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4. 如图,将正六边形放在直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点$A的坐标为(-1,0)$,则点$C$的坐标为
$\left( \dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
。答案
$\left( \dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$
解析
解：正六边形中心与坐标原点重合，点$A(-1,0)$，则正六边形边长为$1$，外接圆半径为$1$。
正六边形内角和为$(6 - 2)×180° = 720°$，每个内角为$120°$，中心角为$\frac{360°}{6} = 60°$。
点$A$在$x$轴负半轴，按顺时针方向，点$C$与点$A$间隔$2$个中心角，故点$C$对应的圆心角为$-60°×2 = -120°$（或$360° - 120° = 240°$）。
点$C$的坐标为$(\cos(-120°), \sin(-120°))$，$\cos(-120°) = \cos120° = -\frac{1}{2}$，$\sin(-120°) = -\sin120° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$。
$\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
正六边形内角和为$(6 - 2)×180° = 720°$，每个内角为$120°$，中心角为$\frac{360°}{6} = 60°$。
点$A$在$x$轴负半轴，按顺时针方向，点$C$与点$A$间隔$2$个中心角，故点$C$对应的圆心角为$-60°×2 = -120°$（或$360° - 120° = 240°$）。
点$C$的坐标为$(\cos(-120°), \sin(-120°))$，$\cos(-120°) = \cos120° = -\frac{1}{2}$，$\sin(-120°) = -\sin120° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$。
$\left( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
5. 在方格纸上建立如图所示的平面直角坐标系,将$\triangle ABO绕点O按顺时针方向旋转90^{\circ}$,得到$\triangle A'B'O$,则点$A'$的坐标为
$(1,3)$
。答案
$(1,3)$
解析
解：由图可知点$A$的坐标为$(-3,1)$。
将点$A(-3,1)$绕点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，根据旋转性质，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$后的坐标为$(y,-x)$，可得点$A'$的坐标为$(1,3)$。
$(1,3)$
将点$A(-3,1)$绕点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$，根据旋转性质，点$(x,y)$绕原点顺时针旋转$90^{\circ}$后的坐标为$(y,-x)$，可得点$A'$的坐标为$(1,3)$。
$(1,3)$
6. 如图,$Rt\triangle ABC$的顶点都在正方形网格的格点上,且直角顶点$A的坐标是(-2,3)$,请根据条件建立直角坐标系,写出点$B$,$C$的坐标。
答案
解：如图所示。
点B的坐标为$(-2,0)$，点C的坐标为$(2,3)$。
7. 如图,在平面直角坐标系中,$A(1,1)$,$B(-1,1)$,$C(-1,-2)$,$D(1,-2)$。把一条长为$2025$个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点$A$处,并按$A \to B \to C \to D \to A …的规律紧绕在四边形ABCD$的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是(
A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,-2)$
D.$(1,-2)$
C
)。A.$(1,1)$
B.$(-1,1)$
C.$(-1,-2)$
D.$(1,-2)$
答案
C
解析
解：由点$A(1,1)$，$B(-1,1)$，$C(-1,-2)$，$D(1,-2)$，可得：
$AB=|-1 - 1|=2$，$BC=|-2 - 1|=3$，$CD=|1 - (-1)|=2$，$DA=|1 - (-2)|=3$。
四边形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + DA=2 + 3 + 2 + 3=10$。
$2025÷10=202\cdots\cdots5$，即绕$202$周后余$5$个单位长度。
按$A \to B \to C \to D \to A$顺序，$AB=2$，$BC=3$，$2 + 3=5$，故细线另一端在点$C$处。
点$C$的坐标为$(-1,-2)$。
答案：C
$AB=|-1 - 1|=2$，$BC=|-2 - 1|=3$，$CD=|1 - (-1)|=2$，$DA=|1 - (-2)|=3$。
四边形$ABCD$的周长为$AB + BC + CD + DA=2 + 3 + 2 + 3=10$。
$2025÷10=202\cdots\cdots5$，即绕$202$周后余$5$个单位长度。
按$A \to B \to C \to D \to A$顺序，$AB=2$，$BC=3$，$2 + 3=5$，故细线另一端在点$C$处。
点$C$的坐标为$(-1,-2)$。
答案：C
8. 如图,长方形$BCDE的各边分别平行于x轴或y$轴,物体甲和物体乙从点$A(2,0)$同时出发,沿长方形$BCDE$的边环绕运动。物体甲按逆时针方向以每秒$1$个单位长度做匀速运动,物体乙按顺时针方向以每秒$2$个单位长度做匀速运动,则两个物体运动后的第$2025$次相遇点的坐标是(
A.$(2,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,1)$
D.$(-1,-1)$
A
)。A.$(2,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,1)$
D.$(-1,-1)$
答案
A
解析
解：由图可知，长方形$BCDE$的长为$4$，宽为$2$，周长为$2×(4 + 2)=12$。
甲速度为$1$单位/秒，乙速度为$2$单位/秒，速度和为$3$单位/秒。
每次相遇时间间隔：$12÷3 = 4$秒。
第$n$次相遇时间：$4n$秒，甲运动路程：$4n$单位。
$4n÷12 = \frac{n}{3}$，周期为$3$。
$2025÷3 = 675$，余数为$0$，即第$2025$次相遇与第$3$次相遇位置相同。
第$3$次相遇甲路程：$12$单位，回到起点$A(2,0)$。
答案：$A$
甲速度为$1$单位/秒，乙速度为$2$单位/秒，速度和为$3$单位/秒。
每次相遇时间间隔：$12÷3 = 4$秒。
第$n$次相遇时间：$4n$秒，甲运动路程：$4n$单位。
$4n÷12 = \frac{n}{3}$，周期为$3$。
$2025÷3 = 675$，余数为$0$，即第$2025$次相遇与第$3$次相遇位置相同。
第$3$次相遇甲路程：$12$单位，回到起点$A(2,0)$。
答案：$A$
9. 在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,0)和点B(2,0)$,点$C在y$轴上,$\triangle ABC的面积为10$,求点$C$的坐标。
答案
$(0,4)$或$(0,-4)$
解析
设点$C$的坐标为$(0,y)$。
因为点$A(-3,0)$和点$B(2,0)$，所以$AB$的长度为$|2 - (-3)| = 5$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × |y| = 10$，即$\frac{1}{2} × 5 × |y| = 10$。
解得$|y| = 4$，所以$y = 4$或$y = -4$。
点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
因为点$A(-3,0)$和点$B(2,0)$，所以$AB$的长度为$|2 - (-3)| = 5$。
$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2} × AB × |y| = 10$，即$\frac{1}{2} × 5 × |y| = 10$。
解得$|y| = 4$，所以$y = 4$或$y = -4$。
点$C$的坐标为$(0,4)$或$(0,-4)$。
