10. (1)约分：$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab + b^{2}}$；
(2)通分：$\frac{2x}{x^{2}-9},\frac{x}{2x + 6}$。

(1)
首先对分子$a^{2}-b^{2}$因式分解，根据平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$；
对分母$a^{2}+2ab + b^{2}$因式分解，根据完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a + b)^2$。
则$\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab + b^{2}}=\frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^{2}}=\frac{a - b}{a + b}$。
(2)
先对两个分式的分母进行因式分解：
$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，$2x + 6=2(x + 3)$。
两个分式分母的最简公分母为$2(x + 3)(x - 3)$。
$\frac{2x}{x^{2}-9}=\frac{2x}{(x + 3)(x - 3)}=\frac{2x×2}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{4x}{2(x + 3)(x - 3)}$；
$\frac{x}{2x + 6}=\frac{x}{2(x + 3)}=\frac{x(x - 3)}{2(x + 3)(x - 3)}=\frac{x^{2}-3x}{2(x + 3)(x - 3)}$。
综上，答案为：(1)$\frac{a - b}{a + b}$；(2)$\frac{4x}{2(x + 3)(x - 3)}$，$\frac{x^{2}-3x}{2(x + 3)(x - 3)}$。

(1) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+2ab + b^{2}}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+b)^{2}}=\frac{a-b}{a+b}$
(2) $\frac{2x}{x^{2}-9}=\frac{2x}{(x+3)(x-3)}=\frac{4x}{2(x+3)(x-3)}$
$\frac{x}{2x + 6}=\frac{x}{2(x+3)}=\frac{x(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$

11. 先化简,再求值：$\frac{3x^{2}-xy}{9x^{2}-6xy + y^{2}}$,其中$x= \frac{4}{3},y = -\frac{2}{3}$。

$\frac{2}{7}$

化简过程：
1. 分子因式分解：$3x^2 - xy = x(3x - y)$
2. 分母因式分解：$9x^2 - 6xy + y^2 = (3x - y)^2$
3. 化简分式：$\frac{x(3x - y)}{(3x - y)^2} = \frac{x}{3x - y}$（$3x - y \neq 0$）
代入求值：
当$x = \frac{4}{3}$，$y = -\frac{2}{3}$时，
$3x - y = 3×\frac{4}{3} - (-\frac{2}{3}) = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$，
原式$= \frac{\frac{4}{3}}{\frac{14}{3}} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$

12. 已知$a + b = - 2,ab= \frac{1}{2}$,求分式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值。

$-4$

解：
$\begin{aligned}\frac{1}{a} + \frac{1}{b} &= \frac{b + a}{ab} \quad (通分，分式加减法法则) \\&= \frac{a + b}{ab} \quad (加法交换律) \\\because a + b &= -2, \, ab = \frac{1}{2} \quad (已知条件) \\\therefore 原式 &= \frac{-2}{\frac{1}{2}} = -4 \quad (代入计算)\end{aligned}$

13. 若$\frac{5x - 7}{x^{2}-4x - 5}= \frac{A}{x + 1}+\frac{B}{x - 5}$,求$A,B$的值。

答：$\because \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 5}$
$=\frac{A(x - 5)}{(x + 1)(x - 5)}+\frac{B(x + 1)}{(x + 1)(x - 5)}$
$=\frac{Ax - 5A + Bx + B}{x^{2}-4x - 5}$
$=\frac{(A + B)x + (B - 5A)}{x^{2}-4x - 5}$
又$\frac{5x - 7}{x^{2}-4x - 5}=\frac{A}{x + 1}+\frac{B}{x - 5}$
$\therefore\begin{cases}A + B = 5\\B - 5A=-7\end{cases}$
由$A + B = 5$可得$B = 5 - A$，
将其代入$B - 5A=-7$得：
$5 - A - 5A=-7$
$5 - 6A=-7$
$-6A=-12$
$A = 2$
把$A = 2$代入$B = 5 - A$得$B = 5 - 2 = 3$
$\therefore A = 2$，$B = 3$。

14. (1)通分：$\frac{z}{xy},\frac{y}{xz},\frac{x}{yz}$；
(2)求证：$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$的值不能为0；
(3)求证：$\frac{a - b}{(b - c)(c - a)}+\frac{b - c}{(a - b)(c - a)}+\frac{c - a}{(a - b)(b - c)}$的值不可能为0。

(1)最简公分母为$xyz$，通分如下：
$\frac{z}{xy}=\frac{z\cdot z}{xy\cdot z}=\frac{z^2}{xyz}$；
$\frac{y}{xz}=\frac{y\cdot y}{xz\cdot y}=\frac{y^2}{xyz}$；
$\frac{x}{yz}=\frac{x\cdot x}{yz\cdot x}=\frac{x^2}{xyz}$。
(2)原式通分后为$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$。假设其值为0，则分子$x^2 + y^2 + z^2=0$且分母$xyz\neq0$。
$\because x^2,y^2,z^2\geq0$，$\therefore x^2 + y^2 + z^2=0$仅当$x=y=z=0$，此时分母$xyz=0$，分式无意义。故原式的值不能为0。
(3)最简公分母为$(a - b)(b - c)(c - a)$，通分后相加得：
$\frac{(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}{(a - b)(b - c)(c - a)}$。
假设其值为0，则分子$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2=0$且分母$(a - b)(b - c)(c - a)\neq0$。
$\because (a - b)^2,(b - c)^2,(c - a)^2\geq0$，$\therefore$分子为0仅当$a = b = c$，此时分母$=0$，分式无意义。故原式的值不可能为0。