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1. 下列分式中是最简分式的是(
A.$\frac{2x}{x^{2}+1}$
B.$\frac{4}{2x}$
C.$\frac{x - 1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{1 - x}{x - 1}$
A
)A.$\frac{2x}{x^{2}+1}$
B.$\frac{4}{2x}$
C.$\frac{x - 1}{x^{2}-1}$
D.$\frac{1 - x}{x - 1}$
答案
A
解析
A. 对于 $\frac{2x}{x^{2}+1}$，分子是 $2x$，分母是 $x^{2}+1$。分母 $x^{2}+1$ 不可分解，且与分子 $2x$ 无公因式，所以 A 是最简分式。
B. 对于 $\frac{4}{2x}$，分子和分母都含有公因数 2，即 $\frac{4}{2x} = \frac{2}{x}$，所以 B 不是最简分式。
C. 对于 $\frac{x - 1}{x^{2}-1}$，分母 $x^{2}-1$ 可以分解为 $(x+1)(x-1)$，与分子 $x-1$ 有公因式 $x-1$，即 $\frac{x - 1}{x^{2}-1} = \frac{1}{x+1}$，所以 C 不是最简分式。
D. 对于 $\frac{1 - x}{x - 1}$，分子 $1-x$ 可以看作 $-(x-1)$，与分母 $x-1$ 有公因式 $x-1$，即 $\frac{1 - x}{x - 1} = -1$，所以 D 不是最简分式。
综上所述，只有 A 是最简分式。
B. 对于 $\frac{4}{2x}$，分子和分母都含有公因数 2，即 $\frac{4}{2x} = \frac{2}{x}$，所以 B 不是最简分式。
C. 对于 $\frac{x - 1}{x^{2}-1}$，分母 $x^{2}-1$ 可以分解为 $(x+1)(x-1)$，与分子 $x-1$ 有公因式 $x-1$，即 $\frac{x - 1}{x^{2}-1} = \frac{1}{x+1}$，所以 C 不是最简分式。
D. 对于 $\frac{1 - x}{x - 1}$，分子 $1-x$ 可以看作 $-(x-1)$，与分母 $x-1$ 有公因式 $x-1$，即 $\frac{1 - x}{x - 1} = -1$，所以 D 不是最简分式。
综上所述，只有 A 是最简分式。
2. 化简分式$\frac{xy + x}{x^{2}}$的结果是(
A.$\frac{y}{x}$
B.$\frac{y + 1}{x}$
C.$y + 1$
D.$\frac{y + x}{x}$
B
)A.$\frac{y}{x}$
B.$\frac{y + 1}{x}$
C.$y + 1$
D.$\frac{y + x}{x}$
答案
B
解析
原式为 $\frac{xy + x}{x^2}$，将分子提取公因式 $x$ 得 $\frac{x(y + 1)}{x^2}$，约分后结果为 $\frac{y + 1}{x}$。
3. 分式$\frac{2}{x},\frac{x}{x^{2}-1},\frac{3}{x + 1}$的最简公分母是(
A.$x^{2}-1$
B.$x(x^{2}-1)$
C.$x^{2}-x$
D.$(x + 1)(x - 1)$
B
)A.$x^{2}-1$
B.$x(x^{2}-1)$
C.$x^{2}-x$
D.$(x + 1)(x - 1)$
答案
B
解析
先将各分母因式分解：$x$已是最简形式；$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$；$x + 1$已是最简形式。最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的乘积，所以最简公分母为$x(x + 1)(x - 1)=x(x^2 - 1)$。
4. 将分式$\frac{1}{a - b},\frac{1}{a + b},\frac{1}{a^{2}-b^{2}}$通分后,$\frac{1}{a + b}$的结果是(
A.$\frac{a + b}{a^{2}-b^{2}}$
B.$\frac{a - b}{a^{2}-b^{2}}$
C.$\frac{a^{2}-b^{2}}{(a + b)(a^{2}-b^{2})}$
D.$\frac{(a + b)(a - b)}{(a^{2}-b^{2})^{2}}$
B
)A.$\frac{a + b}{a^{2}-b^{2}}$
B.$\frac{a - b}{a^{2}-b^{2}}$
C.$\frac{a^{2}-b^{2}}{(a + b)(a^{2}-b^{2})}$
D.$\frac{(a + b)(a - b)}{(a^{2}-b^{2})^{2}}$
答案
B
解析
首先确定最简公分母为 $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$。
对于分式$\frac{1}{a + b}$，为了将其分母化为$a^{2} - b^{2}$，需要给分子分母同时乘以$a - b$，即：
$\frac{1}{a + b}=\frac{1×(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{a - b}{a^{2}-b^{2}}$
对于分式$\frac{1}{a + b}$，为了将其分母化为$a^{2} - b^{2}$，需要给分子分母同时乘以$a - b$，即：
$\frac{1}{a + b}=\frac{1×(a - b)}{(a + b)(a - b)}=\frac{a - b}{a^{2}-b^{2}}$
5. 分式$\frac{1}{x^{2}-9}与\frac{1}{x^{2}-6x + 9}$的最简公分母是
$(x + 3)(x - 3)^{2}$
。答案
$(x + 3)(x - 3)^{2}$
解析
首先对给定的两个分母进行因式分解。
$x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$，
$x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$，
接下来，寻找这两个因式分解结果中的最简公分母。
最简公分母需要包含所有独立出现的因子，并且每个因子的最高次幂要包含在内。
在这里，独立出现的因子有 $x + 3$ 和 $x - 3$。
其中，$x + 3$ 的最高次幂是 1，$x - 3$ 的最高次幂是 2。
因此，最简公分母是 $(x + 3)(x - 3)^{2}$。
$x^{2} - 9 = (x + 3)(x - 3)$，
$x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}$，
接下来，寻找这两个因式分解结果中的最简公分母。
最简公分母需要包含所有独立出现的因子，并且每个因子的最高次幂要包含在内。
在这里，独立出现的因子有 $x + 3$ 和 $x - 3$。
其中，$x + 3$ 的最高次幂是 1，$x - 3$ 的最高次幂是 2。
因此，最简公分母是 $(x + 3)(x - 3)^{2}$。
6. 将分式$\frac{2x + 4}{x^{2}-4}$化为最简分式,所得结果是
$\frac{2}{x - 2}$
。答案
$\frac{2}{x - 2}$
解析
首先对分子进行因式提取，$2x + 4 = 2(x + 2)$；
然后对分母进行因式分解，$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$；
原分式可以表示为$\frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$；
由于分子和分母都含有因子$x + 2$，所以可以约去这个公共因子，得到最简分式$\frac{2}{x - 2}$。
然后对分母进行因式分解，$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$；
原分式可以表示为$\frac{2(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)}$；
由于分子和分母都含有因子$x + 2$，所以可以约去这个公共因子，得到最简分式$\frac{2}{x - 2}$。
7. 若$\frac{a}{b}= \frac{3}{5}$,则$\frac{a}{a + b}$的值为
$\frac{3}{8}$（或 3/8）
。答案
$\frac{3}{8}$（或 3/8）
解析
已知$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$，设$a = 3k$，$b = 5k$（$k \neq 0$）， 则$\frac{a}{b} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}$，符合条件，
代入$\frac{a}{a + b}$得：$\frac{3k}{3k + 5k} = \frac{3k}{8k} = \frac{3}{8}$。
代入$\frac{a}{a + b}$得：$\frac{3k}{3k + 5k} = \frac{3k}{8k} = \frac{3}{8}$。
8. 若分式$\frac{2x^{2}}{x - y}$的值为8,当$x,y$都扩大为原来的2倍后,所得分式的值是
32
。答案
32
解析
当x,y都扩大为原来的2倍后，新分式为$\frac{2(2x)^{2}}{2x - 2y}=\frac{2×4x^{2}}{2(x - y)}=\frac{8x^{2}}{2(x - y)}=4×\frac{2x^{2}}{x - y}$，因为原分式值为8，所以新分式值为$4×8=32$。
9. 若$\frac{(x - 3)(x - m)}{\vert x - 3\vert(m - x)} = 1(m\lt3)$,则$x$的取值范围是
$x ＜ 3$且$x \neq m$
。答案
$x ＜ 3$且$x \neq m$
解析
要使原式有意义，分母不能为零，即$\vert x - 3\vert(m - x) \neq 0$。因为$m \lt 3$，所以$m - x = 0$时$x = m$，则$x \neq m$；且$\vert x - 3\vert \neq 0$，即$x \neq 3$。
原式可变形为$\frac{(x - 3)(x - m)}{\vert x - 3\vert \cdot [-(x - m)]} = \frac{-(x - 3)}{\vert x - 3\vert} = 1$，即$\frac{x - 3}{\vert x - 3\vert} = -1$，所以$\vert x - 3\vert = -(x - 3)$，则$x - 3 \lt 0$，即$x \lt 3$。
综上，$x$的取值范围是$x \lt 3$且$x \neq m$。
$x \lt 3$且$x \neq m$
原式可变形为$\frac{(x - 3)(x - m)}{\vert x - 3\vert \cdot [-(x - m)]} = \frac{-(x - 3)}{\vert x - 3\vert} = 1$，即$\frac{x - 3}{\vert x - 3\vert} = -1$，所以$\vert x - 3\vert = -(x - 3)$，则$x - 3 \lt 0$，即$x \lt 3$。
综上，$x$的取值范围是$x \lt 3$且$x \neq m$。
$x \lt 3$且$x \neq m$
