登录
1. 计算$(-\frac{a}{2b})\cdot\frac{2b}{a^{2}}$的结果是(
A.$-\frac{1}{a}$
B.$-\frac{1}{2a}$
C.$-\frac{1}{4a}$
D.$-\frac{b^{2}}{a}$
A
)A.$-\frac{1}{a}$
B.$-\frac{1}{2a}$
C.$-\frac{1}{4a}$
D.$-\frac{b^{2}}{a}$
答案
A
解析
首先，将两个分式相乘：
$(-\frac{a}{2b}) \cdot \frac{2b}{a^{2}} = -\frac{a \cdot 2b}{2b \cdot a^{2}}$，
然后，简化分子和分母：
$-\frac{a \cdot 2b}{2b \cdot a^{2}} = -\frac{2ab}{2a^{2}b}$，
约去公共因子$2ab$：
$-\frac{2ab}{2a^{2}b} = -\frac{1}{a}$，
最终结果为：$-\frac{1}{a}$。
2. 化简$\frac{3x + 6}{x^{2}-2x}\cdot\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x + 4}$的结果为(
A.3
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{x}{3}$
B
)A.3
B.$\frac{3}{x}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{x}{3}$
答案
B
解析
$\begin{aligned}&\frac{3x + 6}{x^{2}-2x}\cdot\frac{x^{2}-4}{x^{2}+4x + 4}\\=&\frac{3(x + 2)}{x(x - 2)}\cdot\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2}\\=&\frac{3(x + 2)(x + 2)(x - 2)}{x(x - 2)(x + 2)^2}\\=&\frac{3}{x}\end{aligned}$
3. 化简$\frac{m - 1}{m^{2}}÷\frac{m - 1}{m}$的结果是( )
A.$m$
B.$\frac{1}{m}$
C.$m - 1$
D.$\frac{1}{m - 1}$
A.$m$
B.$\frac{1}{m}$
C.$m - 1$
D.$\frac{1}{m - 1}$
答案
B
解析
原式可转化为$\frac{m - 1}{m^{2}} × \frac{m}{m - 1}$，
约分后得$\frac{1}{m}$（$m \neq 1$且$m \neq 0$）。
约分后得$\frac{1}{m}$（$m \neq 1$且$m \neq 0$）。
4. 化简$\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}÷\frac{x + 2}{3x - 6}$的结果是(
A.$-3$
B.$\frac{x + 2}{x - 2}$
C.3
D.$x - 2$
C
)A.$-3$
B.$\frac{x + 2}{x - 2}$
C.3
D.$x - 2$
答案
C
解析
原式$=\frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2}×\frac{3(x-2)}{x+2}=\frac{x+2}{x-2}×\frac{3(x-2)}{x+2}=3$
5. 定义两种运算：$a\triangle b= \frac{1}{a + b}$,$a*b= \frac{b}{a^{2}-b^{2}}$,则$m\triangle n÷(m*n)= $
$\frac{m - n}{n}$
.答案
$\frac{m - n}{n}$
解析
$m\triangle n=\frac{1}{m + n}$，$m*n=\frac{n}{m^2 - n^2}=\frac{n}{(m + n)(m - n)}$，则$m\triangle n÷(m*n)=\frac{1}{m + n}÷\frac{n}{(m + n)(m - n)}=\frac{1}{m + n}×\frac{(m + n)(m - n)}{n}=\frac{m - n}{n}$
6. 小明在做数学作业时,不小心将式子中除号后边的代数式污染了,即$(\frac{4 - x^{2}}{3x^{2}-2xy})÷$,
若该题的答案为$\frac{x + 2}{3x - 2y}$,则被污染的代数式为
若该题的答案为$\frac{x + 2}{3x - 2y}$,则被污染的代数式为$\frac{2 - x}{x}$
.答案
$\frac{2 - x}{x}$
解析
设被污染的代数式为$A$，由题意得$\frac{4 - x^2}{3x^2 - 2xy}÷A = \frac{x + 2}{3x - 2y}$，则$A = \frac{4 - x^2}{3x^2 - 2xy}÷\frac{x + 2}{3x - 2y}$。
根据分式除法法则，$A = \frac{4 - x^2}{3x^2 - 2xy}×\frac{3x - 2y}{x + 2}$。
因式分解：$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$，$3x^2 - 2xy = x(3x - 2y)$。
代入得$A = \frac{(2 - x)(x + 2)}{x(3x - 2y)}×\frac{3x - 2y}{x + 2}$，约分得$A = \frac{2 - x}{x}$。
根据分式除法法则，$A = \frac{4 - x^2}{3x^2 - 2xy}×\frac{3x - 2y}{x + 2}$。
因式分解：$4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$，$3x^2 - 2xy = x(3x - 2y)$。
代入得$A = \frac{(2 - x)(x + 2)}{x(3x - 2y)}×\frac{3x - 2y}{x + 2}$，约分得$A = \frac{2 - x}{x}$。
7. 已知非零有理数$x$,$y满足x^{2}-6xy + 9y^{2}= 0$,则$\frac{x - 2y}{x + 2y}= $
$\frac{1}{5}$
.答案
$\frac{1}{5}$
解析
由$x^{2}-6xy + 9y^{2}= 0$，得$(x - 3y)^2 = 0$，则$x = 3y$。将$x = 3y$代入$\frac{x - 2y}{x + 2y}$，得$\frac{3y - 2y}{3y + 2y} = \frac{y}{5y} = \frac{1}{5}$。
8. 观察下列算式：
①$1×\frac{2}{2^{2}-1}= \frac{2}{3×1}$；②$\frac{4}{3}×\frac{3}{3^{2}-1}= \frac{3}{3×2}$；③$\frac{5}{3}×\frac{4}{4^{2}-1}= \frac{4}{3×3}$；④$2×\frac{5}{5^{2}-1}= \frac{5}{3×4}$.
按照以上规律,写出第$n$个算式：
①$1×\frac{2}{2^{2}-1}= \frac{2}{3×1}$；②$\frac{4}{3}×\frac{3}{3^{2}-1}= \frac{3}{3×2}$；③$\frac{5}{3}×\frac{4}{4^{2}-1}= \frac{4}{3×3}$；④$2×\frac{5}{5^{2}-1}= \frac{5}{3×4}$.
按照以上规律,写出第$n$个算式：
$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2 - 1}=\frac{n+1}{3n}$
(用含正整数$n$的算式表示).答案
$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2 - 1}=\frac{n+1}{3n}$
解析
观察算式右边：分子依次为2,3,4,5，即$n+1$；分母依次为$3×1,3×2,3×3,3×4$，即$3n$，故右边为$\frac{n+1}{3n}$。
观察左边第二个分数：分子与右边分子相同为$n+1$；分母依次为$2² - 1,3² - 1,4² - 1,5² - 1$，即$(n+1)² - 1$，故第二个分数为$\frac{n+1}{(n+1)² - 1}$。
观察左边第一个数：化为分数$\frac{3}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{6}{3}$，分子依次为3,4,5,6，即$n+2$，分母为3，故第一个数为$\frac{n+2}{3}$。
综上，第n个算式为$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2 - 1}=\frac{n+1}{3n}$。
观察左边第二个分数：分子与右边分子相同为$n+1$；分母依次为$2² - 1,3² - 1,4² - 1,5² - 1$，即$(n+1)² - 1$，故第二个分数为$\frac{n+1}{(n+1)² - 1}$。
观察左边第一个数：化为分数$\frac{3}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3},\frac{6}{3}$，分子依次为3,4,5,6，即$n+2$，分母为3，故第一个数为$\frac{n+2}{3}$。
综上，第n个算式为$\frac{n+2}{3}×\frac{n+1}{(n+1)^2 - 1}=\frac{n+1}{3n}$。
