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7. 如图所示是由一些大小相同的小正方体构成的三种视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（）
A.6
B.7
C.8
D.9
主视图
俯视图
第7小题图
A.6
B.7
C.8
D.9
主视图
俯视图第7小题图
答案
B
解析
【分析】要确定构成几何体的小正方体个数，可按照“俯视图定底层，主视图、左视图定层数”的思路求解：首先数俯视图中正方形的个数，得到底层小正方体的数量；再结合主视图和左视图给出的各位置最大高度，确定上层小正方体的数量，相加得到总个数。
【解析】
步骤1：确定底层小正方体个数
俯视图中每个正方形对应底层的一个小正方体，数得俯视图共有6个正方形，因此底层有6个小正方体。
步骤2：确定上层小正方体个数
观察主视图：几何体左、右列最高为1层，中间列最高为2层，说明仅中间列存在第二层的小正方体；
观察左视图：几何体前、后行最高为1层，中间行最高为2层，说明仅中间行存在第二层的小正方体；
因此第二层的小正方体仅在中间列与中间行的交汇处，共1个。
步骤3：计算总个数
总个数 = 底层个数 + 第二层个数 = 6 + 1 = 7。
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【点评】本题考查三视图与几何体的对应关系，解题关键是掌握三视图的观察规律，利用俯视图确定底层分布，再结合另外两个视图确定每层的数量，避免重复或漏算。
【难度系数】0.7
【解析】
步骤1：确定底层小正方体个数
俯视图中每个正方形对应底层的一个小正方体，数得俯视图共有6个正方形，因此底层有6个小正方体。
步骤2：确定上层小正方体个数
观察主视图：几何体左、右列最高为1层，中间列最高为2层，说明仅中间列存在第二层的小正方体；
观察左视图：几何体前、后行最高为1层，中间行最高为2层，说明仅中间行存在第二层的小正方体；
因此第二层的小正方体仅在中间列与中间行的交汇处，共1个。
步骤3：计算总个数
总个数 = 底层个数 + 第二层个数 = 6 + 1 = 7。
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【点评】本题考查三视图与几何体的对应关系，解题关键是掌握三视图的观察规律，利用俯视图确定底层分布，再结合另外两个视图确定每层的数量，避免重复或漏算。
【难度系数】0.7
8. 下列各组投影是平行投影的是（）
答案
$\boldsymbol{C}$
解析
【分析】
解决本题首先要掌握平行投影的核心特征：一是同一时刻平行投影的朝向一致，二是平行投影下不同物体的高度与对应影长的比值相等。解题时先通过朝向是否一致排除明显错误的选项，再验证剩余选项中物高和影长是否满足正比例关系，即可选出正确答案。
【解析】
根据平行投影的性质逐一判断：
1. 排除选项B：两个L形投影开口相对，朝向相反，不符合平行投影朝向一致的特点，错误。
2. 排除选项A：左侧L形竖直边（代表物高）长度远大于右侧，但二者水平边（代表影长）长度相差很小，物高与影长不成正比，不符合平行投影的性质，错误。
3. 排除选项D：左侧L形竖直边长度小于右侧，但二者水平边长度几乎相等，物高与影长不成正比，错误。
4. 选项C：两个L形投影朝向相同，且竖直边的长度比和水平边的长度比近似相等，符合平行投影的所有特征，正确。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
平行投影的特点，物高与影长的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行投影性质的实际应用，只要掌握平行投影朝向一致、物高与影长成正比两个核心特点，即可快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握平行投影的核心特征：一是同一时刻平行投影的朝向一致，二是平行投影下不同物体的高度与对应影长的比值相等。解题时先通过朝向是否一致排除明显错误的选项，再验证剩余选项中物高和影长是否满足正比例关系，即可选出正确答案。
【解析】
根据平行投影的性质逐一判断：
1. 排除选项B：两个L形投影开口相对，朝向相反，不符合平行投影朝向一致的特点，错误。
2. 排除选项A：左侧L形竖直边（代表物高）长度远大于右侧，但二者水平边（代表影长）长度相差很小，物高与影长不成正比，不符合平行投影的性质，错误。
3. 排除选项D：左侧L形竖直边长度小于右侧，但二者水平边长度几乎相等，物高与影长不成正比，错误。
4. 选项C：两个L形投影朝向相同，且竖直边的长度比和水平边的长度比近似相等，符合平行投影的所有特征，正确。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
平行投影的特点，物高与影长的关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行投影性质的实际应用，只要掌握平行投影朝向一致、物高与影长成正比两个核心特点，即可快速排除错误选项得到答案。
【难度系数】
0.8
9.已知一个几何体如图所示,则该几何体的左视图是（）
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确左视图的定义：从几何体的正左方观察得到的平面图形，同时牢记视图绘制规则：看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示。首先观察原几何体结构：是完整大正方体挖去了右上角的小正方体。第一步先判断左视图外轮廓：从左面看整体还是正方形，因此排除外轮廓不完整的B选项；第二步判断内部线条：挖去的小正方体的棱从左面观察属于不可见部分，需要用虚线绘制，因此排除没有内部线条的C选项，以及用实线绘制内部线条的A选项，即可得出正确选项。
【解析】
左视图是从几何体正左方观察得到的图形，视图绘制遵循“可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线”的规则：
1. 观察原几何体，是大正方体挖去部分小正方体，从左方观察时整体外轮廓为正方形，排除外轮廓缺失的B选项；
2. 挖去的小正方体的棱在左视图中属于不可见部分，需用虚线表示：
C选项无内部虚线，不符合要求，排除；
A选项内部为实线，不符合不可见轮廓用虚线的规则，排除；
只有D选项外轮廓为正方形，内部不可见部分用虚线表示，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三视图识别，视图绘制规则
【点评】
本题是三视图的基础考查题，重点考察左视图的观察方向和实虚线的使用规则，易错点是容易混淆实虚线的使用或者漏画不可见的轮廓线，掌握视图绘制规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确左视图的定义：从几何体的正左方观察得到的平面图形，同时牢记视图绘制规则：看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示。首先观察原几何体结构：是完整大正方体挖去了右上角的小正方体。第一步先判断左视图外轮廓：从左面看整体还是正方形，因此排除外轮廓不完整的B选项；第二步判断内部线条：挖去的小正方体的棱从左面观察属于不可见部分，需要用虚线绘制，因此排除没有内部线条的C选项，以及用实线绘制内部线条的A选项，即可得出正确选项。
【解析】
左视图是从几何体正左方观察得到的图形，视图绘制遵循“可见轮廓用实线，不可见轮廓用虚线”的规则：
1. 观察原几何体，是大正方体挖去部分小正方体，从左方观察时整体外轮廓为正方形，排除外轮廓缺失的B选项；
2. 挖去的小正方体的棱在左视图中属于不可见部分，需用虚线表示：
C选项无内部虚线，不符合要求，排除；
A选项内部为实线，不符合不可见轮廓用虚线的规则，排除；
只有D选项外轮廓为正方形，内部不可见部分用虚线表示，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
三视图识别，视图绘制规则
【点评】
本题是三视图的基础考查题，重点考察左视图的观察方向和实虚线的使用规则，易错点是容易混淆实虚线的使用或者漏画不可见的轮廓线，掌握视图绘制规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
10. 由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是 （）
A.5
B.6
C.7
D.8
左视图 俯视图
第10小题图
A.5
B.6
C.7
D.8
左视图 俯视图
第10小题图
答案
A
解析
【分析】
要判断小正方体不可能的个数，首先明确三视图的对应规则：俯视图可以确定底层小正方体的总个数，左视图可以确定立体图形前后行的层数范围。首先数出俯视图的小正方形数量得到底层个数，再结合左视图的高度确定上层小正方体的个数范围，最后计算总个数的取值范围即可判断选项。
【解析】
1. 分析俯视图：俯视图共有5个小正方形，说明该立体图形的底层固定有5个小正方体；
2. 分析左视图：左视图共2列，左列高度为2，右列高度为1。其中左视图的左列对应立体图形的后排（即俯视图上方的3个小正方形所在行），说明后排至少有1个小正方体是2层，最多3个都是2层；左视图的右列对应立体图形的前排（即俯视图下方的2个小正方形所在行），说明前排所有小正方体都只有1层，没有上层小正方体；
3. 计算总个数范围：上层小正方体最少有1个，最多有3个，因此总小正方体个数最少为$5+1=6$个，最多为$5+3=8$个，即个数可能为6、7、8，不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
由三视图判断几何体，三视图的对应关系
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题核心是理解“俯视图定底层数量，左视图定层数范围”的规律，易错点是容易混淆左视图列与立体图形前后行的对应关系，掌握三视图的对应逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断小正方体不可能的个数，首先明确三视图的对应规则：俯视图可以确定底层小正方体的总个数，左视图可以确定立体图形前后行的层数范围。首先数出俯视图的小正方形数量得到底层个数，再结合左视图的高度确定上层小正方体的个数范围，最后计算总个数的取值范围即可判断选项。
【解析】
1. 分析俯视图：俯视图共有5个小正方形，说明该立体图形的底层固定有5个小正方体；
2. 分析左视图：左视图共2列，左列高度为2，右列高度为1。其中左视图的左列对应立体图形的后排（即俯视图上方的3个小正方形所在行），说明后排至少有1个小正方体是2层，最多3个都是2层；左视图的右列对应立体图形的前排（即俯视图下方的2个小正方形所在行），说明前排所有小正方体都只有1层，没有上层小正方体；
3. 计算总个数范围：上层小正方体最少有1个，最多有3个，因此总小正方体个数最少为$5+1=6$个，最多为$5+3=8$个，即个数可能为6、7、8，不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
由三视图判断几何体，三视图的对应关系
【点评】
本题考查三视图的实际应用，解题核心是理解“俯视图定底层数量，左视图定层数范围”的规律，易错点是容易混淆左视图列与立体图形前后行的对应关系，掌握三视图的对应逻辑就能快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11. 如图是从不同的方向看一个物体得到的平面图形,该物体的形状是.
第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
11. 如图是从不同的方向看一个物体得到的平面图形,该物体的形状是.
第11小题图
第12小题图
第13小题图
第14小题图
答案
圆锥
解析
【分析】
解题时需利用三视图还原几何体的方法逐步推导：第一步先回忆常见几何体的三视图特点，先通过主视图和左视图判断几何体的类型，若两个视图均为三角形，说明该几何体属于锥体；第二步再结合俯视图判断底面形状，若俯视图为带圆心的圆，说明底面是圆形，即可确定几何体的具体形状。
【解析】
从不同方向观察物体得到的平面图形对应几何体的三视图：主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）。
1. 该物体的主视图和左视图均为等腰三角形，可判断该几何体为锥体；
2. 该物体的俯视图为带圆心的圆形，说明锥体的底面是圆形；
底面为圆形的锥体是圆锥，因此该物体的形状是圆锥。
【答案】
圆锥
【知识点】
三视图的概念，由三视图还原几何体
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对常见几何体三视图特征的掌握，只要熟记圆柱、圆锥、棱柱、球等常见几何体的三视图特点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时需利用三视图还原几何体的方法逐步推导：第一步先回忆常见几何体的三视图特点，先通过主视图和左视图判断几何体的类型，若两个视图均为三角形，说明该几何体属于锥体；第二步再结合俯视图判断底面形状，若俯视图为带圆心的圆，说明底面是圆形，即可确定几何体的具体形状。
【解析】
从不同方向观察物体得到的平面图形对应几何体的三视图：主视图（正面看）、左视图（左面看）、俯视图（上面看）。
1. 该物体的主视图和左视图均为等腰三角形，可判断该几何体为锥体；
2. 该物体的俯视图为带圆心的圆形，说明锥体的底面是圆形；
底面为圆形的锥体是圆锥，因此该物体的形状是圆锥。
【答案】
圆锥
【知识点】
三视图的概念，由三视图还原几何体
【点评】
本题是基础类题型，重点考查对常见几何体三视图特征的掌握，只要熟记圆柱、圆锥、棱柱、球等常见几何体的三视图特点，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
12. 在测量旗杆高度的活动课中,某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量,得到的数据如图所示.根据这些数据计算出旗杆的高度为 m.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时首先回忆平行投影的性质：同一时刻、同一地点，不同物体的高度与其影长的比值相等，本质是太阳光线为平行光线，直立物体与地面垂直，因此竹竿、竹竿影长、太阳光线构成的直角三角形，与旗杆、旗杆影长、太阳光线构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，设旗杆高度为未知数，列比例式求解即可。
【解析】
设旗杆的高度为$x$ m，根据同一时刻物体高度与影长成正比，可得比例式：
$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}} = \frac{\mathrm{旗杆高度}}{\mathrm{旗杆影长}}$
结合题中图示数据，竹竿高度为1m，影长为0.8m，旗杆影长为9.6m，代入得：
$\frac{1}{0.8} = \frac{x}{9.6}$
解得：$x = \frac{1×9.6}{0.8} = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的应用，比例运算
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查了相似三角形的实际应用，解题的核心是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，能够将实际问题转化为比例问题求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行投影的性质：同一时刻、同一地点，不同物体的高度与其影长的比值相等，本质是太阳光线为平行光线，直立物体与地面垂直，因此竹竿、竹竿影长、太阳光线构成的直角三角形，与旗杆、旗杆影长、太阳光线构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，设旗杆高度为未知数，列比例式求解即可。
【解析】
设旗杆的高度为$x$ m，根据同一时刻物体高度与影长成正比，可得比例式：
$\frac{\mathrm{竹竿高度}}{\mathrm{竹竿影长}} = \frac{\mathrm{旗杆高度}}{\mathrm{旗杆影长}}$
结合题中图示数据，竹竿高度为1m，影长为0.8m，旗杆影长为9.6m，代入得：
$\frac{1}{0.8} = \frac{x}{9.6}$
解得：$x = \frac{1×9.6}{0.8} = 12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的应用，比例运算
【点评】
本题结合生活中的测量场景，考查了相似三角形的实际应用，解题的核心是掌握同一时刻物高与影长成正比的规律，能够将实际问题转化为比例问题求解。
【难度系数】
0.8
13.如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm),计算这个圆锥侧面展开图的圆心角的度数是.
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步，明确圆锥主视图各部分对应的圆锥物理量：主视图的底边长等于圆锥底面直径，主视图的高等于圆锥的高；第二步，利用勾股定理计算圆锥的母线长，母线长是圆锥侧面展开扇形的半径；第三步，根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一核心等量关系，结合弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
解：由圆锥主视图可得：
圆锥底面直径为2cm，因此底面半径$ r = \frac{2}{2} = 1\mathrm{cm} $，圆锥的高$ h = 2\sqrt{2}\mathrm{cm} $。
根据勾股定理，圆锥的母线长$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = 3\mathrm{cm} $。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$ n° $，根据侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，列方程：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ r=1 $、$ l=3 $代入上式，得：
$\frac{nπ × 3}{180} = 2π × 1$
两边同时约去$ π $，化简得：
$\frac{3n}{180} = 2$
解得$ n = 120 $。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
圆锥展开图计算，勾股定理，弧长公式
【点评】
本题是圆锥计算的典型考题，解题的核心是掌握圆锥和其侧面展开图的两个对应关系：母线长等于扇形半径、底面周长等于扇形弧长，找准对应量代入公式即可求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步，明确圆锥主视图各部分对应的圆锥物理量：主视图的底边长等于圆锥底面直径，主视图的高等于圆锥的高；第二步，利用勾股定理计算圆锥的母线长，母线长是圆锥侧面展开扇形的半径；第三步，根据“圆锥侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一核心等量关系，结合弧长公式列方程求解圆心角即可。
【解析】
解：由圆锥主视图可得：
圆锥底面直径为2cm，因此底面半径$ r = \frac{2}{2} = 1\mathrm{cm} $，圆锥的高$ h = 2\sqrt{2}\mathrm{cm} $。
根据勾股定理，圆锥的母线长$ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 8} = 3\mathrm{cm} $。
设圆锥侧面展开图的圆心角为$ n° $，根据侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，列方程：
$\frac{nπ l}{180} = 2π r$
将$ r=1 $、$ l=3 $代入上式，得：
$\frac{nπ × 3}{180} = 2π × 1$
两边同时约去$ π $，化简得：
$\frac{3n}{180} = 2$
解得$ n = 120 $。
【答案】
$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
圆锥展开图计算，勾股定理，弧长公式
【点评】
本题是圆锥计算的典型考题，解题的核心是掌握圆锥和其侧面展开图的两个对应关系：母线长等于扇形半径、底面周长等于扇形弧长，找准对应量代入公式即可求解。
【难度系数】
0.7
14.长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是.
答案
$\boldsymbol{24}$
解析
【分析】
解题时首先明确三视图与长方体棱长的对应关系：主视图可以反映长方体的长和高，俯视图可以反映长方体的长和宽。第一步先从主视图中提取长方体的长、高的数值，第二步从俯视图中提取长方体的宽的数值，最后将三个棱长代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由主视图可知，长方体的长为4，高为3；
由俯视图可知，长方体的宽为2；
根据长方体体积公式$\boldsymbol{V=长×宽×高}$，代入数据得：
$V=4×3×2=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三视图的应用、长方体体积计算
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握三视图与几何体棱长的对应关系，准确提取长宽高的数值后代入公式计算即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三视图与长方体棱长的对应关系：主视图可以反映长方体的长和高，俯视图可以反映长方体的长和宽。第一步先从主视图中提取长方体的长、高的数值，第二步从俯视图中提取长方体的宽的数值，最后将三个棱长代入长方体体积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：由主视图可知，长方体的长为4，高为3；
由俯视图可知，长方体的宽为2；
根据长方体体积公式$\boldsymbol{V=长×宽×高}$，代入数据得：
$V=4×3×2=24$
【答案】
$\boldsymbol{24}$
【知识点】
三视图的应用、长方体体积计算
【点评】
本题是基础题，解题关键是掌握三视图与几何体棱长的对应关系，准确提取长宽高的数值后代入公式计算即可得分。
【难度系数】
0.8
15.圆桌面(桌面中间有一个直径为1 m的圆洞)正上方的灯泡(可看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2 m,桌面离地面1 m,若灯泡离地面2 m,则地面上圆环形阴影的面积是 m².
答案
$\boldsymbol{3π}$
解析
【分析】
这是中心投影结合相似三角形的应用类题目，解题思路如下：首先明确桌面平行于地面，所以桌面的外圆、中间圆洞分别与地面上的投影圆构成相似图形，相似比等于灯泡到两个平面的距离之比；接下来先求出桌面外圆、中间圆洞的半径，再根据相似比算出地面上投影的外圆和内圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算距离与相似比：
灯泡到桌面的距离为$2-1=1\ \mathrm{m}$，灯泡到地面的距离为$2\ \mathrm{m}$，因此投影圆半径和桌面对应圆半径的相似比为$\frac{2}{1}=2$。
2. 计算桌面各圆的半径：
桌面外圆半径$r_1=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$，桌面中间圆洞半径$r_2=\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{m}$。
3. 计算地面投影的半径：
地面外圆半径$R=r_1×2=1×2=2\ \mathrm{m}$，地面内圆（洞的投影）半径$r=r_2×2=0.5×2=1\ \mathrm{m}$。
4. 计算圆环阴影面积：
$S=π R^2-π r^2=π×2^2-π×1^2=4π-π=3π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$3π$
【知识点】
中心投影、相似三角形应用、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似性质的实际应用，解题核心是准确找到相似比，再结合几何面积公式求解，属于贴近生活的基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
这是中心投影结合相似三角形的应用类题目，解题思路如下：首先明确桌面平行于地面，所以桌面的外圆、中间圆洞分别与地面上的投影圆构成相似图形，相似比等于灯泡到两个平面的距离之比；接下来先求出桌面外圆、中间圆洞的半径，再根据相似比算出地面上投影的外圆和内圆半径，最后代入圆环面积公式计算即可。
【解析】
1. 计算距离与相似比：
灯泡到桌面的距离为$2-1=1\ \mathrm{m}$，灯泡到地面的距离为$2\ \mathrm{m}$，因此投影圆半径和桌面对应圆半径的相似比为$\frac{2}{1}=2$。
2. 计算桌面各圆的半径：
桌面外圆半径$r_1=\frac{2}{2}=1\ \mathrm{m}$，桌面中间圆洞半径$r_2=\frac{1}{2}=0.5\ \mathrm{m}$。
3. 计算地面投影的半径：
地面外圆半径$R=r_1×2=1×2=2\ \mathrm{m}$，地面内圆（洞的投影）半径$r=r_2×2=0.5×2=1\ \mathrm{m}$。
4. 计算圆环阴影面积：
$S=π R^2-π r^2=π×2^2-π×1^2=4π-π=3π\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$3π$
【知识点】
中心投影、相似三角形应用、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查相似性质的实际应用，解题核心是准确找到相似比，再结合几何面积公式求解，属于贴近生活的基础几何应用题。
【难度系数】
0.7
