登录
9. 若 $10^x = a$，$10^y = b$，则 $10^{x + y + 2} =\_\_\_\_\_$_________$$.
答案
100ab
解析
因为 $10^x = a$，$10^y = b$，根据同底数幂乘法法则：$10^{x+y}=10^x · 10^y = ab$，所以 $10^{x+y+2}=10^{x+y} · 10^2 = ab · 100 = 100ab$
10. 已知 $a + b = 4$，$ab = -5$，那么 $a^2 + b^2$ 的值为_____.
答案
26
解析
根据完全平方公式，$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，
可以变形得到$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将$a + b = 4$，$ab = -5$代入上式，
可得：
$a^2 + b^2$
$= 4^2 - 2×(-5)$
$= 16 + 10$
$= 26$
可以变形得到$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，
将$a + b = 4$，$ab = -5$代入上式，
可得：
$a^2 + b^2$
$= 4^2 - 2×(-5)$
$= 16 + 10$
$= 26$
11. 将 $4$ 个数 $a$，$b$，$c$，$d$ 排成 $2$ 行 $2$ 列，两边各加一条竖直线，记成 $\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix}$，定义 $\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$。若 $\begin{vmatrix}-5 & -3x^2 + 5\\2 & x^2 - 3\end{vmatrix} = 6$，则 $11x^2 - 5 =$ ______ $$_________$$.
答案
$6$
解析
根据题意得，二阶行列式的计算规则为$\begin{vmatrix}a & b\\c & d\end{vmatrix} = ad - bc$，将题目中的数值代入该规则得：$( - 5)×(x^{2}-3)-2×(-3x^{2}+5)=6$，
去括号得：$-5x^{2}+15 + 6x^{2}-10 = 6$，
合并同类项得：$x^{2}+5 = 6$，
移项得：$x^{2}=6 - 5=1$，
把$x^{2}=1$代入$11x^{2}-5$得：$11×1-5 = 6$。
去括号得：$-5x^{2}+15 + 6x^{2}-10 = 6$，
合并同类项得：$x^{2}+5 = 6$，
移项得：$x^{2}=6 - 5=1$，
把$x^{2}=1$代入$11x^{2}-5$得：$11×1-5 = 6$。
12. 如果 $3a^2 + 4a - 1 = 0$，那么 $(2a + 1)^2 - (a - 2)(a + 2)$ 的结果是_____.
答案
6（题目是填空题，这里按要求应填结果数值）
解析
首先对$(2a + 1)^2 - (a - 2)(a + 2)$进行化简：
$(2a + 1)^2=4a^2+4a + 1$，
$(a - 2)(a + 2)=a^2-4$（根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，这里$m = a$，$n = 2$）。
则$(2a + 1)^2-(a - 2)(a + 2)=4a^2+4a + 1-(a^2-4)$
$=4a^2+4a + 1 - a^2+4$
$=3a^2+4a + 5$。
已知$3a^2 + 4a-1 = 0$，移项可得$3a^2 + 4a=1$。
将$3a^2 + 4a = 1$代入$3a^2+4a + 5$可得：$1+5=6$。
$(2a + 1)^2=4a^2+4a + 1$，
$(a - 2)(a + 2)=a^2-4$（根据平方差公式$(m - n)(m + n)=m^2 - n^2$，这里$m = a$，$n = 2$）。
则$(2a + 1)^2-(a - 2)(a + 2)=4a^2+4a + 1-(a^2-4)$
$=4a^2+4a + 1 - a^2+4$
$=3a^2+4a + 5$。
已知$3a^2 + 4a-1 = 0$，移项可得$3a^2 + 4a=1$。
将$3a^2 + 4a = 1$代入$3a^2+4a + 5$可得：$1+5=6$。
13. 计算：
（1）$-1^{2025} × 4 + (-3)^2 + (\pi - 5)^0$；
（2）$a^3 · a^5 + (a^2)^4 + (-3a^4)^2$。
（1）$-1^{2025} × 4 + (-3)^2 + (\pi - 5)^0$；
（2）$a^3 · a^5 + (a^2)^4 + (-3a^4)^2$。
答案
（1）
$-1^{2025}× 4+(-3)^2+(\pi - 5)^0$
$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4+9 + 1$
$=6$
（2）
$a^{3}· a^{5}+(a^{2})^{4}+(-3a^{4})^{2}$
$=a^{3 + 5}+a^{2×4}+(-3)^{2}×(a^{4})^{2}$
$=a^{8}+a^{8}+9a^{8}$
$=11a^{8}$
故答案为：（1）6；（2）$11a^{8}$。
$-1^{2025}× 4+(-3)^2+(\pi - 5)^0$
$=-1×4 + 9 + 1$
$=-4+9 + 1$
$=6$
（2）
$a^{3}· a^{5}+(a^{2})^{4}+(-3a^{4})^{2}$
$=a^{3 + 5}+a^{2×4}+(-3)^{2}×(a^{4})^{2}$
$=a^{8}+a^{8}+9a^{8}$
$=11a^{8}$
故答案为：（1）6；（2）$11a^{8}$。
14. （1）若 $10^x = 3$，$10^y = 2$，求代数式 $10^{2x + 3y}$ 的值；
（2）已知 $3m + 2n - 6 = 0$，求 $8^m · 4^n$ 的值。
（2）已知 $3m + 2n - 6 = 0$，求 $8^m · 4^n$ 的值。
答案
（1）
已知 $10^x = 3$，$10^y = 2$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$10^{2x + 3y} = 10^{2x} · 10^{3y}$
根据幂的乘方法则，有
$10^{2x} = (10^x)^2 = 3^2 = 9$
$10^{3y} = (10^y)^3 = 2^3 = 8$
所以，
$10^{2x + 3y} = 9 × 8 = 72$
（2）
已知 $3m + 2n - 6 = 0$，
则 $3m + 2n = 6$，
根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，有
$8^m · 4^n = 2^{3m} · 2^{2n} = 2^{3m + 2n}$
代入 $3m + 2n = 6$，得
$2^{3m + 2n} = 2^6 = 64$
已知 $10^x = 3$，$10^y = 2$，
根据同底数幂的乘法法则，有
$10^{2x + 3y} = 10^{2x} · 10^{3y}$
根据幂的乘方法则，有
$10^{2x} = (10^x)^2 = 3^2 = 9$
$10^{3y} = (10^y)^3 = 2^3 = 8$
所以，
$10^{2x + 3y} = 9 × 8 = 72$
（2）
已知 $3m + 2n - 6 = 0$，
则 $3m + 2n = 6$，
根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，有
$8^m · 4^n = 2^{3m} · 2^{2n} = 2^{3m + 2n}$
代入 $3m + 2n = 6$，得
$2^{3m + 2n} = 2^6 = 64$
15. 计算：
（1）$(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2(x + 1)$；
（2）$\dfrac{1}{2}x(3xy + 2y^2) + (4x^3y^3 - 3x^4y^2) ÷ (2x^2y)$。
（1）$(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2(x + 1)$；
（2）$\dfrac{1}{2}x(3xy + 2y^2) + (4x^3y^3 - 3x^4y^2) ÷ (2x^2y)$。
答案
（1）
$(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2(x + 1)$
$= 12x^4 ÷ (3x) + 6x^2 ÷ (3x) - 4x^2(x + 1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= 2x - 4x^2$
（2）
$\frac{1}{2}x(3xy + 2y^2) + (4x^3y^3 - 3x^4y^2) ÷ (2x^2y)$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + \frac{4x^3y^3}{2x^2y} - \frac{3x^4y^2}{2x^2y}$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
$(12x^4 + 6x^2) ÷ (3x) - (-2x)^2(x + 1)$
$= 12x^4 ÷ (3x) + 6x^2 ÷ (3x) - 4x^2(x + 1)$
$= 4x^3 + 2x - 4x^3 - 4x^2$
$= 2x - 4x^2$
（2）
$\frac{1}{2}x(3xy + 2y^2) + (4x^3y^3 - 3x^4y^2) ÷ (2x^2y)$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + \frac{4x^3y^3}{2x^2y} - \frac{3x^4y^2}{2x^2y}$
$= \frac{3}{2}x^2y + xy^2 + 2xy^2 - \frac{3}{2}x^2y$
$= 3xy^2$
