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1. 下列运算中，正确的是().
A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^9 ÷ a^3 = a^6$
C.$a^2 · a^2 = 2a^2$
D.$(-a^2)^3 = a^6$
A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^9 ÷ a^3 = a^6$
C.$a^2 · a^2 = 2a^2$
D.$(-a^2)^3 = a^6$
答案
B
解析
A. $a^2$ 和 $a^4$ 不是同类项，不能合并，所以 $a^2 + a^4$ 不能简化为 $a^6$，A 错误。
B. 根据同底数幂的除法法则，$a^9 ÷ a^3 = a^{9-3} = a^6$，B 正确。
C. 根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^2 = a^{2+2} = a^4$，不等于 $2a^2$，C 错误。
D. 根据幂的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 · a^{2 × 3} = -a^6$，不等于 $a^6$，D 错误。
B. 根据同底数幂的除法法则，$a^9 ÷ a^3 = a^{9-3} = a^6$，B 正确。
C. 根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^2 = a^{2+2} = a^4$，不等于 $2a^2$，C 错误。
D. 根据幂的乘方法则，$(-a^2)^3 = (-1)^3 · a^{2 × 3} = -a^6$，不等于 $a^6$，D 错误。
2. 计算 $3x^3y^2z ÷ \left(\dfrac{3}{2}x^2y^2\right)$，结果正确的是().
A.$0$
B.$\dfrac{9}{2}xyz$
C.$2x$
D.$2xz$
A.$0$
B.$\dfrac{9}{2}xyz$
C.$2x$
D.$2xz$
答案
D
解析
原式为单项式除以单项式，可根据单项式除法法则进行计算，即将系数与同底数幂分别相除。
系数相除：$3÷\frac{3}{2}=3×\frac{2}{3} = 2$。
同底数幂相除：$x^{3}÷ x^{2}=x^{3 - 2}=x$，$y^{2}÷ y^{2}=y^{2 - 2}=1$，$z$照写。
将上述结果相乘可得：$2× x× z = 2xz$。
系数相除：$3÷\frac{3}{2}=3×\frac{2}{3} = 2$。
同底数幂相除：$x^{3}÷ x^{2}=x^{3 - 2}=x$，$y^{2}÷ y^{2}=y^{2 - 2}=1$，$z$照写。
将上述结果相乘可得：$2× x× z = 2xz$。
3. 下列各式与多项式 $a - b - c$ 不相等的是().
A.$(a - b) - c$
B.$a - (b + c)$
C.$-(b + c - a)$
D.$a - (b - c)$
A.$(a - b) - c$
B.$a - (b + c)$
C.$-(b + c - a)$
D.$a - (b - c)$
答案
D
解析
首先，逐一检验每个选项是否与 $a - b - c$ 相等。
A. $(a - b) - c = a - b - c$，与原多项式相等，故 A 选项不符合题意。
B. $a - (b + c) = a - b - c$，与原多项式相等，故 B 选项不符合题意。
C. $-(b + c - a) = -b - c + a = a - b - c$，与原多项式相等，故 C 选项不符合题意。
D. $a - (b - c) = a - b + c$，这与原多项式 $a - b - c$ 不相等，故 D 选项符合题意。
A. $(a - b) - c = a - b - c$，与原多项式相等，故 A 选项不符合题意。
B. $a - (b + c) = a - b - c$，与原多项式相等，故 B 选项不符合题意。
C. $-(b + c - a) = -b - c + a = a - b - c$，与原多项式相等，故 C 选项不符合题意。
D. $a - (b - c) = a - b + c$，这与原多项式 $a - b - c$ 不相等，故 D 选项符合题意。
4. 下列计算中，正确的是().
A.$2x^2y · (-2x)^3 = -12x^5y$
B.$2a(ab^2 + a - 1) = 2a^2b^2 + 2a^2 - 1$
C.$5x^2 - (5x + 1)(x - 2) = -9x - 2$
D.$(4a^2b^2 - 2ab) ÷ (2ab) = 2ab - 1$
A.$2x^2y · (-2x)^3 = -12x^5y$
B.$2a(ab^2 + a - 1) = 2a^2b^2 + 2a^2 - 1$
C.$5x^2 - (5x + 1)(x - 2) = -9x - 2$
D.$(4a^2b^2 - 2ab) ÷ (2ab) = 2ab - 1$
答案
D
解析
A. 计算 $2x^{2}y· (- 2x)^{3}$
先计算$(-2x)^{3}=(-2)^{3}× x^{3}=-8x^{3}$，
再计算$2x^{2}y·(-8x^{3}) = 2×(-8)× x^{2 + 3}× y=-16x^{5}y\neq - 12x^{5}y$，所以A选项错误。
B. 计算$2a(ab^{2}+a - 1)$
根据单项式乘多项式法则$m(n+p+q)=mn+mp+mq$，
$2a(ab^{2}+a - 1)=2a× ab^{2}+2a× a-2a×1 = 2a^{2}b^{2}+2a^{2}-2a\neq2a^{2}b^{2}+2a^{2}-1$，所以B选项错误。
C. 计算$5x^{2}-(5x + 1)(x - 2)$
先计算$(5x + 1)(x - 2)=5x× x-5x×2+1× x - 1×2=5x^{2}-10x+x - 2=5x^{2}-9x - 2$，
再计算$5x^{2}-(5x^{2}-9x - 2)=5x^{2}-5x^{2}+9x + 2=9x + 2\neq - 9x - 2$，所以C选项错误。
D. 计算$(4a^{2}b^{2}-2ab)÷(2ab)$
根据多项式除以单项式法则$(m + n)÷ p=m÷ p + n÷ p$，
$(4a^{2}b^{2}-2ab)÷(2ab)=4a^{2}b^{2}÷(2ab)-2ab÷(2ab)=2ab - 1$，所以D选项正确。
先计算$(-2x)^{3}=(-2)^{3}× x^{3}=-8x^{3}$，
再计算$2x^{2}y·(-8x^{3}) = 2×(-8)× x^{2 + 3}× y=-16x^{5}y\neq - 12x^{5}y$，所以A选项错误。
B. 计算$2a(ab^{2}+a - 1)$
根据单项式乘多项式法则$m(n+p+q)=mn+mp+mq$，
$2a(ab^{2}+a - 1)=2a× ab^{2}+2a× a-2a×1 = 2a^{2}b^{2}+2a^{2}-2a\neq2a^{2}b^{2}+2a^{2}-1$，所以B选项错误。
C. 计算$5x^{2}-(5x + 1)(x - 2)$
先计算$(5x + 1)(x - 2)=5x× x-5x×2+1× x - 1×2=5x^{2}-10x+x - 2=5x^{2}-9x - 2$，
再计算$5x^{2}-(5x^{2}-9x - 2)=5x^{2}-5x^{2}+9x + 2=9x + 2\neq - 9x - 2$，所以C选项错误。
D. 计算$(4a^{2}b^{2}-2ab)÷(2ab)$
根据多项式除以单项式法则$(m + n)÷ p=m÷ p + n÷ p$，
$(4a^{2}b^{2}-2ab)÷(2ab)=4a^{2}b^{2}÷(2ab)-2ab÷(2ab)=2ab - 1$，所以D选项正确。
5. 下列计算中，正确的是().
A.$(-x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
B.$(x - y)^2 = x^2 - y^2$
C.$(x + 3y)(x - 3y) = x^2 - 3y^2$
D.$(-x + y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
A.$(-x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
B.$(x - y)^2 = x^2 - y^2$
C.$(x + 3y)(x - 3y) = x^2 - 3y^2$
D.$(-x + y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$
答案
D
解析
A. 展开 $(-x - y)(x + y)$ 得到 $-x^2 - xy - xy - y^2 = -x^2 - 2xy - y^2$，与 $x^2 - y^2$ 不相等，所以 A 错误。
B. 展开 $(x - y)^2$ 得到 $x^2 - 2xy + y^2$，与 $x^2 - y^2$ 不相等，所以 B 错误。
C. 展开 $(x + 3y)(x - 3y)$ 得到 $x^2 - 3xy + 3xy - 9y^2 = x^2 - 9y^2$，与 $x^2 - 3y^2$ 不相等，所以 C 错误。
D. 展开 $(-x + y)^2$ 得到 $x^2 - 2xy + y^2$，与 $x^2 - 2xy + y^2$ 相等，所以 D 正确。
B. 展开 $(x - y)^2$ 得到 $x^2 - 2xy + y^2$，与 $x^2 - y^2$ 不相等，所以 B 错误。
C. 展开 $(x + 3y)(x - 3y)$ 得到 $x^2 - 3xy + 3xy - 9y^2 = x^2 - 9y^2$，与 $x^2 - 3y^2$ 不相等，所以 C 错误。
D. 展开 $(-x + y)^2$ 得到 $x^2 - 2xy + y^2$，与 $x^2 - 2xy + y^2$ 相等，所以 D 正确。
6. 若 $(mx + 8)(2 - 3x)$ 展开后不含 $x$ 的一次项，则 $m$ 的值为().
A.$3$
B.$0$
C.$12$
D.$24$
A.$3$
B.$0$
C.$12$
D.$24$
答案
C
解析
首先，将多项式 $(mx + 8)(2 - 3x)$ 展开：
$(mx + 8)(2 - 3x) = 2mx - 3mx^2 + 16 - 24x$，
整理后得到：
$-3mx^2 + (2m - 24)x + 16$，
由题意知，展开后不含 $x$ 的一次项，即一次项的系数应为0，所以有：
$2m - 24 = 0$，
解这个方程，得到：
$m = 12$。
$(mx + 8)(2 - 3x) = 2mx - 3mx^2 + 16 - 24x$，
整理后得到：
$-3mx^2 + (2m - 24)x + 16$，
由题意知，展开后不含 $x$ 的一次项，即一次项的系数应为0，所以有：
$2m - 24 = 0$，
解这个方程，得到：
$m = 12$。
7. 若 $(x + a)(x - 5) = x^2 + bx - 10$，则 $(2a + b)(2a - b)$ 的值是().
A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
A.$-7$
B.$7$
C.$-1$
D.$5$
答案
B
解析
展开左边：$(x+a)(x-5)=x^2+(a-5)x-5a$。
对比右边$x^2+bx-10$，得：
$\begin{cases}a-5=b\\-5a=-10\end{cases}$
解得$a=2$，$b=2-5=-3$。
计算$(2a+b)(2a-b)=(4-3)(4+3)=1×7=7$。
8. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式 $(a + b)^n$ 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”。根据“杨辉三角”计算，$(a + b)^{10}$ 的展开式中第三项的系数为().
A.$45$
B.$55$
C.$2017$
D.$2018$
A.$45$
B.$55$
C.$2017$
D.$2018$
答案
A
解析
根据杨辉三角的性质，$(a+b)^n$的展开式中，各项的系数对应杨辉三角的第$n+1$行。
第三项的系数即为组合数$C_{10}^2$（因为第三项对应$k=2$，从0开始计数）。
计算组合数：
$C_{10}^2=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10× 9}{2× 1}=45$。
所以，$(a + b)^{10}$的展开式中第三项的系数为45。
第三项的系数即为组合数$C_{10}^2$（因为第三项对应$k=2$，从0开始计数）。
计算组合数：
$C_{10}^2=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10× 9}{2× 1}=45$。
所以，$(a + b)^{10}$的展开式中第三项的系数为45。
