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1. 分式的概念
一般地，如果 $A$，$B$ 表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式.其中 $A$ 叫作分子，$B$ 叫作分母.
一般地，如果 $A$，$B$ 表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫作分式.其中 $A$ 叫作分子，$B$ 叫作分母.
答案
$B$；$\frac{A}{B}$
解析
根据分式的定义可知，一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式，其中$A$叫作分子，$B$叫作分母。
所以第一个空应填$B$，第二个空应填$\frac{A}{B}$。
所以第一个空应填$B$，第二个空应填$\frac{A}{B}$。
2. 分式有(无)意义的条件
当 $B$______时，分式 $\frac{A}{B}$ 无意义；当 $B$时，分式 $\frac{A}{B}$ 才有意义.
当 $B$______时，分式 $\frac{A}{B}$ 无意义；当 $B$时，分式 $\frac{A}{B}$ 才有意义.
答案
$=0$；$\neq0$
解析
分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零。所以当$B=0$时，分式$\frac{A}{B}$无意义；当$B\neq0$时，分式$\frac{A}{B}$才有意义。
3. 分式的值为 $0$ 的条件
分式的值为 $0$ 的条件是分子等于，且分母不等于.
分式的值为 $0$ 的条件是分子等于，且分母不等于.
答案
【解析】：分式的值为0，需满足分子的值为0，同时分母的值不为0，二者缺一不可。若分子为0而分母也为0，则分式无意义。
【答案】：0；0
【答案】：0；0
【例 1】下列各式中，是分式的是().
A.$\frac{-b}{2a}$
B.$\frac{a + b}{2}$
C.$\frac{1}{2}ab + a^{2}b$
D.$\frac{3ab}{\pi}$
A.$\frac{-b}{2a}$
B.$\frac{a + b}{2}$
C.$\frac{1}{2}ab + a^{2}b$
D.$\frac{3ab}{\pi}$
答案
A
解析
分式的定义：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
选项A：$\frac{-b}{2a}$，分母$2a$中含有字母$a$，符合分式的定义，所以它是分式。
选项B：$\frac{a + b}{2}$，分母为$2$，是常数，不含有字母，不符合分式的定义，所以它不是分式。
选项C：$\frac{1}{2}ab + a^{2}b$，它是整式的和的形式，不是分式的形式，所以它不是分式。
选项D：$\frac{3ab}{\pi}$，分母为$\pi$，$\pi$是一个常数，不是字母，不符合分式的定义，所以它不是分式。
选项A：$\frac{-b}{2a}$，分母$2a$中含有字母$a$，符合分式的定义，所以它是分式。
选项B：$\frac{a + b}{2}$，分母为$2$，是常数，不含有字母，不符合分式的定义，所以它不是分式。
选项C：$\frac{1}{2}ab + a^{2}b$，它是整式的和的形式，不是分式的形式，所以它不是分式。
选项D：$\frac{3ab}{\pi}$，分母为$\pi$，$\pi$是一个常数，不是字母，不符合分式的定义，所以它不是分式。
【变式 1】已知四张卡片上面分别写有 $6$，$x - 1$，$x^{2} - 1$，$\pi + 1$，从中任选两张卡片，组成一个分式为(写出一个即可).
答案
$\frac{6}{x - 1}$
解析
分式是形如$\frac{A}{B}$（A、B是整式，B中含有字母且B不等于0）的式子。从四张卡片中选两张，如选$6$和$x - 1$，组成$\frac{6}{x - 1}$，其中分母$x - 1$含有字母，符合分式定义。
【例 2】下列各式中，无论 $x$ 取何值，分式都有意义的是().
A.$\frac{x + a}{\vert x\vert - 2}$
B.$\frac{x}{2x + 1}$
C.$\frac{3x + 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{2}}{2x^{2} + 1}$
A.$\frac{x + a}{\vert x\vert - 2}$
B.$\frac{x}{2x + 1}$
C.$\frac{3x + 1}{x^{2}}$
D.$\frac{x^{2}}{2x^{2} + 1}$
答案
D
解析
分式有意义的条件是分母不为0。
A. 分母为|x| - 2，当|x| - 2 = 0，即x = ±2时，分母为0，分式无意义；
B. 分母为2x + 1，当2x + 1 = 0，即x = -1/2时，分母为0，分式无意义；
C. 分母为x²，当x² = 0，即x = 0时，分母为0，分式无意义；
D. 分母为2x² + 1，因为x²≥0，所以2x² + 1≥1，无论x取何值，分母都不为0，分式都有意义。
A. 分母为|x| - 2，当|x| - 2 = 0，即x = ±2时，分母为0，分式无意义；
B. 分母为2x + 1，当2x + 1 = 0，即x = -1/2时，分母为0，分式无意义；
C. 分母为x²，当x² = 0，即x = 0时，分母为0，分式无意义；
D. 分母为2x² + 1，因为x²≥0，所以2x² + 1≥1，无论x取何值，分母都不为0，分式都有意义。
【变式 2】当 $x = 3$ 时，分式 $\frac{x - b}{x + 2b}$ 没有意义，则 $b$ 的值为().
A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
A.$-3$
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$3$
答案
B
解析
分式没有意义时，分母为0。当$x = 3$时，分母$x + 2b = 3 + 2b = 0$，解得$b = -\frac{3}{2}$。
【例 3】分式 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的值为 $0$，则 $x$ 的值为().
A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$9$
A.$3$
B.$-3$
C.$\pm 3$
D.$9$
答案
A
解析
要使分式 $\frac{x^{2} - 9}{x + 3}$ 的值为 $0$，需要满足分子为 $0$ 且分母不为 $0$。
1. 分子为 $0$：$x^{2} - 9 = 0$，解得 $x = \pm 3$。
2. 分母不为 $0$：$x + 3 \neq 0$，即 $x \neq -3$。
综合以上，$x = 3$。
1. 分子为 $0$：$x^{2} - 9 = 0$，解得 $x = \pm 3$。
2. 分母不为 $0$：$x + 3 \neq 0$，即 $x \neq -3$。
综合以上，$x = 3$。
【变式 3】对于分式 $\frac{2x + 1}{\vert x\vert - 2}$.
(1) 当 $x$ 为何值时，分式有意义？
(2) 当 $x$ 为何值时，分式的值为 $0$？
(1) 当 $x$ 为何值时，分式有意义？
(2) 当 $x$ 为何值时，分式的值为 $0$？
答案
(1)
要使分式$\frac{2x + 1}{\vert x\vert - 2}$有意义，则分母$\vert x\vert - 2\neq 0$。
即$\vert x\vert\neq 2$，解得$x\neq \pm 2$。
(2)
要使分式$\frac{2x + 1}{\vert x\vert - 2}$的值为$0$，则分子$2x + 1 = 0$且分母$\vert x\vert - 2\neq 0$。
由$2x + 1 = 0$，得$x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，$\vert -\frac{1}{2}\vert - 2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\neq 0$。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为$0$。
综上，(1) $x\neq \pm 2$；(2) $x = -\frac{1}{2}$。
要使分式$\frac{2x + 1}{\vert x\vert - 2}$有意义，则分母$\vert x\vert - 2\neq 0$。
即$\vert x\vert\neq 2$，解得$x\neq \pm 2$。
(2)
要使分式$\frac{2x + 1}{\vert x\vert - 2}$的值为$0$，则分子$2x + 1 = 0$且分母$\vert x\vert - 2\neq 0$。
由$2x + 1 = 0$，得$x = -\frac{1}{2}$。
当$x = -\frac{1}{2}$时，$\vert -\frac{1}{2}\vert - 2=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}\neq 0$。
所以当$x = -\frac{1}{2}$时，分式的值为$0$。
综上，(1) $x\neq \pm 2$；(2) $x = -\frac{1}{2}$。
