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7. 比较$ \sqrt{3} - 1 与 \frac{\sqrt{3}}{2} $的大小,结果是(
A.前者大
B.后者大
C.一样大
D.无法确定
B
)。A.前者大
B.后者大
C.一样大
D.无法确定
答案
B
解析
比较$\sqrt{3} - 1$与$\frac{\sqrt{3}}{2}$的大小：
$\begin{aligned}\sqrt{3} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\&= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1\end{aligned}$
因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，则$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx -0.134 ＜ 0$，即$\sqrt{3} - 1 ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$。
B
$\begin{aligned}\sqrt{3} - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \\&= \frac{\sqrt{3}}{2} - 1\end{aligned}$
因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，则$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx -0.134 ＜ 0$，即$\sqrt{3} - 1 ＜ \frac{\sqrt{3}}{2}$。
B
8. 设 $ A $,$ B $ 都是实数,且 $ A = \sqrt{x - 4} $,$ B = \sqrt[3]{4 - x} $,则实数 $ A $,$ B $ 的大小关系为(
A.$ A ＞ B $
B.$ A ＜ B $
C.$ A = B $
D.$ A \geq B $
D
)。A.$ A ＞ B $
B.$ A ＜ B $
C.$ A = B $
D.$ A \geq B $
答案
D
解析
要使$A = \sqrt{x - 4}$有意义，则$x - 4 \geq 0$，即$x \geq 4$。
当$x = 4$时：
$A = \sqrt{4 - 4} = 0$，$B = \sqrt[3]{4 - 4} = 0$，此时$A = B$。
当$x ＞ 4$时，设$x = 4 + t$（$t ＞ 0$）：
$A = \sqrt{t} ＞ 0$，$B = \sqrt[3]{-t} = -\sqrt[3]{t} ＜ 0$，此时$A ＞ B$。
综上，$A \geq B$。
D
当$x = 4$时：
$A = \sqrt{4 - 4} = 0$，$B = \sqrt[3]{4 - 4} = 0$，此时$A = B$。
当$x ＞ 4$时，设$x = 4 + t$（$t ＞ 0$）：
$A = \sqrt{t} ＞ 0$，$B = \sqrt[3]{-t} = -\sqrt[3]{t} ＜ 0$，此时$A ＞ B$。
综上，$A \geq B$。
D
9. 如图,已知正方形 $ ABCD $ 的面积是 $ 16 cm^2 $,$ E $,$ F $,$ G $,$ H $ 分别是正方形各边的中点,依次连接点 $ E $,$ F $,$ G $,$ H $,$ E $ 得到一个小正方形,求这个小正方形的边长。(结果精确到 $ 0.1 cm $)
答案
解:设这个小正方形的边长为$x\ cm$。由题意得$x^{2}=16-4× S_{\triangle AEH}$,即$x^{2}=8$。当$2＜x＜3$时,$4＜x^{2}＜9$;当$2.8＜x＜2.9$时,$7.84＜x^{2}＜8.41$;当$2.82＜x＜2.83$时,$7.9524＜x^{2}＜8.0089$。故小正方形的边长约为$2.8\ cm$。
解析
解:设小正方形的边长为$x\ cm$。
正方形$ABCD$的面积为$16\ cm^2$，则边长为$4\ cm$。
$E$，$F$，$G$，$H$为各边中点，故$AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA=2\ cm$。
每个$\triangle AEH$为直角三角形，面积$S_{\triangle AEH}=\frac{1}{2} × AE × AH=\frac{1}{2} × 2 × 2=2\ cm^2$。
小正方形面积$x^2=16 - 4 × 2=8$，则$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}\approx1.414$，$2\sqrt{2}\approx2.828\approx2.8\ cm$。
答:小正方形的边长约为$2.8\ cm$。
正方形$ABCD$的面积为$16\ cm^2$，则边长为$4\ cm$。
$E$，$F$，$G$，$H$为各边中点，故$AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA=2\ cm$。
每个$\triangle AEH$为直角三角形，面积$S_{\triangle AEH}=\frac{1}{2} × AE × AH=\frac{1}{2} × 2 × 2=2\ cm^2$。
小正方形面积$x^2=16 - 4 × 2=8$，则$x=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}\approx1.414$，$2\sqrt{2}\approx2.828\approx2.8\ cm$。
答:小正方形的边长约为$2.8\ cm$。
10. 【综合与实践】我们知道,$ \sqrt{2} $是一个无理数,将这个数减去整数部分,差就是小数部分,即$ \sqrt{2} $的整数部分是 $ 1 $,小数部分是$ \sqrt{2} - 1 $。请回答以下问题：
(1)$ \sqrt{7} $的小数部分是
(2)若 $ a $ 是$ \sqrt{90} $的整数部分,$ b $ 是$ \sqrt{3} $的小数部分,求 $ a + b - \sqrt{3} + 1 $的平方根；
(3)若 $ 7 + \sqrt{5} = x + y $,其中 $ x $ 是整数,且 $ 0 ＜ y ＜ 1 $,求 $ x - y + \sqrt{5} $的值。
(1)$ \sqrt{7} $的小数部分是
$\sqrt{7}-2$
,$ 5 - \sqrt{7} $的小数部分是$3-\sqrt{7}$
；(2)若 $ a $ 是$ \sqrt{90} $的整数部分,$ b $ 是$ \sqrt{3} $的小数部分,求 $ a + b - \sqrt{3} + 1 $的平方根；
(3)若 $ 7 + \sqrt{5} = x + y $,其中 $ x $ 是整数,且 $ 0 ＜ y ＜ 1 $,求 $ x - y + \sqrt{5} $的值。
答案
(1)$\sqrt{7}-2$ $3-\sqrt{7}$ 分析:因为$4＜7＜9$,所以$2＜\sqrt{7}＜3$,所以$\sqrt{7}$的小数部分是$\sqrt{7}-2$。因为$-3＜-\sqrt{7}＜-2$,所以$2＜5-\sqrt{7}＜3$,所以$5-\sqrt{7}$的小数部分是$5-\sqrt{7}-2=3-\sqrt{7}$。
(2)因为$\sqrt{81}＜\sqrt{90}＜\sqrt{100}$,即$9＜\sqrt{90}＜10$,所以$\sqrt{90}$的整数部分$a=9$。又因为$1＜\sqrt{3}＜2$,所以$\sqrt{3}$的整数部分为1,$\sqrt{3}$的小数部分$b=\sqrt{3}-1$,所以$a+b-\sqrt{3}+1=9+\sqrt{3}-1-\sqrt{3}+1=9$,所以$a+b-\sqrt{3}+1$的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(3)因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$9＜7+\sqrt{5}＜10$。又因为$7+\sqrt{5}=x+y$,其中$x$是整数,且$0＜y＜1$,所以$x=9$,$y=7+\sqrt{5}-9=\sqrt{5}-2$,所以$x-y+\sqrt{5}=9-\sqrt{5}+2+\sqrt{5}=11$。
