC交AC于点G$. 求证：(1)$BF = CG$；(2)$AF= \dfrac{1}{2}(AB + AC)$.
答案
证明:
(1)如图，连接BE,CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵DE垂直平分BC,
∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC 中，{EB=EC,EF=EG,
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.
(2)
∵BF=CG,
∴AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG.又易证Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG,
∴AF=$\frac{1}{2}$(AB+AC).
(1)如图，连接BE,CE.
∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,
∴EF=EG.
∵DE垂直平分BC,
∴EB=EC.在Rt△EFB和Rt△EGC 中，{EB=EC,EF=EG,
∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL),
∴BF=CG.
(2)
∵BF=CG,
∴AB+AC=AB+BF+AG=AF+AG.又易证Rt△AEF≌Rt△AEG(HL),
∴AF=AG,
∴AF=$\frac{1}{2}$(AB+AC).
