登录
4. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 的值不存在，则 $x =$.
答案
$-1$
解析
要使分式 $\frac{1}{x + 1}$ 的值不存在，则分母必须为 $0$，即 $x + 1 = 0$，解得 $x = -1$。
5. 下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？
(1) $\frac{5}{x}$；(2) $\frac{x + 3}{x - 3}$；(3) $\frac{3x}{2x + 4}$；(4) $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$.
(1) $\frac{5}{x}$；(2) $\frac{x + 3}{x - 3}$；(3) $\frac{3x}{2x + 4}$；(4) $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$.
答案
(1) 要使分式 $\frac{5}{x}$ 有意义，分母 $x$ 不能为0。
$\therefore x \neq 0$。
(2) 要使分式 $\frac{x + 3}{x - 3}$ 有意义，分母 $x - 3$ 不能为0。
$\therefore x \neq 3$。
(3) 要使分式 $\frac{3x}{2x + 4}$ 有意义，分母 $2x + 4$ 不能为0。
解不等式：$2x + 4 \neq 0$，
$\therefore x \neq -2$。
(4) 要使分式 $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$ 有意义，分母 $x^{2} + 2$ 不能为0，
因为$x^{2} \geq 0$，则$x^{2} + 2 \geq 2 ＞ 0$，
所以$x^{2} + 2$始终不为0，该分式对所有的$x$都有意义。
$\therefore x$ 取任意实数。
$\therefore x \neq 0$。
(2) 要使分式 $\frac{x + 3}{x - 3}$ 有意义，分母 $x - 3$ 不能为0。
$\therefore x \neq 3$。
(3) 要使分式 $\frac{3x}{2x + 4}$ 有意义，分母 $2x + 4$ 不能为0。
解不等式：$2x + 4 \neq 0$，
$\therefore x \neq -2$。
(4) 要使分式 $\frac{x - 2}{x^{2} + 2}$ 有意义，分母 $x^{2} + 2$ 不能为0，
因为$x^{2} \geq 0$，则$x^{2} + 2 \geq 2 ＞ 0$，
所以$x^{2} + 2$始终不为0，该分式对所有的$x$都有意义。
$\therefore x$ 取任意实数。
6. 使分式 $\frac{-2}{1 - 3x}$ 的值为正的条件是().
A.$x ＜ \frac{1}{3}$
B.$x ＞ \frac{1}{3}$
C.$x ＜ 0$
D.$x ＞ 0$
A.$x ＜ \frac{1}{3}$
B.$x ＞ \frac{1}{3}$
C.$x ＜ 0$
D.$x ＞ 0$
答案
B
解析
要使分式 $\frac{-2}{1 - 3x}$ 的值为正，需满足分子与分母同号。由于分子为 $-2$（负数），因此分母也需为负数，即 $1 - 3x ＜ 0$。解不等式 $1 - 3x ＜ 0$，得 $x ＞ \frac{1}{3}$。
7. (2024 济南) 若分式 $\frac{x - 1}{2x}$ 的值为 $0$，则 $x$ 的值是.
答案
1
解析
要使分式$\frac{x - 1}{2x}$的值为$0$，则分子为$0$且分母不为$0$。分子$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；分母$2x \neq 0$，即$x \neq 0$。综上，$x = 1$。
8. 当 $x$ 取何值时，下列分式的值为 $0$？
(1) $\frac{x + 2}{2x - 3}$；(2) $\frac{\vert x\vert - 2}{x + 2}$；(3) $\frac{x + 4}{x^{2} + 2}$.
(1) $\frac{x + 2}{2x - 3}$；(2) $\frac{\vert x\vert - 2}{x + 2}$；(3) $\frac{x + 4}{x^{2} + 2}$.
答案
(1)由分式 $\frac{x + 2}{2x - 3}$ 的值为 $0$，
得$x + 2 = 0$ 且 $2x - 3 \neq 0$，
解得$x = -2$且$x \neq \frac{3}{2}$，
综上，$x = - 2$。
(2)由分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为$0$，
得$|x| - 2 = 0$且$x + 2 \neq 0$，
由$|x| - 2 = 0$，得$x = \pm 2$，
由$x + 2 \neq 0$，得$x \neq - 2$，
综上，$x = 2$。
(3)由分式$\frac{x + 4}{x^{2} + 2}$的值为$0$，
得$x + 4 = 0$且$x^{2} + 2 \neq 0$，
解得$x = - 4$，
因为$x^{2} + 2 \geq 2$，
所以$x = - 4$满足题意。
综上，$x = - 4$。
得$x + 2 = 0$ 且 $2x - 3 \neq 0$，
解得$x = -2$且$x \neq \frac{3}{2}$，
综上，$x = - 2$。
(2)由分式$\frac{|x| - 2}{x + 2}$的值为$0$，
得$|x| - 2 = 0$且$x + 2 \neq 0$，
由$|x| - 2 = 0$，得$x = \pm 2$，
由$x + 2 \neq 0$，得$x \neq - 2$，
综上，$x = 2$。
(3)由分式$\frac{x + 4}{x^{2} + 2}$的值为$0$，
得$x + 4 = 0$且$x^{2} + 2 \neq 0$，
解得$x = - 4$，
因为$x^{2} + 2 \geq 2$，
所以$x = - 4$满足题意。
综上，$x = - 4$。
9. $5$ 个人 $n$ 天完成一项工作，设总的工作量为 $1$，则平均每人每天的工作量是().
A.$\frac{5}{n}$
B.$\frac{n}{5}$
C.$5n$
D.$\frac{1}{5n}$
A.$\frac{5}{n}$
B.$\frac{n}{5}$
C.$5n$
D.$\frac{1}{5n}$
答案
D
解析
设总工作量为1，5个人n天完成工作，则总的工作量可以表示为5人×n天×每人每天的工作量，即$5 × n × 每人每天的工作量 =1$，所以平均每人每天的工作量为$\frac{1}{5n}$。
10. 在一项居民住房改造工程中，某社区计划用 $a$ 天完成建筑面积为 $1000\ m^{2}$ 的居民住房改造任务.若实际比计划提前 $b$ 天完成改造任务，则代数式“$\frac{1000}{a - b}$”表示的意义为.
答案
实际每天完成的建筑面积
解析
计划用$a$天完成$1000m^2$的改造任务，实际提前$b$天完成，则实际用时为$(a - b)$天。根据工作效率 = 工作总量÷工作时间，$\frac{1000}{a - b}$表示实际每天完成的建筑面积。
11. 下列关于分式的判断，正确的是().
$A.$当$ x = 2 $时，
的值为$ 0$
B.无论 $x$ 为何值，$\frac{3}{x^{2} + 1}$ 的值总为正数
C.无论 $x$ 为何值，$\frac{3}{x + 1}$ 不可能得整数值
D.当 $x \neq 3$ 时，$\frac{x - 3}{x}$ 有意义
$A.$当$ x = 2 $时，
的值为$ 0$ B.无论 $x$ 为何值，$\frac{3}{x^{2} + 1}$ 的值总为正数
C.无论 $x$ 为何值，$\frac{3}{x + 1}$ 不可能得整数值
D.当 $x \neq 3$ 时，$\frac{x - 3}{x}$ 有意义
答案
B
解析
A. 对于选项A，当$x = 2$时，分母$x - 2 = 0$，分式无意义，所以A选项错误。
B. 对于选项B，因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 1 \gt 0$，且分子为3（正数），所以$\frac{3}{x^{2} + 1}$的值总为正数，B选项正确。
C. 对于选项C，当$x = -2$时，$\frac{3}{x + 1} = \frac{3}{-2 + 1} = -3$，此时分式的值为整数，所以C选项错误。
D. 对于选项D，当$x = 0$时，分母为0，分式无意义，但题目条件为$x \neq 3$，这并不能保证分母不为0，所以D选项错误。
B. 对于选项B，因为$x^{2} \geq 0$，所以$x^{2} + 1 \gt 0$，且分子为3（正数），所以$\frac{3}{x^{2} + 1}$的值总为正数，B选项正确。
C. 对于选项C，当$x = -2$时，$\frac{3}{x + 1} = \frac{3}{-2 + 1} = -3$，此时分式的值为整数，所以C选项错误。
D. 对于选项D，当$x = 0$时，分母为0，分式无意义，但题目条件为$x \neq 3$，这并不能保证分母不为0，所以D选项错误。
12. (易错题) 已知式子 $\frac{(x - 8)(x + 1)}{\vert x\vert - 1}$，当 $x =$______时，分式无意义；当 $x =$______时，分式的值为 $0$.
答案
当$x = \pm 1$时，分式无意义；当$x = 8$时，分式的值为$0$。
故答案依次为：$\pm 1$；$8$。
故答案依次为：$\pm 1$；$8$。
解析
分式无意义当分母为$0$，即$\vert x\vert - 1 = 0$，解得$x = \pm 1$；
分式的值为$0$时，分子$(x - 8)(x + 1)=0$且分母$\vert x\vert - 1\neq 0$，
由$(x - 8)(x + 1)=0$得$x = 8$或$x = - 1$，
又因为$\vert x\vert - 1\neq 0$，即$x\neq\pm1$，所以$x = 8$。
分式的值为$0$时，分子$(x - 8)(x + 1)=0$且分母$\vert x\vert - 1\neq 0$，
由$(x - 8)(x + 1)=0$得$x = 8$或$x = - 1$，
又因为$\vert x\vert - 1\neq 0$，即$x\neq\pm1$，所以$x = 8$。
13. 数学来源于生活.众所周知，“糖水加糖会变甜”，人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度.若 $a\ g$ 糖水中含 $b\ g$ 糖 $(a ＞ b ＞ 0)$，则该糖水的甜度为 $\frac{b}{a}$，若再加入 $m\ g$ $(m ＞ 0)$ 糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了.由此我们可以得到一个不等式.(均用含 $a$，$b$，$m$ 的式子表示)
答案
$\frac{b + m}{a + m}$；$\frac{b}{a} \lt \frac{b + m}{a + m}$
解析
本题可根据已知条件分别表示出加糖前和加糖后糖水的甜度，再根据加糖后感觉糖水更甜这一条件列出不等式。
步骤一：求出加入$m\ g$糖后糖水的甜度
已知$a\ g$糖水中含$b\ g$糖，再加入$m\ g(m\gt0)$糖，则此时糖的质量为$(b + m)g$，糖水的质量为$(a + m)g$。
因为糖水的甜度为糖的质量与糖水质量的比值，所以此时糖水的甜度为$\frac{b + m}{a + m}$。
步骤二：根据“加糖后感觉糖水更甜”列出不等式
加糖前糖水的甜度为$\frac{b}{a}$，加糖后糖水的甜度为$\frac{b + m}{a + m}$，由于加糖后感觉糖水更甜，即加糖后糖水中糖与糖水的比值更大，所以可得不等式$\frac{b}{a} \lt \frac{b + m}{a + m}$。
步骤一：求出加入$m\ g$糖后糖水的甜度
已知$a\ g$糖水中含$b\ g$糖，再加入$m\ g(m\gt0)$糖，则此时糖的质量为$(b + m)g$，糖水的质量为$(a + m)g$。
因为糖水的甜度为糖的质量与糖水质量的比值，所以此时糖水的甜度为$\frac{b + m}{a + m}$。
步骤二：根据“加糖后感觉糖水更甜”列出不等式
加糖前糖水的甜度为$\frac{b}{a}$，加糖后糖水的甜度为$\frac{b + m}{a + m}$，由于加糖后感觉糖水更甜，即加糖后糖水中糖与糖水的比值更大，所以可得不等式$\frac{b}{a} \lt \frac{b + m}{a + m}$。
