【例1】如图是2025年11月的月历，一个长方形框住了四个数字，我们作如下计算：$4×12=48$，$5×11=55$，$55-48=7$。请你用一个长方形另圈4个数字，按相同方法计算，你有什么发现？

设长方形框住的四个数字分别为：
$\begin{matrix}n & n + 1 \\n+7 & n + 8\end{matrix}$
计算$(n + 1)(n + 7)=n^{2}+8n + 7$，
$n(n + 8)=n^{2}+8n$。
则$(n + 1)(n + 7)-n(n + 8)=n^{2}+8n + 7-(n^{2}+8n)=7$。
发现：用长方形另圈$4$个数字，按相同方法计算，结果总是$7$。

1. 请用整式的运算证明例1中的规律(提示：可设最小的一个数是n)。你还能发现对角线上的这两对有其他规律吗？

设最小的一个数是$n$，则另外三个数分别为$n + 1$，$n + 7$，$n + 8$。
证明：
中间的十字形中5个数的和为：
$n + (n + 1) + (n + 7) + (n + 8) + (n + 4) = 5n + 20 +（中间数可视为n+4）= 5(n + 4)$。
由于$5(n + 4)$是5的倍数，所以5个数的和是中间列上边或下边正对那个数的5倍，即5个数的和是中间那个数的5倍。
对于对角线上的这两对数，还可以发现以下规律：
第一对数（左上和右下）的和为：
$n + (n + 8) = 2n + 8$。
第二对数（右上和左下）的和为：
$(n + 1) + (n + 7) = 2n + 8$。
由此可得，对角线上的两对数的和是相等的。

【例2】计算下列两组乘法算式的结果(每组算式中两个因数的和为定值)，你发现结果有什么规律？
①$50×50$，$53×47$，$74×26$，$91×9$；
②$30×30$，$35×25$，$43×17$，$52×8$。

计算结果：
①组（和为100）：
$50×50=2500$；
$53×47=(50+3)(50-3)=50^2-3^2=2500-9=2491$；
$74×26=(50+24)(50-24)=50^2-24^2=2500-576=1924$；
$91×9=(50+41)(50-41)=50^2-41^2=2500-1681=819$。
②组（和为60）：
$30×30=900$；
$35×25=(30+5)(30-5)=30^2-5^2=900-25=875$；
$43×17=(30+13)(30-13)=30^2-13^2=900-169=731$；
$52×8=(30+22)(30-22)=30^2-22^2=900-484=416$。
规律：
当两个数的和为定值时，这两个数的差越小，它们的乘积越大；当两个数相等时，乘积最大。

2. 若两数的和为定值$2n$，你能用整式的运算说明例2中的这一规律吗？

设两数分别为$x$和$y$，由题意得$x + y = 2n$，则$y = 2n - x$。
两数乘积$P = x · y = x(2n - x) = 2nx - x^2$。
配方得：$P = -x^2 + 2nx = -(x^2 - 2nx) = -(x^2 - 2nx + n^2 - n^2) = -(x - n)^2 + n^2$。
因为$-(x - n)^2 \leq 0$，所以当$-(x - n)^2 = 0$，即$x = n$时，$P$取最大值$n^2$，此时$y = 2n - x = n$。
结论：两数之和为定值$2n$时，当两数相等（均为$n$），它们的乘积最大，最大值为$n^2$。

3. 请用上面发现的规律解决问题：用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？

设长方形的一条边长为 $x$ 米，则另一条边长为 $\frac{10}{2} - x = 5 - x$ 米。
长方形的面积 $S$ 可以表示为：
$S = x(5 - x)$
$S= 5x - x^2$
$S= - (x^2 - 5x)$
$S= - (x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4})$
$S= - (x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4}$
由于 $a = -1 ＜ 0$，这是一个开口向下的抛物线，因此面积 $S$ 在 $x = \frac{5}{2}$ 时取得最大值，即：
$S_{ max} = \frac{25}{4} = 6.25 平方米$
此时，长方形的两条邻边长相等，均为 $\frac{5}{2} = 2.5$ 米。
更一般的结论：对于给定周长的长方形，当其为正方形时，面积最大。