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【例 4】(1) 一件工程，甲单独做需要 $a\ h$ 完成，乙单独做需要 $b\ h$ 完成，若甲、乙合作完成此工程，则需要$h$；
(2) 如图，有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度，从中抽出 $1\ m$ 长的电线，称出它的质量为 $m\ kg$，再称出剩余的电线和轴芯的总质量为 $n\ kg$.已知轴芯的质量为 $c\ kg$，则这捆电线的总长度是$m$.
(2) 如图，有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其长度，从中抽出 $1\ m$ 长的电线，称出它的质量为 $m\ kg$，再称出剩余的电线和轴芯的总质量为 $n\ kg$.已知轴芯的质量为 $c\ kg$，则这捆电线的总长度是$m$.
答案
(1) $\frac{ab}{a + b}$
(2) $1 + \frac{n - c}{m}$（或 $\frac{n - c + m}{m}$）
(2) $1 + \frac{n - c}{m}$（或 $\frac{n - c + m}{m}$）
解析
(1) 设工程总量为1。
甲单独做需要 $a$ 小时完成，则甲的工作效率为 $\frac{1}{a}$；
乙单独做需要 $b$ 小时完成，则乙的工作效率为 $\frac{1}{b}$；
甲、乙合作的工作效率为 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$；
所以甲、乙合作完成此工程需要的时间为：
$1 ÷ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{ab}{a + b} (h)$
(2) 剩余电线的质量为 $n - c$，已知抽出的1米电线的质量为 $m$，则剩余电线的长度为：
$\frac{n - c}{m} (m)$
所以电线的总长度为：
$1 + \frac{n - c}{m} = \frac{n - c}{m} + 1= \frac{n - c + m}{m} (m)$
也可以写成： $1 + \frac{n - c}{m}$
甲单独做需要 $a$ 小时完成，则甲的工作效率为 $\frac{1}{a}$；
乙单独做需要 $b$ 小时完成，则乙的工作效率为 $\frac{1}{b}$；
甲、乙合作的工作效率为 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$；
所以甲、乙合作完成此工程需要的时间为：
$1 ÷ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = \frac{ab}{a + b} (h)$
(2) 剩余电线的质量为 $n - c$，已知抽出的1米电线的质量为 $m$，则剩余电线的长度为：
$\frac{n - c}{m} (m)$
所以电线的总长度为：
$1 + \frac{n - c}{m} = \frac{n - c}{m} + 1= \frac{n - c + m}{m} (m)$
也可以写成： $1 + \frac{n - c}{m}$
【变式 4】根据题意，列出代数式：
(1) 水果店购进一箱橘子需要 $a$ 元，已知橘子与箱子的总质量为 $m\ kg$，箱子的质量为 $n\ kg$，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克元；
(2) 有两块棉田，第一块 $x\ hm^{2}$，收棉花 $m\ kg$，第二块 $y\ hm^{2}$，收棉花 $n\ kg$，这两块棉田平均每公顷的棉花产量是$kg$.
(1) 水果店购进一箱橘子需要 $a$ 元，已知橘子与箱子的总质量为 $m\ kg$，箱子的质量为 $n\ kg$，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克元；
(2) 有两块棉田，第一块 $x\ hm^{2}$，收棉花 $m\ kg$，第二块 $y\ hm^{2}$，收棉花 $n\ kg$，这两块棉田平均每公顷的棉花产量是$kg$.
答案
(1) $\frac{a}{m - n}$；
(2) $\frac{m + n}{x + y}$；
(2) $\frac{m + n}{x + y}$；
解析
(1) 首先，橘子质量为：总质量 $m kg$ 减去箱子质量 $n kg$，即 $(m - n) kg$，为了不亏本，总收入至少应等于购进一箱橘子的费用 $a$ 元。
所以每千克橘子的零售价至少应定为：$\frac{a}{m - n}$ (元)。
(2) 两块棉田总面积为：$(x + y) hm^{2}$，总产量为 $(m + n) kg$。
所以两块棉田平均每公顷的棉花产量为：$\frac{m + n}{x + y} (kg)$.
所以每千克橘子的零售价至少应定为：$\frac{a}{m - n}$ (元)。
(2) 两块棉田总面积为：$(x + y) hm^{2}$，总产量为 $(m + n) kg$。
所以两块棉田平均每公顷的棉花产量为：$\frac{m + n}{x + y} (kg)$.
1. 下列各式中，是分式的是().
A.$\frac{2}{\pi}$
B.$\frac{3}{x - 1}$
C.$\frac{b}{3}$
D.$\frac{y}{2} + 1$
A.$\frac{2}{\pi}$
B.$\frac{3}{x - 1}$
C.$\frac{b}{3}$
D.$\frac{y}{2} + 1$
答案
B
解析
根据分式的定义，形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子叫做分式。选项A中π是常数，不是字母，所以$\frac{2}{\pi}$是整式；选项C和D中的分母都是常数，不含字母，所以也是整式；选项B中分母$x - 1$含有字母x，因此$\frac{3}{x - 1}$是分式。
2. 代数式 $\frac{2025}{x + 3}$ 有意义时，$x$ 应满足的条件为().
A.$x \neq 3$
B.$x \neq -3$
C.$x \neq 0$
D.$x \neq -3$ 且 $x \neq 0$
A.$x \neq 3$
B.$x \neq -3$
C.$x \neq 0$
D.$x \neq -3$ 且 $x \neq 0$
答案
B
解析
要使分式$\frac{2025}{x + 3}$有意义，分母不能为0，即$x + 3 \neq 0$，解得$x \neq -3$。
3. 若分式 $\frac{x + 2}{x - 1}$ 的值为 $0$，则 $x$ 的值为().
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
A.$2$
B.$-2$
C.$1$
D.$-1$
答案
B
解析
要使分式$\frac{x + 2}{x - 1}$的值为$0$，则分子$x + 2 = 0$，且分母$x - 1\neq 0$。
由$x + 2 = 0$，解得$x = - 2$。
当$x = - 2$时，$x - 1=-2 - 1=-3\neq 0$，满足条件。
由$x + 2 = 0$，解得$x = - 2$。
当$x = - 2$时，$x - 1=-2 - 1=-3\neq 0$，满足条件。
4. 某市在修建地铁过程中准备打通一条长 $600\ m$ 的隧道，由于采用新的施工方式，实际每小时打通隧道长度比原计划增加 $5\ m$，从而缩短了工期.若原计划每小时打通隧道 $a\ m$，求实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时间.（用含 $a$ 的代数式表示，不用化简）
答案
原计划每小时打通 $a\ m$，所以原计划打通 $600\ m$ 隧道所需时间为 $\frac{600}{a}$ 小时。
由于实际每小时打通的长度比原计划增加 $5\ m$，实际每小时打通 $a + 5\ m$，所以实际打通 $600\ m$ 隧道所需时间为 $\frac{600}{a + 5}$ 小时。
因此，实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时间为：
$\frac{600}{a} - \frac{600}{a + 5}$（小时）。
由于实际每小时打通的长度比原计划增加 $5\ m$，实际每小时打通 $a + 5\ m$，所以实际打通 $600\ m$ 隧道所需时间为 $\frac{600}{a + 5}$ 小时。
因此，实际打通这条隧道的工期比原计划缩短的时间为：
$\frac{600}{a} - \frac{600}{a + 5}$（小时）。
1. 下列式子中，是分式的是().
A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{3a - 1}{2}$
C.$\frac{a + b}{2a - b}$
D.$\frac{x}{6}$
A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{3a - 1}{2}$
C.$\frac{a + b}{2a - b}$
D.$\frac{x}{6}$
答案
C
解析
分式的定义是：如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示两个整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
选项A：$\frac{7}{5}$的分母是$5$，$5$是一个常数，不含有字母，所以$\frac{7}{5}$不是分式。
选项B：$\frac{3a - 1}{2}$的分母是$2$，$2$是常数，不含有字母，所以$\frac{3a - 1}{2}$不是分式。
选项C：$\frac{a + b}{2a - b}$的分母是$2a - b$，其中含有字母$a$和$b$，符合分式的定义，所以$\frac{a + b}{2a - b}$是分式。
选项D：$\frac{x}{6}$的分母是$6$，$6$是常数，不含有字母，所以$\frac{x}{6}$不是分式。
选项A：$\frac{7}{5}$的分母是$5$，$5$是一个常数，不含有字母，所以$\frac{7}{5}$不是分式。
选项B：$\frac{3a - 1}{2}$的分母是$2$，$2$是常数，不含有字母，所以$\frac{3a - 1}{2}$不是分式。
选项C：$\frac{a + b}{2a - b}$的分母是$2a - b$，其中含有字母$a$和$b$，符合分式的定义，所以$\frac{a + b}{2a - b}$是分式。
选项D：$\frac{x}{6}$的分母是$6$，$6$是常数，不含有字母，所以$\frac{x}{6}$不是分式。
2. 式子① $\frac{2}{x}$，② $\frac{x + y}{5}$，③ $\frac{1}{2 - a}$，④ $\frac{x}{\pi - 1}$，⑤ $\frac{1}{m}(x + y)$ 中，是分式的有.(填序号)
答案
①③⑤
解析
分式的定义是分母中含有字母的式子，根据这个定义逐一判断：
① $\frac{2}{x}$，分母含有字母$x$，是分式；
② $\frac{x + y}{5}$，分母为数字$5$，不是分式；
③ $\frac{1}{2 - a}$，分母含有字母$a$，是分式；
④ $\frac{x}{\pi - 1}$，分母为$\pi - 1$，$\pi$为常数，不是字母，故不是分式；
⑤ $\frac{1}{m}(x + y)$，等价于$\frac{x + y}{m}$，分母含有字母$m$，是分式。
综上，分式有①③⑤。
① $\frac{2}{x}$，分母含有字母$x$，是分式；
② $\frac{x + y}{5}$，分母为数字$5$，不是分式；
③ $\frac{1}{2 - a}$，分母含有字母$a$，是分式；
④ $\frac{x}{\pi - 1}$，分母为$\pi - 1$，$\pi$为常数，不是字母，故不是分式；
⑤ $\frac{1}{m}(x + y)$，等价于$\frac{x + y}{m}$，分母含有字母$m$，是分式。
综上，分式有①③⑤。
3. (2025 曲靖期末) 要使分式 $\frac{1}{x + 5}$ 有意义，$x$ 应满足的条件是().
A.$x ＞ -5$
B.$x ＜ -5$
C.$x \neq -5$
D.$x = -5$
A.$x ＞ -5$
B.$x ＜ -5$
C.$x \neq -5$
D.$x = -5$
答案
C
解析
要使分式$\frac{1}{x + 5}$有意义，分母不能为0，即$x + 5 \neq 0$，解得$x \neq -5$。
