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三、解答题(共9小题,共75分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(5分)图1所示是一个上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面(如图2).已知展开图中每个正方形的边长为1,试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B'A'C'的大小关系.
第16小题图
16.(5分)图1所示是一个上面无盖的正方体纸盒,现将其剪开展成平面(如图2).已知展开图中每个正方形的边长为1,试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B'A'C'的大小关系.
第16小题图
答案
解：
在立体图中，连接BC。
∵正方体的棱长为1，
∴AB=1，BC=1，且AB⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°。
在平面展开图中，连接B'C'。
由勾股定理得：
$A'B' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$B'C' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$A'C' = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
∴$A'B'^2 + B'C'^2 = 5 + 5 = 10 = A'C'^2$，
∴△A'B'C'是等腰直角三角形，∠A'B'C'=90°，
∴∠B'A'C'=45°。
∴$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
在立体图中，连接BC。
∵正方体的棱长为1，
∴AB=1，BC=1，且AB⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°。
在平面展开图中，连接B'C'。
由勾股定理得：
$A'B' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$B'C' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$A'C' = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
∴$A'B'^2 + B'C'^2 = 5 + 5 = 10 = A'C'^2$，
∴△A'B'C'是等腰直角三角形，∠A'B'C'=90°，
∴∠B'A'C'=45°。
∴$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
解析
【分析】
要比较两个角的大小，可分别计算两个角的度数后再对比。首先处理立体图中的∠BAC：连接BC后，结合正方体棱长相等、相邻棱垂直的特征，可直接判断△ABC的形状得到∠BAC的度数；再处理平面展开图中的∠B'A'C'：连接B'C'，利用勾股定理计算△A'B'C'的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状，得到∠B'A'C'的度数，最后对比两个角度数即可得出结论。
【解析】
在立体图中，连接BC。
∵正方体的棱长为1，
∴AB=1，BC=1，且AB⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°。
在平面展开图中，连接B'C'。
由勾股定理得：
$A'B' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$B'C' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$A'C' = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
∴$A'B'^2 + B'C'^2 = 5 + 5 = 10 = A'C'^2$，
∴△A'B'C'是等腰直角三角形，∠A'B'C'=90°，
∴∠B'A'C'=45°。
∴$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
【答案】
$∠ BAC = ∠ B'A'C'$
【知识点】
勾股定理及逆定理；等腰直角三角形性质；正方体展开图
【点评】
本题结合立体图形与平面展开图命题，既考查了空间想象能力，也考查了勾股定理相关知识的应用，解题关键是通过构造三角形，将角度比较问题转化为三角形形状判断问题。
【难度系数】
0.7
要比较两个角的大小，可分别计算两个角的度数后再对比。首先处理立体图中的∠BAC：连接BC后，结合正方体棱长相等、相邻棱垂直的特征，可直接判断△ABC的形状得到∠BAC的度数；再处理平面展开图中的∠B'A'C'：连接B'C'，利用勾股定理计算△A'B'C'的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状，得到∠B'A'C'的度数，最后对比两个角度数即可得出结论。
【解析】
在立体图中，连接BC。
∵正方体的棱长为1，
∴AB=1，BC=1，且AB⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°。
在平面展开图中，连接B'C'。
由勾股定理得：
$A'B' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$B'C' = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，
$A'C' = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，
∴$A'B'^2 + B'C'^2 = 5 + 5 = 10 = A'C'^2$，
∴△A'B'C'是等腰直角三角形，∠A'B'C'=90°，
∴∠B'A'C'=45°。
∴$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
【答案】
$∠ BAC = ∠ B'A'C'$
【知识点】
勾股定理及逆定理；等腰直角三角形性质；正方体展开图
【点评】
本题结合立体图形与平面展开图命题，既考查了空间想象能力，也考查了勾股定理相关知识的应用，解题关键是通过构造三角形，将角度比较问题转化为三角形形状判断问题。
【难度系数】
0.7
17.（6分）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的平面图形。
从上面看
从左面看→
从正面看
主视图
左视图
俯视图
第17小题图
从上面看
从左面看→
从正面看
主视图
左视图
俯视图
第17小题图
答案
解：
绘制得到的三个视图特征如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层正中间正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
2. 左视图：共2层，底层横向排列2个全等正方形，上层仅在底层右侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
3. 俯视图：共2行，下侧（靠前）横向排列3个全等正方形，上侧（靠后）仅在最左侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
（按上述特征在对应网格中填充正方形，即可得到符合要求的三视图）
绘制得到的三个视图特征如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层正中间正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
2. 左视图：共2层，底层横向排列2个全等正方形，上层仅在底层右侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
3. 俯视图：共2行，下侧（靠前）横向排列3个全等正方形，上侧（靠后）仅在最左侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
（按上述特征在对应网格中填充正方形，即可得到符合要求的三视图）
解析
【分析】
要画出该几何体的三视图，首先要明确三个视图的观察方向：主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形。首先分析几何体的结构：该几何体共由5个小正方体组成，底层有4个小正方体，分为前后两行，前行横向排列3个，后行仅最左侧有1个；上层有1个小正方体，位于底层前行中间的小正方体上方。接下来分别按观察方向统计每一列的小正方体层数，对应在网格中绘制正方形即可。
【解析】
我们按三个观察方向逐一绘制：
1. 绘制主视图：从正面看，几何体共2层，底层横向有3列小正方体，因此底层画3个横向排列的正方形；上层仅中间列有小正方体，因此在底层中间正方形的上方画1个正方形，其余位置留空。
2. 绘制左视图：从左面看，几何体共2层，底层对应前后2行小正方体，因此底层画2个横向排列的正方形；上层仅前行（对应左视角的右侧列）有小正方体，因此在底层右侧正方形的上方画1个正方形，其余位置留空。
3. 绘制俯视图：从上面看，几何体共2行，前行有3个小正方体，因此下侧画3个横向排列的正方形；后行仅最左侧有1个小正方体，因此在上侧最左侧画1个正方形，其余位置留空。
【答案】
绘制得到的三个视图特征如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层正中间正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
2. 左视图：共2层，底层横向排列2个全等正方形，上层仅在底层右侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
3. 俯视图：共2行，下侧（靠前）横向排列3个全等正方形，上侧（靠后）仅在最左侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
（按上述特征在对应网格中填充正方形，即可得到符合要求的三视图）
【知识点】
1. 简单几何体的三视图
2. 三视图绘制方法
【点评】
本题是三视图绘制的基础题型，重点考查对不同观察方向下几何体结构的识别能力，解题核心是准确统计各观察方向上每一列小正方体的层数，避免出现多画、漏画或位置错误的问题。
【难度系数】
0.8
要画出该几何体的三视图，首先要明确三个视图的观察方向：主视图是从正面观察得到的图形，左视图是从左面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形。首先分析几何体的结构：该几何体共由5个小正方体组成，底层有4个小正方体，分为前后两行，前行横向排列3个，后行仅最左侧有1个；上层有1个小正方体，位于底层前行中间的小正方体上方。接下来分别按观察方向统计每一列的小正方体层数，对应在网格中绘制正方形即可。
【解析】
我们按三个观察方向逐一绘制：
1. 绘制主视图：从正面看，几何体共2层，底层横向有3列小正方体，因此底层画3个横向排列的正方形；上层仅中间列有小正方体，因此在底层中间正方形的上方画1个正方形，其余位置留空。
2. 绘制左视图：从左面看，几何体共2层，底层对应前后2行小正方体，因此底层画2个横向排列的正方形；上层仅前行（对应左视角的右侧列）有小正方体，因此在底层右侧正方形的上方画1个正方形，其余位置留空。
3. 绘制俯视图：从上面看，几何体共2行，前行有3个小正方体，因此下侧画3个横向排列的正方形；后行仅最左侧有1个小正方体，因此在上侧最左侧画1个正方形，其余位置留空。
【答案】
绘制得到的三个视图特征如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层正中间正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
2. 左视图：共2层，底层横向排列2个全等正方形，上层仅在底层右侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
3. 俯视图：共2行，下侧（靠前）横向排列3个全等正方形，上侧（靠后）仅在最左侧正方形的上方绘制1个正方形，其余网格位置留空。
（按上述特征在对应网格中填充正方形，即可得到符合要求的三视图）
【知识点】
1. 简单几何体的三视图
2. 三视图绘制方法
【点评】
本题是三视图绘制的基础题型，重点考查对不同观察方向下几何体结构的识别能力，解题核心是准确统计各观察方向上每一列小正方体的层数，避免出现多画、漏画或位置错误的问题。
【难度系数】
0.8
18.(8分)一个几何体的三视图如图所示，主、左视图都是腰长为4，底边长为2的等腰三角形.
(1)这个几何体为；
(2)它的侧面展开图的面积是多少？
(1)这个几何体为；
(2)它的侧面展开图的面积是多少？
答案
解：
(1) 圆锥
(2) 由三视图可知，该圆锥的底面直径为2，因此底面半径$r=1$，圆锥的母线长$l=4$。
圆锥侧面展开图是扇形，其面积计算公式为$S=π r l$，将数值代入得：
$S=π × 1 × 4 = 4π$
答：它的侧面展开图的面积是$4π$。
(1) 圆锥
(2) 由三视图可知，该圆锥的底面直径为2，因此底面半径$r=1$，圆锥的母线长$l=4$。
圆锥侧面展开图是扇形，其面积计算公式为$S=π r l$，将数值代入得：
$S=π × 1 × 4 = 4π$
答：它的侧面展开图的面积是$4π$。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：根据三视图的特征判断几何体，主视图和左视图均为等腰三角形，说明该几何体是锥体，俯视图为带圆心的圆，可确定该几何体为圆锥。再解决第(2)问：圆锥的侧面展开图是扇形，其面积公式为$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），需要先从三视图中提取对应参数：主视图的底边长对应圆锥底面直径，主视图的腰长对应圆锥的母线长，代入公式即可计算侧面积。
【解析】
(1) 由三视图特征：主、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，可知该几何体是圆锥。
(2) 由三视图可得：圆锥的底面直径为2，因此底面半径$r=2÷2=1$，主视图的腰长即为圆锥的母线长$l=4$。
圆锥侧面展开图为扇形，侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=1$、$l=4$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×1×4=4π$
【答案】
(1) 圆锥
(2) $4π$
【知识点】
三视图判断几何体；圆锥的性质；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查几何体三视图的识别以及圆锥侧面积的计算，解题关键是能根据三视图准确提取圆锥的底面半径、母线长的对应数值，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先解决第(1)问：根据三视图的特征判断几何体，主视图和左视图均为等腰三角形，说明该几何体是锥体，俯视图为带圆心的圆，可确定该几何体为圆锥。再解决第(2)问：圆锥的侧面展开图是扇形，其面积公式为$S=π rl$（$r$为底面半径，$l$为母线长），需要先从三视图中提取对应参数：主视图的底边长对应圆锥底面直径，主视图的腰长对应圆锥的母线长，代入公式即可计算侧面积。
【解析】
(1) 由三视图特征：主、左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，可知该几何体是圆锥。
(2) 由三视图可得：圆锥的底面直径为2，因此底面半径$r=2÷2=1$，主视图的腰长即为圆锥的母线长$l=4$。
圆锥侧面展开图为扇形，侧面积计算公式为$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，将$r=1$、$l=4$代入公式：
$S_{\mathrm{侧}}=π×1×4=4π$
【答案】
(1) 圆锥
(2) $4π$
【知识点】
三视图判断几何体；圆锥的性质；圆锥侧面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查几何体三视图的识别以及圆锥侧面积的计算，解题关键是能根据三视图准确提取圆锥的底面半径、母线长的对应数值，牢记圆锥侧面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
19.(8分)已知一个几何体的俯视图如图所示,请画出这个几何体的主视图、左视图.
答案
解：
主视图共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为1，3，2：
在主视图网格中，第1列仅保留最下方1个正方形，第2列自下而上共3个正方形全部保留，第3列自下而上共2个正方形保留。
左视图共2列，从左到右每列的小正方形层数依次为2，3：
在左视图网格中，第1列自下而上共2个正方形保留，第2列自下而上共3个正方形保留。
（注：保留的正方形即为对应位置绘制实线的可见正方形，其余位置不绘制图形）
主视图共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为1，3，2：
在主视图网格中，第1列仅保留最下方1个正方形，第2列自下而上共3个正方形全部保留，第3列自下而上共2个正方形保留。
左视图共2列，从左到右每列的小正方形层数依次为2，3：
在左视图网格中，第1列自下而上共2个正方形保留，第2列自下而上共3个正方形保留。
（注：保留的正方形即为对应位置绘制实线的可见正方形，其余位置不绘制图形）
解析
【分析】
解决这类根据俯视图画主视图、左视图的问题，可按照以下思路推导：首先回忆三视图的核心绘制规则：主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等，主视图与左视图高平齐。第一步，先明确主视图是从几何体正前方观察得到的图形，它的列数和俯视图的水平列数完全相同，每一列的小正方形数量，等于俯视图对应列里堆叠的小正方体的最大高度；第二步，左视图是从几何体左侧观察得到的图形，它的列数等于俯视图的纵向行数，每一列的小正方形数量，等于俯视图对应行里堆叠的小正方体的最大高度；最后根据得到的列数和每列的层数，画出对应数量的小正方形即可。
【解析】
我们依据俯视图的堆叠高度信息，分别绘制两个视图：
1. 绘制主视图：主视图共3列，对应俯视图从左到右的3列，各列最大层数依次为1、3、2，因此按层数画出对应数量的可见小正方形即可。
2. 绘制左视图：左视图共2列，对应俯视图的2行，各行最大层数依次为2、3，因此按层数画出对应数量的可见小正方形即可，不可见部分无需绘制。
【答案】
解：
主视图共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为1，3，2：
在主视图网格中，第1列仅保留最下方1个正方形，第2列自下而上共3个正方形全部保留，第3列自下而上共2个正方形保留。
左视图共2列，从左到右每列的小正方形层数依次为2，3：
在左视图网格中，第1列自下而上共2个正方形保留，第2列自下而上共3个正方形保留。
（注：保留的正方形即为对应位置绘制实线的可见正方形，其余位置不绘制图形）
【知识点】
1. 几何体的三视图
2. 三视图绘制规则
【点评】
本题侧重考查空间想象能力和三视图的基础绘制能力，属于三视图模块的常规考法，只要熟练掌握三视图的投影规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.75
解决这类根据俯视图画主视图、左视图的问题，可按照以下思路推导：首先回忆三视图的核心绘制规则：主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等，主视图与左视图高平齐。第一步，先明确主视图是从几何体正前方观察得到的图形，它的列数和俯视图的水平列数完全相同，每一列的小正方形数量，等于俯视图对应列里堆叠的小正方体的最大高度；第二步，左视图是从几何体左侧观察得到的图形，它的列数等于俯视图的纵向行数，每一列的小正方形数量，等于俯视图对应行里堆叠的小正方体的最大高度；最后根据得到的列数和每列的层数，画出对应数量的小正方形即可。
【解析】
我们依据俯视图的堆叠高度信息，分别绘制两个视图：
1. 绘制主视图：主视图共3列，对应俯视图从左到右的3列，各列最大层数依次为1、3、2，因此按层数画出对应数量的可见小正方形即可。
2. 绘制左视图：左视图共2列，对应俯视图的2行，各行最大层数依次为2、3，因此按层数画出对应数量的可见小正方形即可，不可见部分无需绘制。
【答案】
解：
主视图共3列，从左到右每列的小正方形层数依次为1，3，2：
在主视图网格中，第1列仅保留最下方1个正方形，第2列自下而上共3个正方形全部保留，第3列自下而上共2个正方形保留。
左视图共2列，从左到右每列的小正方形层数依次为2，3：
在左视图网格中，第1列自下而上共2个正方形保留，第2列自下而上共3个正方形保留。
（注：保留的正方形即为对应位置绘制实线的可见正方形，其余位置不绘制图形）
【知识点】
1. 几何体的三视图
2. 三视图绘制规则
【点评】
本题侧重考查空间想象能力和三视图的基础绘制能力，属于三视图模块的常规考法，只要熟练掌握三视图的投影规律，就能快速准确作答。
【难度系数】
0.75
20.(8分)小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度.如图,某一时刻,她在地面上竖直立了一根2米长的标杆CD,测得其影长DE=0.4米.
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF;
(2)如果BF=1.6米,求旗杆AB的高.
第20小题图
(1)请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF;
(2)如果BF=1.6米,求旗杆AB的高.
第20小题图
答案
解：
(1) 连接CE，过点A作AF//CE，交直线BD于点F，线段BF即为所求的旗杆AB在阳光下的投影。
(2) ∵ AF//CE，
∴ ∠AFB = ∠CED，
又∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABF = ∠CDE = 90°，
∴ △ABF ∽ △CDE，
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CD=2米，DE=0.4米，BF=1.6米代入得：
$\frac{AB}{2} = \frac{1.6}{0.4}$，
解得 AB = 8米。
答：旗杆AB的高为8米。
(1) 连接CE，过点A作AF//CE，交直线BD于点F，线段BF即为所求的旗杆AB在阳光下的投影。
(2) ∵ AF//CE，
∴ ∠AFB = ∠CED，
又∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABF = ∠CDE = 90°，
∴ △ABF ∽ △CDE，
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CD=2米，DE=0.4米，BF=1.6米代入得：
$\frac{AB}{2} = \frac{1.6}{0.4}$，
解得 AB = 8米。
答：旗杆AB的高为8米。
解析
【分析】
(1) 同一时刻阳光下的光线是平行的，已知标杆的光线为CE，因此只需过旗杆顶端A作CE的平行线，与地面BD的交点即为旗杆投影的端点F，线段BF就是所求投影。
(2) 由光线平行可得一组对应角相等，结合AB、CD均垂直于地面得到两个直角，可判定△ABF与△CDE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出旗杆AB的高度。
【解析】
(1) 连接CE，过点A作AF//CE，交直线BD于点F，则线段BF即为旗杆AB在阳光下的投影。
(2)
∵ AF//CE，
∴ ∠AFB = ∠CED，
又
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABF = ∠CDE = 90°，
∴ △ABF ∽ △CDE，
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CD=2米，DE=0.4米，BF=1.6米代入得：
$\frac{AB}{2} = \frac{1.6}{0.4}$，
解得 AB = 8米。
【答案】
(1) 作图见上述解析；
(2) 8米
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于实际应用类基础题，结合投影测量的场景考查平行投影规律和相似三角形的应用，解题核心是掌握同一时刻平行光线下物高与影长成比例的关系，同时要注意几何作图的规范性。
【难度系数】
0.8
(1) 同一时刻阳光下的光线是平行的，已知标杆的光线为CE，因此只需过旗杆顶端A作CE的平行线，与地面BD的交点即为旗杆投影的端点F，线段BF就是所求投影。
(2) 由光线平行可得一组对应角相等，结合AB、CD均垂直于地面得到两个直角，可判定△ABF与△CDE相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可求出旗杆AB的高度。
【解析】
(1) 连接CE，过点A作AF//CE，交直线BD于点F，则线段BF即为旗杆AB在阳光下的投影。
(2)
∵ AF//CE，
∴ ∠AFB = ∠CED，
又
∵ AB⊥BD，CD⊥BD，
∴ ∠ABF = ∠CDE = 90°，
∴ △ABF ∽ △CDE，
∴ $\frac{AB}{CD} = \frac{BF}{DE}$，
将CD=2米，DE=0.4米，BF=1.6米代入得：
$\frac{AB}{2} = \frac{1.6}{0.4}$，
解得 AB = 8米。
【答案】
(1) 作图见上述解析；
(2) 8米
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题属于实际应用类基础题，结合投影测量的场景考查平行投影规律和相似三角形的应用，解题核心是掌握同一时刻平行光线下物高与影长成比例的关系，同时要注意几何作图的规范性。
【难度系数】
0.8
