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典例2 如图，小明站在堤岸的点A处，正对他的点S处停有一艘游艇。他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿着堤岸走到电线杆点B，接着再往前走相同的距离，达到点C，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于点D，测得点C到点D的距离是35 m。那么，在点A处小明与游艇的距离是多少米？请说明理由。
答案
解：在点A处小明与游艇的距离是35 m，理由如下：
由题意得：$SA⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ C = 90°$，
又$\because AB = CB$，$∠ ABS = ∠ CBD$，
在$△ ABS$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C \\AB = CB \\∠ ABS = ∠ CBD\end{cases}$
$\therefore △ ABS ≌ △ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS = CD$，
$\because CD = 35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS = 35\ \mathrm{m}$。
由题意得：$SA⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ C = 90°$，
又$\because AB = CB$，$∠ ABS = ∠ CBD$，
在$△ ABS$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C \\AB = CB \\∠ ABS = ∠ CBD\end{cases}$
$\therefore △ ABS ≌ △ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS = CD$，
$\because CD = 35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS = 35\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先从实际操作中提取几何条件：首先由“小明在A处正对S”可得SA垂直于AC，即∠A=90°；由“从B再往前走相同距离到C”可得AB=CB；由“到C后向左直行”可得CD垂直于AC，即∠C=90°；再由“电线杆与游艇在一条直线上”可知点D、B、S共线，因此∠ABS和∠CBD是对顶角，二者相等。此时观察△ABS和△CBD，满足两角及其夹边对应相等，可通过ASA判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，即可得到AS与CD相等，从而求出AS的长度。
【解析】
在点A处小明与游艇的距离是35 m，理由如下：
由题意得：$SA⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ C = 90°$，
又$\because AB = CB$，$∠ ABS = ∠ CBD$，
在$△ ABS$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C \\AB = CB \\∠ ABS = ∠ CBD\end{cases}$
$\therefore △ ABS ≌ △ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS = CD$，
$\because CD = 35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS = 35\ \mathrm{m}$。
【答案】
35 m
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是将实际生活场景抽象为几何模型，准确梳理已知的边、角关系，找到三角形全等的判定条件，再利用全等三角形对应边相等的性质求解，很好地体现了数学在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先从实际操作中提取几何条件：首先由“小明在A处正对S”可得SA垂直于AC，即∠A=90°；由“从B再往前走相同距离到C”可得AB=CB；由“到C后向左直行”可得CD垂直于AC，即∠C=90°；再由“电线杆与游艇在一条直线上”可知点D、B、S共线，因此∠ABS和∠CBD是对顶角，二者相等。此时观察△ABS和△CBD，满足两角及其夹边对应相等，可通过ASA判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等，即可得到AS与CD相等，从而求出AS的长度。
【解析】
在点A处小明与游艇的距离是35 m，理由如下：
由题意得：$SA⊥ AC$，$DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ A = ∠ C = 90°$，
又$\because AB = CB$，$∠ ABS = ∠ CBD$，
在$△ ABS$和$△ CBD$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ C \\AB = CB \\∠ ABS = ∠ CBD\end{cases}$
$\therefore △ ABS ≌ △ CBD(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AS = CD$，
$\because CD = 35\ \mathrm{m}$，
$\therefore AS = 35\ \mathrm{m}$。
【答案】
35 m
【知识点】
全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题核心是将实际生活场景抽象为几何模型，准确梳理已知的边、角关系，找到三角形全等的判定条件，再利用全等三角形对应边相等的性质求解，很好地体现了数学在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
典例3 如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两个角分别等于∠α，∠β，且∠α的对边等于a。
答案
解：
作法：
1. 利用尺规作∠1 = 180° - ∠α - ∠β；
2. 作线段AB = a；
3. 在线段AB的同侧，作∠BAM = ∠β，作∠ABN = ∠1，射线AM与射线BN交于点C。
则△ABC就是所求作的三角形。
作法：
1. 利用尺规作∠1 = 180° - ∠α - ∠β；
2. 作线段AB = a；
3. 在线段AB的同侧，作∠BAM = ∠β，作∠ABN = ∠1，射线AM与射线BN交于点C。
则△ABC就是所求作的三角形。
解析
【分析】
要作满足条件的三角形，已知两角∠α、∠β以及∠α的对边长为a，属于已知两角及其中一角的对边作三角形的类型。首先根据三角形内角和为180°，可先求出第三个角的度数：$∠ 1=180°-∠α-∠β$，此时问题转化为作以线段a为夹边，两个内角分别为$∠β$和$∠1$的三角形，即已知两角及其夹边作三角形的ASA类型，再结合尺规作线段、作角的基本方法即可完成作图。
【解析】
作法如下：
1. 利用尺规作$∠ 1 = 180° - ∠α - ∠β$；
2. 作线段$AB = a$；
3. 在线段AB的同侧，作$∠ BAM = ∠β$，作$∠ ABN = ∠1$，射线AM与射线BN交于点C。
则$△ ABC$就是所求作的三角形。
【答案】
作法：
1. 利用尺规作$∠ 1 = 180° - ∠α - ∠β$；
2. 作线段$AB = a$；
3. 在线段AB的同侧，作$∠ BAM = ∠β$，作$∠ ABN = ∠1$，射线AM与射线BN交于点C。
$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；尺规作角；尺规作三角形
【点评】
本题考查尺规作三角形的应用，解题核心是先借助三角形内角和定理将“已知两角及其中一角的对边作三角形”的问题转化为更易操作的“已知两角及其夹边作三角形”的问题，要求熟练掌握尺规作线段、作等角的基本操作，明确作图的逻辑依据。
【难度系数】
0.6
要作满足条件的三角形，已知两角∠α、∠β以及∠α的对边长为a，属于已知两角及其中一角的对边作三角形的类型。首先根据三角形内角和为180°，可先求出第三个角的度数：$∠ 1=180°-∠α-∠β$，此时问题转化为作以线段a为夹边，两个内角分别为$∠β$和$∠1$的三角形，即已知两角及其夹边作三角形的ASA类型，再结合尺规作线段、作角的基本方法即可完成作图。
【解析】
作法如下：
1. 利用尺规作$∠ 1 = 180° - ∠α - ∠β$；
2. 作线段$AB = a$；
3. 在线段AB的同侧，作$∠ BAM = ∠β$，作$∠ ABN = ∠1$，射线AM与射线BN交于点C。
则$△ ABC$就是所求作的三角形。
【答案】
作法：
1. 利用尺规作$∠ 1 = 180° - ∠α - ∠β$；
2. 作线段$AB = a$；
3. 在线段AB的同侧，作$∠ BAM = ∠β$，作$∠ ABN = ∠1$，射线AM与射线BN交于点C。
$△ ABC$即为所求作的三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；尺规作角；尺规作三角形
【点评】
本题考查尺规作三角形的应用，解题核心是先借助三角形内角和定理将“已知两角及其中一角的对边作三角形”的问题转化为更易操作的“已知两角及其夹边作三角形”的问题，要求熟练掌握尺规作线段、作等角的基本操作，明确作图的逻辑依据。
【难度系数】
0.6
典例4 如图，AC，BC平分△AOB的两个外角∠MAB和∠NBA，C为交点，∠AOB=50°，求∠COB的度数。
答案
解：
过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，CF⊥AB于F。
∵ AC平分∠MAB，CE⊥AM，CF⊥AB，
∴ CE = CF。
∵ BC平分∠NBA，CD⊥BN，CF⊥AB，
∴ CD = CF。
∴ CD = CE。
又∵ CD⊥OB，CE⊥OA，
∴ 点C在∠AOB的平分线上，即OC平分∠AOB。
∵ ∠AOB = 50°，
∴ ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，CF⊥AB于F。
∵ AC平分∠MAB，CE⊥AM，CF⊥AB，
∴ CE = CF。
∵ BC平分∠NBA，CD⊥BN，CF⊥AB，
∴ CD = CF。
∴ CD = CE。
又∵ CD⊥OB，CE⊥OA，
∴ 点C在∠AOB的平分线上，即OC平分∠AOB。
∵ ∠AOB = 50°，
∴ ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
解析
【分析】
要求∠COB的度数，已知∠AOB=50°，若能证明OC是∠AOB的角平分线，即可直接求出∠COB为∠AOB的一半。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们可以过点C向∠AOB的两边OA、OB以及线段AB作垂线，结合已知AC、BC是外角平分线的条件，利用角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，推出点C到OA、OB的距离相等，进而证明OC平分∠AOB，最后计算角度即可。
【解析】
过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，CF⊥AB于F。
∵ AC平分∠MAB，CE⊥AM，CF⊥AB，
∴ CE = CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BC平分∠NBA，CD⊥BN，CF⊥AB，
∴ CD = CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ CD = CE。
又
∵ CD⊥OB，CE⊥OA，
∴ 点C在∠AOB的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OC平分∠AOB。
∵ ∠AOB = 50°，
∴ ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合典型题，解题关键是通过构造垂线段的辅助线，完成“角平分线性质→距离等量代换→角平分线判定”的逻辑推导，将所求角转化为已知角的一半，体现了几何题中辅助线的构造技巧和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
要求∠COB的度数，已知∠AOB=50°，若能证明OC是∠AOB的角平分线，即可直接求出∠COB为∠AOB的一半。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此我们可以过点C向∠AOB的两边OA、OB以及线段AB作垂线，结合已知AC、BC是外角平分线的条件，利用角平分线的性质得到三条垂线段的等量关系，推出点C到OA、OB的距离相等，进而证明OC平分∠AOB，最后计算角度即可。
【解析】
过点C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，CF⊥AB于F。
∵ AC平分∠MAB，CE⊥AM，CF⊥AB，
∴ CE = CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ BC平分∠NBA，CD⊥BN，CF⊥AB，
∴ CD = CF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ CD = CE。
又
∵ CD⊥OB，CE⊥OA，
∴ 点C在∠AOB的平分线上（到角两边距离相等的点在角的平分线上），即OC平分∠AOB。
∵ ∠AOB = 50°，
∴ ∠COB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线性质与判定的综合典型题，解题关键是通过构造垂线段的辅助线，完成“角平分线性质→距离等量代换→角平分线判定”的逻辑推导，将所求角转化为已知角的一半，体现了几何题中辅助线的构造技巧和转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
