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14. 当 $x$ 取何值时，下列分式有意义以及无意义？
(1) $\frac{x^{2} + 1}{(x - 2)(x - 3)}$；
(2) $\frac{x^{2} + 2}{\vert x\vert - 2}$；
(3) $\frac{3x}{x^{2} + 1}$.
(1) $\frac{x^{2} + 1}{(x - 2)(x - 3)}$；
(2) $\frac{x^{2} + 2}{\vert x\vert - 2}$；
(3) $\frac{3x}{x^{2} + 1}$.
答案
(1)
分式有意义：
要使$\frac{x^{2} + 1}{(x - 2)(x - 3)}$有意义，则分母$(x - 2)(x - 3)\neq 0$，
即$x - 2\neq 0$且$x - 3\neq 0$，
解得$x\neq 2$且$x\neq 3$。
分式无意义：
当分母$(x - 2)(x - 3)=0$时，分式无意义，
即$x = 2$或$x = 3$。
(2)
分式有意义：
要使$\frac{x^{2} + 2}{\vert x\vert - 2}$有意义，则分母$\vert x\vert - 2\neq 0$，
即$\vert x\vert\neq 2$，
解得$x\neq \pm 2$。
分式无意义：
当分母$\vert x\vert - 2 = 0$时，分式无意义，
即$x = \pm 2$。
(3)
分式有意义：
要使$\frac{3x}{x^{2} + 1}$有意义，则分母$x^{2} + 1\neq 0$，
因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\gt0$恒成立，$x$取任意实数。
分式无意义：
由于$x^{2}+1\gt0$恒成立，所以该分式恒有意义，不存在使其无意义的$x$值。
分式有意义：
要使$\frac{x^{2} + 1}{(x - 2)(x - 3)}$有意义，则分母$(x - 2)(x - 3)\neq 0$，
即$x - 2\neq 0$且$x - 3\neq 0$，
解得$x\neq 2$且$x\neq 3$。
分式无意义：
当分母$(x - 2)(x - 3)=0$时，分式无意义，
即$x = 2$或$x = 3$。
(2)
分式有意义：
要使$\frac{x^{2} + 2}{\vert x\vert - 2}$有意义，则分母$\vert x\vert - 2\neq 0$，
即$\vert x\vert\neq 2$，
解得$x\neq \pm 2$。
分式无意义：
当分母$\vert x\vert - 2 = 0$时，分式无意义，
即$x = \pm 2$。
(3)
分式有意义：
要使$\frac{3x}{x^{2} + 1}$有意义，则分母$x^{2} + 1\neq 0$，
因为$x^{2}\geq0$，所以$x^{2}+1\gt0$恒成立，$x$取任意实数。
分式无意义：
由于$x^{2}+1\gt0$恒成立，所以该分式恒有意义，不存在使其无意义的$x$值。
15. 当 $x$ 为何整数值时，分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值为整数？
答案
答题卡：
要使分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值为整数，分母 $x - 1$ 必须是 2 的约数，即 $x - 1$ 的值为 $\pm1$，$\pm2$。
当 $x - 1 = 1$ 时，$x = 2$；
当 $x - 1 = -1$ 时，$x = 0$；
当 $x - 1 = 2$ 时，$x = 3$；
当 $x - 1 = -2$ 时，$x = -1$。
综上，当 $x$ 取 $-1$，$0$，$2$，$3$ 这四个整数值时，分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值为整数。
要使分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值为整数，分母 $x - 1$ 必须是 2 的约数，即 $x - 1$ 的值为 $\pm1$，$\pm2$。
当 $x - 1 = 1$ 时，$x = 2$；
当 $x - 1 = -1$ 时，$x = 0$；
当 $x - 1 = 2$ 时，$x = 3$；
当 $x - 1 = -2$ 时，$x = -1$。
综上，当 $x$ 取 $-1$，$0$，$2$，$3$ 这四个整数值时，分式 $\frac{2}{x - 1}$ 的值为整数。
16. (推理能力) 已知分式 $\frac{a(b - c) + b(c - b)}{a - c}$ $(a$，$b$，$c$ 均为正实数) 有意义且值为零，若以 $a$，$b$，$c$ 的值为三条线段的长构造三角形，则此三角形一定为().
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
A
解析
要使分式$\frac{a(b - c) + b(c - b)}{a - c}$有意义，则分母$a - c\neq 0$，即$a\neq c$。
分式值为$0$，则分子$a(b - c) + b(c - b)=0$，对其化简：
$a(b - c)+b(c - b)=a(b - c)-b(b - c)=(b - c)(a - b)=0$
因为分式值为$0$且分母不为$0$，所以$(b - c)(a - b)=0$且$a\neq c$，可得$b = c$或$a = b$，又因为$a\neq c$，若$b = c$，结合$a\neq c$，则$a\neq b$；若$a = b$，结合$a\neq c$，则$b\neq c$，所以$a = b$且$a\neq c$（或$b = c$且$a\neq c$），即此三角形一定为等腰三角形。
分式值为$0$，则分子$a(b - c) + b(c - b)=0$，对其化简：
$a(b - c)+b(c - b)=a(b - c)-b(b - c)=(b - c)(a - b)=0$
因为分式值为$0$且分母不为$0$，所以$(b - c)(a - b)=0$且$a\neq c$，可得$b = c$或$a = b$，又因为$a\neq c$，若$b = c$，结合$a\neq c$，则$a\neq b$；若$a = b$，结合$a\neq c$，则$b\neq c$，所以$a = b$且$a\neq c$（或$b = c$且$a\neq c$），即此三角形一定为等腰三角形。
17. (推理能力、运算能力) 自学下面材料后，解答问题.
[探究] 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$，$\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1) 若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则 $\frac{a}{b} ＞ 0$；
若 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a}{b} ＞ 0$.
(2) 若 $a ＞ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a}{b} ＜ 0$；
若 $a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则 $\frac{a}{b} ＜ 0$.
反之：(3) 若 $\frac{a}{b} ＞ 0$，则 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ b ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ b ＜ 0. \end{cases}$
(4) 若 $\frac{a}{b} ＜ 0$，则.
[应用] 根据上述材料，求不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 的解集.
[探究] 分母中含有未知数的不等式叫作分式不等式.如：$\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$，$\frac{2x + 3}{x - 1} ＜ 0$ 等.那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式为：
(1) 若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则 $\frac{a}{b} ＞ 0$；
若 $a ＜ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a}{b} ＞ 0$.
(2) 若 $a ＞ 0$，$b ＜ 0$，则 $\frac{a}{b} ＜ 0$；
若 $a ＜ 0$，$b ＞ 0$，则 $\frac{a}{b} ＜ 0$.
反之：(3) 若 $\frac{a}{b} ＞ 0$，则 $\begin{cases} a ＞ 0, \\ b ＞ 0 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} a ＜ 0, \\ b ＜ 0. \end{cases}$
(4) 若 $\frac{a}{b} ＜ 0$，则.
[应用] 根据上述材料，求不等式 $\frac{x - 2}{x + 1} ＞ 0$ 的解集.
答案
(4)$\begin{cases} a＞0, \\ b＜0 \end{cases}$或$\begin{cases} a＜0, \\ b＞0 \end{cases}$
[应用]
由题意得：
$\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解第一个不等式组：
$x-2＞0$得$x＞2$，$x+1＞0$得$x＞-1$，所以解集为$x＞2$
解第二个不等式组：
$x-2＜0$得$x＜2$，$x+1＜0$得$x＜-1$，所以解集为$x＜-1$
综上，不等式的解集为$x＞2$或$x＜-1$
[应用]
由题意得：
$\begin{cases} x-2＞0, \\ x+1＞0 \end{cases}$或$\begin{cases} x-2＜0, \\ x+1＜0 \end{cases}$
解第一个不等式组：
$x-2＞0$得$x＞2$，$x+1＞0$得$x＞-1$，所以解集为$x＞2$
解第二个不等式组：
$x-2＜0$得$x＜2$，$x+1＜0$得$x＜-1$，所以解集为$x＜-1$
综上，不等式的解集为$x＞2$或$x＜-1$
