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1. 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$的求根公式为
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac ≥ 0)$
。答案
1. $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac ≥ 0)$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程求根公式的识记，解题时可先回忆求根公式的推导过程辅助记忆：求根公式由配方法推导而来，推导过程中需注意开平方的前提是被开方数非负，因此公式要附带$b^2-4ac≥0$的适用条件，直接对应写出求根公式即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，我们用配方法推导求根公式：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，整理为$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开平方：根据平方根的意义，等号右侧需非负，即$b^2-4ac≥0$时，可得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
5. 移项整理得求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$。
【答案】
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac ≥ 0)$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法；根的判别式
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，学习时既要牢记公式的形式，也要明确公式的适用前提，是运用公式法解一元二次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程求根公式的识记，解题时可先回忆求根公式的推导过程辅助记忆：求根公式由配方法推导而来，推导过程中需注意开平方的前提是被开方数非负，因此公式要附带$b^2-4ac≥0$的适用条件，直接对应写出求根公式即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，我们用配方法推导求根公式：
1. 二次项系数化为1：两边同时除以$a$，得$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$；
3. 配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方$(\frac{b}{2a})^2$，得$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$，整理为$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$；
4. 开平方：根据平方根的意义，等号右侧需非负，即$b^2-4ac≥0$时，可得$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；
5. 移项整理得求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(b^2-4ac≥0)$。
【答案】
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}(b^2 - 4ac ≥ 0)$
【知识点】
一元二次方程求根公式；配方法；根的判别式
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对一元二次方程求根公式的掌握程度，学习时既要牢记公式的形式，也要明确公式的适用前提，是运用公式法解一元二次方程的核心基础。
【难度系数】
0.9
2.一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$的根为
$x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
.答案
2. $x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
本题要求求解一元二次方程的根，对应公式法解方程的知识点，解题思路可分为三步：第一步先明确一元二次方程的一般形式，找准二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意各项系数要包含本身的符号；第二步计算根的判别式Δ=b²-4ac，判断方程是否有实数根，若Δ≥0则可继续求解；第三步若方程有实根，直接代入一元二次方程的求根公式计算即可得到结果。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$已经是一般形式，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解方程；求根公式；根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础典型题，解题关键是准确识别各项系数的符号，熟练掌握公式法的解题步骤，牢记求根公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求求解一元二次方程的根，对应公式法解方程的知识点，解题思路可分为三步：第一步先明确一元二次方程的一般形式，找准二次项系数a、一次项系数b、常数项c，注意各项系数要包含本身的符号；第二步计算根的判别式Δ=b²-4ac，判断方程是否有实数根，若Δ≥0则可继续求解；第三步若方程有实根，直接代入一元二次方程的求根公式计算即可得到结果。
【解析】
已知一元二次方程$x^2 - 3x - 1 = 0$已经是一般形式，可得：
二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-1$。
先计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×(-1) = 9 + 4 = 13 ＞ 0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解方程；求根公式；根的判别式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础典型题，解题关键是准确识别各项系数的符号，熟练掌握公式法的解题步骤，牢记求根公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.一元二次方程(4y－3)(y－1)＝4的根为
$y_{1,2} = \frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
。答案
3. $y_{1,2} = \frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
解析
【分析】
本题是用公式法求解一元二次方程的题型，首先不能直接令等号两侧的因式和常数划等号，需要先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$再求解。思考路径：第一步先用多项式乘多项式法则展开等号左侧的乘积式；第二步通过移项、合并同类项得到标准一般式；第三步确定$a、b、c$的取值；第四步计算判别式判断根的情况；第五步代入求根公式计算出最终的根即可。
【解析】
解：先将原方程展开整理为一般形式：
$\begin{aligned}(4y-3)(y-1)&=4\\4y^2-4y-3y+3&=4\\4y^2-7y+3-4&=0\\4y^2-7y-1&=0\end{aligned}$
可得二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=-1$。
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×4×(-1)=49+16=65＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{7\pm\sqrt{65}}{2×4}=\frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
【答案】
$y_{1,2} = \frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
【知识点】
多项式乘法、一元二次方程一般式、公式法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将非标准形式的方程转化为一般形式，计算过程中要注意判别式计算的符号问题，避免因符号错误是这类题的常见失分点，熟记求根公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
本题是用公式法求解一元二次方程的题型，首先不能直接令等号两侧的因式和常数划等号，需要先把方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$再求解。思考路径：第一步先用多项式乘多项式法则展开等号左侧的乘积式；第二步通过移项、合并同类项得到标准一般式；第三步确定$a、b、c$的取值；第四步计算判别式判断根的情况；第五步代入求根公式计算出最终的根即可。
【解析】
解：先将原方程展开整理为一般形式：
$\begin{aligned}(4y-3)(y-1)&=4\\4y^2-4y-3y+3&=4\\4y^2-7y+3-4&=0\\4y^2-7y-1&=0\end{aligned}$
可得二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-7$，常数项$c=-1$。
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4×4×(-1)=49+16=65＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$y=\frac{7\pm\sqrt{65}}{2×4}=\frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
【答案】
$y_{1,2} = \frac{7\pm\sqrt{65}}{8}$
【知识点】
多项式乘法、一元二次方程一般式、公式法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将非标准形式的方程转化为一般形式，计算过程中要注意判别式计算的符号问题，避免因符号错误是这类题的常见失分点，熟记求根公式是解题的基础。
【难度系数】
0.7
4.若关于x的一元二次方程$(m^2 - 1)x^2 + 2x - 3m = 0$的一个根是$x = 1$，则m的值是
$m_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
.答案
4. $m_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，得到关于参数m的等式；第二步，将等式整理为关于m的一元二次方程的标准形式，用公式法求解；第三步，结合一元二次方程的定义，验证所求m的值是否满足二次项系数不为0的条件，排除增根得到最终结果。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$(m^2 - 1)x^2 + 2x - 3m = 0$的根
∴ 将x=1代入方程，等式成立：
$(m^2 -1)×1^2 + 2×1 - 3m = 0$
整理得：
$m^2 - 3m + 1 = 0$
该方程中$a=1, b=-3, c=1$，判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5 ＞ 0$
由求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$m = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
验证：当$m=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$m=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，二次项系数$m^2 -1 ≠ 0$，均满足一元二次方程的定义。
【答案】
$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
方程根的定义；公式法解一元二次方程；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程相关概念的应用，解题核心是利用根的定义将求参数的问题转化为解一元二次方程的问题，注意求解后要验证二次项系数不为0的隐含条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=1代入原方程，得到关于参数m的等式；第二步，将等式整理为关于m的一元二次方程的标准形式，用公式法求解；第三步，结合一元二次方程的定义，验证所求m的值是否满足二次项系数不为0的条件，排除增根得到最终结果。
【解析】
∵ x=1是一元二次方程$(m^2 - 1)x^2 + 2x - 3m = 0$的根
∴ 将x=1代入方程，等式成立：
$(m^2 -1)×1^2 + 2×1 - 3m = 0$
整理得：
$m^2 - 3m + 1 = 0$
该方程中$a=1, b=-3, c=1$，判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5 ＞ 0$
由求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$m = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
验证：当$m=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$m=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$时，二次项系数$m^2 -1 ≠ 0$，均满足一元二次方程的定义。
【答案】
$\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
方程根的定义；公式法解一元二次方程；一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程相关概念的应用，解题核心是利用根的定义将求参数的问题转化为解一元二次方程的问题，注意求解后要验证二次项系数不为0的隐含条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.7
5.一元二次方程$(x+1)(2x-3)=-2$的根为
$x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 1$
.答案
5. $x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 1$
解析
【分析】
要解这个一元二次方程，首先需要将左边的乘积形式展开，再通过移项、合并同类项把方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，随后利用公式法求解：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
先展开左边的乘积：
$(x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3=2x^2 -x -3$
原方程可写为：
$2x^2 -x -3 = -2$
移项合并同类项得：
$2x^2 -x -1 = 0$
第二步：确定系数，计算判别式
这里$a=2$，$b=-1$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×2×(-1) = 1 + 8 = 9＞0$，方程有两个不相等的实数根
第三步：代入求根公式计算
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2×2} = \frac{1\pm3}{4}$
当取加号时：$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$
当取减号时：$x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将非标准形式的一元二次方程转化为一般形式，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
要解这个一元二次方程，首先需要将左边的乘积形式展开，再通过移项、合并同类项把方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，随后利用公式法求解：先确定$a、b、c$的取值，计算判别式$\Delta$判断根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算即可得到方程的根。
【解析】
第一步：将原方程化为一般形式
先展开左边的乘积：
$(x+1)(2x-3)=2x^2 -3x +2x -3=2x^2 -x -3$
原方程可写为：
$2x^2 -x -3 = -2$
移项合并同类项得：
$2x^2 -x -1 = 0$
第二步：确定系数，计算判别式
这里$a=2$，$b=-1$，$c=-1$
判别式$\Delta = b^2 -4ac = (-1)^2 -4×2×(-1) = 1 + 8 = 9＞0$，方程有两个不相等的实数根
第三步：代入求根公式计算
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2×2} = \frac{1\pm3}{4}$
当取加号时：$x_1 = \frac{1+3}{4} = 1$
当取减号时：$x_2 = \frac{1-3}{4} = -\frac{1}{2}$
【答案】
$x_1 = -\frac{1}{2},\ x_2 = 1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将非标准形式的一元二次方程转化为一般形式，计算过程中要注意符号处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
6.一元二次方程$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$的两个根为…………………………【 】
A.$x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
B.$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
C.$x_1 = x_2 = -3$
D.$x_1 = x_2 = 3$
A.$x_1 = x_2 = -\sqrt{3}$
B.$x_1 = x_2 = \sqrt{3}$
C.$x_1 = x_2 = -3$
D.$x_1 = x_2 = 3$
答案
B
解析
【分析】
要解这道求一元二次方程根的题目，我们可以按照公式法解一元二次方程的步骤思考：第一步先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步计算根的判别式Δ=b²-4ac，判断根的情况；第三步若判别式≥0，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：
$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$
第一步计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 12 - 12 = 0$
由此可知方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×1}=\sqrt{3}$
即$x_1=x_2=\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题时要注意准确识别各项系数的符号，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
要解这道求一元二次方程根的题目，我们可以按照公式法解一元二次方程的步骤思考：第一步先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c；第二步计算根的判别式Δ=b²-4ac，判断根的情况；第三步若判别式≥0，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根的取值，最后匹配选项即可。
【解析】
首先将方程与一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）对应，可得：
$a=1$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=3$
第一步计算根的判别式：
$\Delta = b^2-4ac = (-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3 = 12 - 12 = 0$
由此可知方程有两个相等的实数根，代入求根公式：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2×1}=\sqrt{3}$
即$x_1=x_2=\sqrt{3}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程求根公式
2.根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题时要注意准确识别各项系数的符号，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
7.用公式法求一元二次方程$x^2 - 3x -1 =0$的根，下列两个根正确的是……【 】
答案
D
解析
【分析】
要使用公式法求解一元二次方程的根，首先需明确公式法的解题步骤：第一步将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确对应找出系数$a$、$b$、$c$；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根；第三步若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。解题时要特别注意$b$、$c$的符号，避免符号错误。
【解析】
首先将方程$x^2 - 3x -1 =0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$对应，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=-1$
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2 - 4×1×(-1)=9+4=13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公式法解一元二次方程的规范步骤，解题的易错点是容易弄错系数$b$、$c$的符号，只要准确确定系数、严格按照步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要使用公式法求解一元二次方程的根，首先需明确公式法的解题步骤：第一步将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，准确对应找出系数$a$、$b$、$c$；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程是否有实根；第三步若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算即可得到方程的根。解题时要特别注意$b$、$c$的符号，避免符号错误。
【解析】
首先将方程$x^2 - 3x -1 =0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$对应，可得：
$a=1$，$b=-3$，$c=-1$
计算判别式：
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2 - 4×1×(-1)=9+4=13＞0$，因此方程有两个不相等的实数根
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{-(-3)\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程求根公式，根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公式法解一元二次方程的规范步骤，解题的易错点是容易弄错系数$b$、$c$的符号，只要准确确定系数、严格按照步骤计算即可得分。
【难度系数】
0.8
8.等腰三角形的一边长是8，另两边的长是关于x的方程$x^2 -5mx +4m^2=0$的两个实数根，有下列结论：①方程的两个根是$x_1=m$，$x_2=4m$；②$m＞0$；③8是方程的根；④$m=2$。正确的有……………………【 】
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
A
解析
【分析】
解题时先通过因式分解求解一元二次方程，验证结论①；再结合三角形边长为正的性质判断结论②；接着分两种情况讨论：8为等腰三角形的腰、8为等腰三角形的底，结合三角形三边关系排除不符合的情况，最终验证结论③和④是否成立。
【解析】
1. 验证结论①：对一元二次方程$x^2 -5mx +4m^2=0$因式分解，可得$(x-m)(x-4m)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=4m$，故①正确。
2. 验证结论②：因为方程的两个根是三角形的边长，边长恒为正数，所以$m＞0$，$4m＞0$，可得$m＞0$，故②正确。
3. 分类讨论等腰三角形的边长情况：
情况1：若8为等腰三角形的腰长，则8是方程的根，分两种子情况：
若$m=8$，则另一根为$4m=32$，此时三边长为8、8、32，$8+8=16＜32$，不满足三角形三边关系，舍去；
若$4m=8$，解得$m=2$，另一根为$m=2$，此时三边长为8、8、2，$2+8＞8$，满足三角形三边关系，成立。
情况2：若8为等腰三角形的底边长，则两腰长为方程的两个根，即两根相等，因此$m=4m$，解得$m=0$，此时边长为0，不符合实际，舍去。
综上，仅$m=2$的情况成立，此时8是方程的根，故③、④均正确。
四个结论都正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，同时要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
解题时先通过因式分解求解一元二次方程，验证结论①；再结合三角形边长为正的性质判断结论②；接着分两种情况讨论：8为等腰三角形的腰、8为等腰三角形的底，结合三角形三边关系排除不符合的情况，最终验证结论③和④是否成立。
【解析】
1. 验证结论①：对一元二次方程$x^2 -5mx +4m^2=0$因式分解，可得$(x-m)(x-4m)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=4m$，故①正确。
2. 验证结论②：因为方程的两个根是三角形的边长，边长恒为正数，所以$m＞0$，$4m＞0$，可得$m＞0$，故②正确。
3. 分类讨论等腰三角形的边长情况：
情况1：若8为等腰三角形的腰长，则8是方程的根，分两种子情况：
若$m=8$，则另一根为$4m=32$，此时三边长为8、8、32，$8+8=16＜32$，不满足三角形三边关系，舍去；
若$4m=8$，解得$m=2$，另一根为$m=2$，此时三边长为8、8、2，$2+8＞8$，满足三角形三边关系，成立。
情况2：若8为等腰三角形的底边长，则两腰长为方程的两个根，即两根相等，因此$m=4m$，解得$m=0$，此时边长为0，不符合实际，舍去。
综上，仅$m=2$的情况成立，此时8是方程的根，故③、④均正确。
四个结论都正确，故选A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于一元二次方程与三角形性质的综合题，解题的关键是对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，同时要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，避免出现不符合实际的错解。
【难度系数】
0.6
9. 一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根为$x_1,x_2$，且$x_1 ＜ x_2$，下面关于$x_1,x_2$的
结论，错误的是 ……………………【 】
A.$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$
B.$x_1 ＜ -1, x_2 ＞ 2$
C.$2 ＜ x_2 ＜ 3$
D.$-1 ＜ x_1 ＜ 0$
结论，错误的是 ……………………【 】
A.$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$
B.$x_1 ＜ -1, x_2 ＞ 2$
C.$2 ＜ x_2 ＜ 3$
D.$-1 ＜ x_1 ＜ 0$
答案
D
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先可利用一元二次方程求根公式写出两根的表达式，再通过估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，分别得到$x_1$、$x_2$的范围，也可直接计算两根之差的范围，逐一验证每个选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1,b=-1,c=-3$，
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据求根公式得：$x = \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，结合$x_1 ＜ x_2$，得$x_1 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$。
3. 估算$\sqrt{13}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，$3.6^2=12.96$，$3.7^2=13.69$，所以$3.6 ＜ \sqrt{13} ＜ 3.7$。
4. 分别计算两根范围：
$x_1 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$，则$\frac{1-3.7}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{1-3.6}{2}$，即$-1.35 ＜ x_1 ＜ -1.3$，可得$x_1 ＜ -1$；
$x_2 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$，则$\frac{1+3.6}{2} ＜ x_2 ＜ \frac{1+3.7}{2}$，即$2.3 ＜ x_2 ＜ 2.35$，可得$2 ＜ x_2 ＜ 3$；
两根之差$x_2 - x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2} - \frac{1-\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$，所以$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$。
5. 逐一验证选项：
A选项：$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$，符合计算结果，正确；
B选项：$x_1 ＜ -1, x_2 ＞ 2$，符合计算结果，正确；
C选项：$2 ＜ x_2 ＜ 3$，符合计算结果，正确；
D选项：$-1 ＜ x_1 ＜ 0$，与$x_1 ＜ -1$矛盾，错误。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关计算，解题核心是熟练运用求根公式表示两根，结合无理数的估算判断根的取值范围，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正误，首先可利用一元二次方程求根公式写出两根的表达式，再通过估算无理数$\sqrt{13}$的取值范围，分别得到$x_1$、$x_2$的范围，也可直接计算两根之差的范围，逐一验证每个选项即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$，其中$a=1,b=-1,c=-3$，
1. 计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-3) = 13 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
2. 根据求根公式得：$x = \frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，结合$x_1 ＜ x_2$，得$x_1 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$。
3. 估算$\sqrt{13}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，$3.6^2=12.96$，$3.7^2=13.69$，所以$3.6 ＜ \sqrt{13} ＜ 3.7$。
4. 分别计算两根范围：
$x_1 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}$，则$\frac{1-3.7}{2} ＜ x_1 ＜ \frac{1-3.6}{2}$，即$-1.35 ＜ x_1 ＜ -1.3$，可得$x_1 ＜ -1$；
$x_2 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}$，则$\frac{1+3.6}{2} ＜ x_2 ＜ \frac{1+3.7}{2}$，即$2.3 ＜ x_2 ＜ 2.35$，可得$2 ＜ x_2 ＜ 3$；
两根之差$x_2 - x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2} - \frac{1-\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}$，所以$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$。
5. 逐一验证选项：
A选项：$3 ＜ x_2 - x_1 ＜ 4$，符合计算结果，正确；
B选项：$x_1 ＜ -1, x_2 ＞ 2$，符合计算结果，正确；
C选项：$2 ＜ x_2 ＜ 3$，符合计算结果，正确；
D选项：$-1 ＜ x_1 ＜ 0$，与$x_1 ＜ -1$矛盾，错误。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式，无理数估算
【点评】
本题考查一元二次方程根的相关计算，解题核心是熟练运用求根公式表示两根，结合无理数的估算判断根的取值范围，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
10.(1)下面是用公式法解一元二次方程的过程,若有错误,请指出错误原因,并给出正确解答.
用公式法解方程$8x^2 + 10x = 3$.
解:$a = 8,b = 10,c = 3$.
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10\pm\sqrt{4}}{16}$
$=\frac{-10\pm2}{16}=-\frac{5}{8}\pm\frac{1}{8}$,
$\therefore x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{4}$.
(2)完成下面用公式法解方程的过程:
解方程$(x - 2)^2 = x - 3$.
解:整理,得
$a =$
$b^2 - 4ac =$
$\therefore$ 方程没有实数根.
解方程$2x(x - 1) + 3 = 2(0.5x + 3)$.
解:整理,得
$a =$
$b^2 - 4ac =$
$\therefore x =$
即 $x_1 =$
用公式法解方程$8x^2 + 10x = 3$.
解:$a = 8,b = 10,c = 3$.
$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10\pm\sqrt{4}}{16}$
$=\frac{-10\pm2}{16}=-\frac{5}{8}\pm\frac{1}{8}$,
$\therefore x_1 = -\frac{1}{2},x_2 = -\frac{3}{4}$.
(2)完成下面用公式法解方程的过程:
解方程$(x - 2)^2 = x - 3$.
解:整理,得
$x^2 - 5x + 7 = 0$
.$a =$
$1$
, $b =$ $-5$
, $c =$ $7$
.$b^2 - 4ac =$
$25 - 28$
$=$ $-3$
$＜ 0$.$\therefore$ 方程没有实数根.
解方程$2x(x - 1) + 3 = 2(0.5x + 3)$.
解:整理,得
$2x^2 - 3x - 3 = 0$
.$a =$
$2$
, $b =$ $-3$
, $c =$ $-3$
.$b^2 - 4ac =$
$9 + 24$
$=$ $33$
$＞ 0$.$\therefore x =$
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$=$ $\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
.即 $x_1 =$
$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$
, $x_2 =$ $\frac{3-\sqrt{33}}{4}$
.答案
10. (1) 系数符号错,导致计算出错。
正解:把一元二次方程化为一般式可得
$8x^2 + 10x - 3 = 0$.
$a = 8,\ b = 10,\ c = -3$,
$\because b^2 - 4ac = 100 + 96 = 196 = 14^2$,
$\therefore x_{1,2} = \frac{-10\pm14}{16}$,
即 $x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(2) $x^2 - 5x + 7 = 0$；$1,\ -5,\ 7$；$25 - 28,\ -3$.
$2x^2 - 3x - 3 = 0$；$2,\ -3,\ -3$；$9 + 24,\ 33$.
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, $\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{4},\ x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{4}$.
正解:把一元二次方程化为一般式可得
$8x^2 + 10x - 3 = 0$.
$a = 8,\ b = 10,\ c = -3$,
$\because b^2 - 4ac = 100 + 96 = 196 = 14^2$,
$\therefore x_{1,2} = \frac{-10\pm14}{16}$,
即 $x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{3}{2}$.
(2) $x^2 - 5x + 7 = 0$；$1,\ -5,\ 7$；$25 - 28,\ -3$.
$2x^2 - 3x - 3 = 0$；$2,\ -3,\ -3$；$9 + 24,\ 33$.
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, $\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{4},\ x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{4}$.
解析
【分析】
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是牢记公式法的求解步骤：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②准确确定带符号的系数$a、b、c$；③计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；④若有实根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算结果。
(1)问需先判断原解题过程的错误：未将方程化为一般形式就确定常数项$c$，符号错误导致计算出错，再按正确步骤求解即可；
(2)问只需按照公式法的步骤，先展开、移项、合并同类项整理为一般式，再依次计算对应系数、判别式，最后代入求根公式求解即可。
【解析】
(1) 错误原因：原解答没有将方程化为一元二次方程的一般形式，常数项$c$的符号判断错误，$c$应为$-3$而非$3$，导致后续计算错误。
正确解答：
先将方程移项化为一般形式：$8x^2 + 10x - 3 = 0$，
可得$a = 8,\ b = 10,\ c = -3$，
计算根的判别式：$b^2 - 4ac = 10^2 - 4×8×(-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$，
代入求根公式得：$x = \frac{-10\pm\sqrt{196}}{2×8} = \frac{-10\pm14}{16}$，
计算得两个根分别为$x_1 = \frac{1}{4}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
(2) 第一个方程：
展开并整理$(x - 2)^2 = x - 3$：
$x^2 -4x +4 = x -3$，移项合并同类项得$x^2 - 5x + 7 = 0$，
即$a=1,\ b=-5,\ c=7$，
$b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×7 = 25 - 28 = -3 ＜ 0$，因此方程没有实数根。
第二个方程：
展开并整理$2x(x - 1) + 3 = 2(0.5x + 3)$：
左边展开得$2x^2 -2x +3$，右边展开得$x +6$，
移项合并同类项得$2x^2 - 3x - 3 = 0$，
即$a=2,\ b=-3,\ c=-3$，
$b^2 -4ac = (-3)^2 -4×2×(-3) = 9 + 24 = 33 ＞ 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$，
即$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{4},\ x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{4}$。
【答案】
(1) 错误原因：系数符号错，未将方程化为一般式就确定c的值，导致计算出错。
正解：$x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 5x + 7 = 0$；$1,\ -5,\ 7$；$25 - 28,\ -3$；
$2x^2 - 3x - 3 = 0$；$2,\ -3,\ -3$；$9 + 24,\ 33$；
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$；
$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{33}}{4}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般式；根的判别式
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范步骤，易错点是整理一般式时符号出错、确定$a、b、c$时漏带符号，只要严格按照步骤逐步计算，就能顺利求解，属于一元二次方程求解的基础题型。
【难度系数】
0.7
本题考查公式法解一元二次方程的应用，解题关键是牢记公式法的求解步骤：①先将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②准确确定带符号的系数$a、b、c$；③计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；④若有实根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$计算结果。
(1)问需先判断原解题过程的错误：未将方程化为一般形式就确定常数项$c$，符号错误导致计算出错，再按正确步骤求解即可；
(2)问只需按照公式法的步骤，先展开、移项、合并同类项整理为一般式，再依次计算对应系数、判别式，最后代入求根公式求解即可。
【解析】
(1) 错误原因：原解答没有将方程化为一元二次方程的一般形式，常数项$c$的符号判断错误，$c$应为$-3$而非$3$，导致后续计算错误。
正确解答：
先将方程移项化为一般形式：$8x^2 + 10x - 3 = 0$，
可得$a = 8,\ b = 10,\ c = -3$，
计算根的判别式：$b^2 - 4ac = 10^2 - 4×8×(-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$，
代入求根公式得：$x = \frac{-10\pm\sqrt{196}}{2×8} = \frac{-10\pm14}{16}$，
计算得两个根分别为$x_1 = \frac{1}{4}$，$x_2 = -\frac{3}{2}$。
(2) 第一个方程：
展开并整理$(x - 2)^2 = x - 3$：
$x^2 -4x +4 = x -3$，移项合并同类项得$x^2 - 5x + 7 = 0$，
即$a=1,\ b=-5,\ c=7$，
$b^2 -4ac = (-5)^2 -4×1×7 = 25 - 28 = -3 ＜ 0$，因此方程没有实数根。
第二个方程：
展开并整理$2x(x - 1) + 3 = 2(0.5x + 3)$：
左边展开得$2x^2 -2x +3$，右边展开得$x +6$，
移项合并同类项得$2x^2 - 3x - 3 = 0$，
即$a=2,\ b=-3,\ c=-3$，
$b^2 -4ac = (-3)^2 -4×2×(-3) = 9 + 24 = 33 ＞ 0$，
代入求根公式得：$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$，
即$x_1 = \frac{3+\sqrt{33}}{4},\ x_2 = \frac{3-\sqrt{33}}{4}$。
【答案】
(1) 错误原因：系数符号错，未将方程化为一般式就确定c的值，导致计算出错。
正解：$x_1 = \frac{1}{4},x_2 = -\frac{3}{2}$。
(2) $x^2 - 5x + 7 = 0$；$1,\ -5,\ 7$；$25 - 28,\ -3$；
$2x^2 - 3x - 3 = 0$；$2,\ -3,\ -3$；$9 + 24,\ 33$；
$\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，$\frac{3\pm\sqrt{33}}{4}$；
$\frac{3+\sqrt{33}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{33}}{4}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程一般式；根的判别式
【点评】
本题重点考查公式法解一元二次方程的规范步骤，易错点是整理一般式时符号出错、确定$a、b、c$时漏带符号，只要严格按照步骤逐步计算，就能顺利求解，属于一元二次方程求解的基础题型。
【难度系数】
0.7
