例 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AB = AC = 2$,请建立适当的平面直角坐标系,并写出点$A$,$B$,$C$的坐标。


[解答](答案不唯一)以$BC所在的直线为x$轴、$BC的垂直平分线为y$轴建立平面直角坐标系,如图所示。
因为$AB = AC = 2$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,
所以$OB = OC$,$\angle BAO = \angle CAO = 60^{\circ}$,所以$\angle ABO = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABO$中,$AO = \dfrac{1}{2}AB = 1$,
$BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$,
所以点$A的坐标为(0,1)$,点$B的坐标为(-\sqrt{3},0)$,点$C的坐标为(\sqrt{3},0)$。

建立以$BC$所在的直线为$x$轴，$BC$的垂直平分线为$y$轴的平面直角坐标系。
因为$AB = AC = 2$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
所以$OB = OC$，$\angle BAO = \angle CAO = 60^{\circ}$，
则$\angle ABO = 30^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABO$中，$AO = \frac{1}{2}AB = 1$，
$BO = \sqrt{AB^{2} - AO^{2}} = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3}$。
所以点$A$的坐标为$(0,1)$，点$B$的坐标为$(-\sqrt{3},0)$，点$C$的坐标为$(\sqrt{3},0)$。

1. 如图,方格纸上有$M$,$N$两点。若以点$N$为原点建立平面直角坐标系,则点$M的坐标为(3,4)$；若以点$M$为原点建立平面直角坐标系,则点$N$的坐标为()。

A.$(-3,-4)$
B.$(4,0)$
C.$(0,-2)$
D.$(2,0)$

A

2. 以边长为$\sqrt{2}的正方形的对角线所在的直线为x$轴、$y$轴建立平面直角坐标系,其中一个顶点位于$y$轴的负半轴上,则该点的坐标为()。
A.$(\sqrt{2},0)$
B.$(0,-\sqrt{2})$
C.$(0,1)$
D.$(0,-1)$

D

正方形边长为$\sqrt{2}$，其对角线长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。以对角线所在直线为坐标轴，对角线交点为原点，顶点到原点的距离为对角线长的一半，即$1$。位于$y$轴负半轴上的顶点坐标为$(0,-1)$。
D

3. 如图,点$A的坐标是(1,1)$,若点$P在x$轴上,且$\triangle APO$是等腰三角形,则点$P$的坐标不可能是()。

A.$(1,0)$
B.$(2,0)$
C.$(-\sqrt{2},0)$
D.$(-2,0)$

D

解：设点$P$坐标为$(x,0)$，$O(0,0)$，$A(1,1)$。
$OA=\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$，$OP=|x|$，$AP=\sqrt{(x-1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(x-1)^2+1}$。
情况1：$OA=OP$，$|x|=\sqrt{2}$，$x=\pm\sqrt{2}$，$P(\sqrt{2},0)$或$(-\sqrt{2},0)$。
情况2：$OA=AP$，$\sqrt{(x-1)^2+1}=\sqrt{2}$，$(x-1)^2=1$，$x=2$或$0$（$x=0$与$O$重合，舍去），$P(2,0)$。
情况3：$OP=AP$，$|x|=\sqrt{(x-1)^2+1}$，$x^2=(x-1)^2+1$，$x=1$，$P(1,0)$。
综上，$P$可能为$(1,0)$、$(2,0)$、$(\pm\sqrt{2},0)$，不可能是$(-2,0)$。
答案：D