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15.已知$(k-2)^2 = 1$，试解关于$x$的方程$kx(x-2)+2=(x+1)(x-1).$
答案
15. 提示: 由$(k-2)^2 = 1$得,$k = 1$,或 $k = 3$；原方程整理得$(k-1)x^2 - 2kx + 3 = 0$；若 $k = 1$,方程为 $-2x + 3 = 0$，$x = \frac{3}{2}$；若 $k = 3$,方程为 $2x^2 - 6x + 3 = 0$，$x = \frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，根据平方根的定义求解$(k-2)^2=1$，得到参数$k$的两个可能取值；第二步，把关于$x$的方程通过去括号、移项、合并同类项，整理为整式方程的一般形式；第三步，分类讨论代入$k$的取值：当$k=1$时二次项系数为0，方程为一元一次方程，直接求解即可；当$k=3$时方程为一元二次方程，用配方法求解即可。解题时需注意分类讨论，不要遗漏$k$的取值情况，同时要准确判断方程的类型。
【解析】
1. 求解参数$k$：
已知$(k-2)^2=1$，开平方得$k-2=\pm1$，
解得$k=2+1=3$或$k=2-1=1$。
2. 整理关于$x$的方程：
对$kx(x-2)+2=(x+1)(x-1)$展开变形：
左边展开：$kx^2-2kx+2$，右边展开：$x^2-1$，
移项合并同类项得：$(k-1)x^2-2kx+3=0$。
3. 分情况解方程：
① 当$k=1$时，代入整理后的方程得：
$(1-1)x^2-2×1· x+3=0$，即$-2x+3=0$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
② 当$k=3$时，代入整理后的方程得：
$(3-1)x^2-2×3· x+3=0$，即$2x^2-6x+3=0$，
用配方法求解：
二次项系数化为1得$x^2-3x+\frac{3}{2}=0$，
移项得$x^2-3x=-\frac{3}{2}$，
配方：两边同时加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$，
即$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{3}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
当$k=1$时，$x=\frac{3}{2}$；当$k=3$时，$x=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$或$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平方根的运算；一元一次方程的解法；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需要先求出参数的取值再分情况解方程，易错点是忽略二次项系数为0的情况，误把方程都当作一元二次方程求解导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，根据平方根的定义求解$(k-2)^2=1$，得到参数$k$的两个可能取值；第二步，把关于$x$的方程通过去括号、移项、合并同类项，整理为整式方程的一般形式；第三步，分类讨论代入$k$的取值：当$k=1$时二次项系数为0，方程为一元一次方程，直接求解即可；当$k=3$时方程为一元二次方程，用配方法求解即可。解题时需注意分类讨论，不要遗漏$k$的取值情况，同时要准确判断方程的类型。
【解析】
1. 求解参数$k$：
已知$(k-2)^2=1$，开平方得$k-2=\pm1$，
解得$k=2+1=3$或$k=2-1=1$。
2. 整理关于$x$的方程：
对$kx(x-2)+2=(x+1)(x-1)$展开变形：
左边展开：$kx^2-2kx+2$，右边展开：$x^2-1$，
移项合并同类项得：$(k-1)x^2-2kx+3=0$。
3. 分情况解方程：
① 当$k=1$时，代入整理后的方程得：
$(1-1)x^2-2×1· x+3=0$，即$-2x+3=0$，
解得$x=\frac{3}{2}$。
② 当$k=3$时，代入整理后的方程得：
$(3-1)x^2-2×3· x+3=0$，即$2x^2-6x+3=0$，
用配方法求解：
二次项系数化为1得$x^2-3x+\frac{3}{2}=0$，
移项得$x^2-3x=-\frac{3}{2}$，
配方：两边同时加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，得$x^2-3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}$，
即$(x-\frac{3}{2})^2=\frac{3}{4}$，
开平方得$x-\frac{3}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得$x=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
当$k=1$时，$x=\frac{3}{2}$；当$k=3$时，$x=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$或$x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
平方根的运算；一元一次方程的解法；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需要先求出参数的取值再分情况解方程，易错点是忽略二次项系数为0的情况，误把方程都当作一元二次方程求解导致漏解。
【难度系数】
0.7
16.(1) 阅读下面内容,根据题意填空:
解一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 时,有的题目可采用先配方转化为两式的平方差,再分解因式的方法来进行.例如,
① 常数项配方法:
解方程: $x^2 -4x +1 =0$.
解:二次项、一次项不变,配常数项,建立平方式
$(x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_) - \_\_\_\_\_\_ +1 =0$,
即 $(x-2)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 =0$.
分解因式,得
$(x-2 - \_\_\_\_\_\_)(x-2 + \_\_\_\_\_\_) =0$.
∴ $x_1=2+\sqrt{3}$, $x_2=2-\sqrt{3}$.
② 二次项配方法:
解方程: $3x^2 -4x +1 =0$.
解:一次项、常数项不变,配二次项,建立平方式
$(\_\_\_\_\_\_ -4x +1) - \_\_\_\_\_\_ =0$,
即 $(2x-1)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 =0$.
分解因式,得
$(2x-1 - \_\_\_\_\_\_)(2x-1 + \_\_\_\_\_\_) =0$.
∴ $x_1=1$, $x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 试用上面的方法解方程:
① $x^2 +4x +3 =0$.
② $x^2 -8x +4 =0$.
③ $5x^2 -6x +1 =0$.
④ $-3x^2 +2x +1 =0$.
解一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 时,有的题目可采用先配方转化为两式的平方差,再分解因式的方法来进行.例如,
① 常数项配方法:
解方程: $x^2 -4x +1 =0$.
解:二次项、一次项不变,配常数项,建立平方式
$(x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_) - \_\_\_\_\_\_ +1 =0$,
即 $(x-2)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 =0$.
分解因式,得
$(x-2 - \_\_\_\_\_\_)(x-2 + \_\_\_\_\_\_) =0$.
∴ $x_1=2+\sqrt{3}$, $x_2=2-\sqrt{3}$.
② 二次项配方法:
解方程: $3x^2 -4x +1 =0$.
解:一次项、常数项不变,配二次项,建立平方式
$(\_\_\_\_\_\_ -4x +1) - \_\_\_\_\_\_ =0$,
即 $(2x-1)^2 - (\_\_\_\_\_\_)^2 =0$.
分解因式,得
$(2x-1 - \_\_\_\_\_\_)(2x-1 + \_\_\_\_\_\_) =0$.
∴ $x_1=1$, $x_2=\frac{1}{3}$.
(2) 试用上面的方法解方程:
① $x^2 +4x +3 =0$.
② $x^2 -8x +4 =0$.
③ $5x^2 -6x +1 =0$.
④ $-3x^2 +2x +1 =0$.
答案
16. (1) ① 4，4；$\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$. ② $4x^2$，$x^2$；$x$；$x$，$x$.
(2) ① 配方得 $(x+2)^2 - 1^2 = 0$，即 $(x+1)(x+3) = 0$，
∴ $x_1 = -1,x_2 = -3$.
② 配方得 $(x-4)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 0$，$(x-4+2\sqrt{3})(x-4-2\sqrt{3}) = 0$，
∴ $x_1 = 4-2\sqrt{3}$，$x_2 = 4+2\sqrt{3}$.
③ 配方得 $(3x-1)^2 - (2x)^2 = 0$，$(x-1)(5x-1) = 0$，
∴ $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{5}$.
④ 配方得 $(x+1)^2 - (2x)^2 = 0$，即 $(1-x)(3x+1) = 0$，
∴ $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{3}$.
(2) ① 配方得 $(x+2)^2 - 1^2 = 0$，即 $(x+1)(x+3) = 0$，
∴ $x_1 = -1,x_2 = -3$.
② 配方得 $(x-4)^2 - (2\sqrt{3})^2 = 0$，$(x-4+2\sqrt{3})(x-4-2\sqrt{3}) = 0$，
∴ $x_1 = 4-2\sqrt{3}$，$x_2 = 4+2\sqrt{3}$.
③ 配方得 $(3x-1)^2 - (2x)^2 = 0$，$(x-1)(5x-1) = 0$，
∴ $x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{5}$.
④ 配方得 $(x+1)^2 - (2x)^2 = 0$，即 $(1-x)(3x+1) = 0$，
∴ $x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题考查用“配方法凑平方差再因式分解”的方法解一元二次方程。解题思路：1. 填空部分：①常数项配方法：二次项、一次项不变时，根据完全平方公式，补一次项系数一半的平方作为常数项，为保证原式值不变，补完后需减去相同的数，再将常数部分整理为某数的平方，转化为平方差形式，最后用平方差公式因式分解即可；②二次项配方法：一次项、常数项不变时，观察一次项系数，凑对应完全平方的二次项，同样减去多补的二次项，转化为平方差形式再因式分解。2. 解方程部分：若二次项系数为1，优先用常数项配方法；若二次项系数不为1，优先用二次项配方法，配方时注意恒等变形，分解后令每个因式为0即可求出方程的解。
【解析】
(1) ① 对$x^2-4x$配方，一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$，因此补$4$后需再减$4$，可得$(x^2-4x+4)-4+1=0$，整理得$(x-2)^2-3=0$，即$(x-2)^2-(\sqrt{3})^2=0$，用平方差公式分解得$(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})=0$，因此依次填$4,4,\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}$。
② 凑完全平方式$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，原式$3x^2-4x+1$可改写为$(4x^2-4x+1)-x^2=0$，即$(2x-1)^2-x^2=0$，用平方差公式分解得$(2x-1-x)(2x-1+x)=0$，因此依次填$4x^2,x^2,x,x,x$。
(2) ① $x^2+4x+3=0$
常数项配方得：$(x^2+4x+4)-4+3=0$
即$(x+2)^2-1^2=0$
因式分解得：$(x+2-1)(x+2+1)=0$，即$(x+1)(x+3)=0$
解得$x_1=-1,x_2=-3$。
② $x^2-8x+4=0$
常数项配方得：$(x^2-8x+16)-16+4=0$
即$(x-4)^2-(2\sqrt{3})^2=0$
因式分解得：$(x-4-2\sqrt{3})(x-4+2\sqrt{3})=0$
解得$x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$。
③ $5x^2-6x+1=0$
二次项配方得：$(9x^2-6x+1)-4x^2=0$
即$(3x-1)^2-(2x)^2=0$
因式分解得：$(3x-1-2x)(3x-1+2x)=0$，即$(x-1)(5x-1)=0$
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$。
④ $-3x^2+2x+1=0$
配方得：$(x^2+2x+1)-4x^2=0$
即$(x+1)^2-(2x)^2=0$
因式分解得：$(x+1-2x)(x+1+2x)=0$，即$(1-x)(3x+1)=0$
解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) ① $4$，$4$；$\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；② $4x^2$，$x^2$；$x$；$x$，$x$
(2) ① $x_1=-1,x_2=-3$；② $x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$；③ $x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$；④ $x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；平方差公式
【点评】
本题创新了配方法解一元二次方程的形式，通过凑平方差再因式分解求解，简化了计算步骤，解题核心是熟练掌握完全平方公式，注意配方过程中要保证等式恒等，多加的部分必须减去。
【难度系数】
0.7
本题考查用“配方法凑平方差再因式分解”的方法解一元二次方程。解题思路：1. 填空部分：①常数项配方法：二次项、一次项不变时，根据完全平方公式，补一次项系数一半的平方作为常数项，为保证原式值不变，补完后需减去相同的数，再将常数部分整理为某数的平方，转化为平方差形式，最后用平方差公式因式分解即可；②二次项配方法：一次项、常数项不变时，观察一次项系数，凑对应完全平方的二次项，同样减去多补的二次项，转化为平方差形式再因式分解。2. 解方程部分：若二次项系数为1，优先用常数项配方法；若二次项系数不为1，优先用二次项配方法，配方时注意恒等变形，分解后令每个因式为0即可求出方程的解。
【解析】
(1) ① 对$x^2-4x$配方，一次项系数为$-4$，一半的平方为$4$，因此补$4$后需再减$4$，可得$(x^2-4x+4)-4+1=0$，整理得$(x-2)^2-3=0$，即$(x-2)^2-(\sqrt{3})^2=0$，用平方差公式分解得$(x-2-\sqrt{3})(x-2+\sqrt{3})=0$，因此依次填$4,4,\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}$。
② 凑完全平方式$(2x-1)^2=4x^2-4x+1$，原式$3x^2-4x+1$可改写为$(4x^2-4x+1)-x^2=0$，即$(2x-1)^2-x^2=0$，用平方差公式分解得$(2x-1-x)(2x-1+x)=0$，因此依次填$4x^2,x^2,x,x,x$。
(2) ① $x^2+4x+3=0$
常数项配方得：$(x^2+4x+4)-4+3=0$
即$(x+2)^2-1^2=0$
因式分解得：$(x+2-1)(x+2+1)=0$，即$(x+1)(x+3)=0$
解得$x_1=-1,x_2=-3$。
② $x^2-8x+4=0$
常数项配方得：$(x^2-8x+16)-16+4=0$
即$(x-4)^2-(2\sqrt{3})^2=0$
因式分解得：$(x-4-2\sqrt{3})(x-4+2\sqrt{3})=0$
解得$x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$。
③ $5x^2-6x+1=0$
二次项配方得：$(9x^2-6x+1)-4x^2=0$
即$(3x-1)^2-(2x)^2=0$
因式分解得：$(3x-1-2x)(3x-1+2x)=0$，即$(x-1)(5x-1)=0$
解得$x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$。
④ $-3x^2+2x+1=0$
配方得：$(x^2+2x+1)-4x^2=0$
即$(x+1)^2-(2x)^2=0$
因式分解得：$(x+1-2x)(x+1+2x)=0$，即$(1-x)(3x+1)=0$
解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) ① $4$，$4$；$\sqrt{3}$；$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$；② $4x^2$，$x^2$；$x$；$x$，$x$
(2) ① $x_1=-1,x_2=-3$；② $x_1=4+2\sqrt{3},x_2=4-2\sqrt{3}$；③ $x_1=1,x_2=\frac{1}{5}$；④ $x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；平方差公式
【点评】
本题创新了配方法解一元二次方程的形式，通过凑平方差再因式分解求解，简化了计算步骤，解题核心是熟练掌握完全平方公式，注意配方过程中要保证等式恒等，多加的部分必须减去。
【难度系数】
0.7
