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13.证明:无论$x,y$为何值,代数式$4x^2 + y^2 -4x +6y +11$的值总是正数.试求出当$x,y$取何值时,这个代数式的值最小.
答案
13. 提示:原式 $= (2x-1)^2 + (y+3)^2 + 1 ≥ 1$；当 $x = \frac{1}{2},y = -3$ 时，代数式的值最小.
解析
【分析】
要证明代数式的值恒为正数且求最小值，可采用配方法将代数式变形为几个完全平方式加常数的形式。利用完全平方式的非负性（即平方数≥0），若常数为正，则代数式的值恒大于等于该常数，既能证明恒正，也能在完全平方式均为0时取得最小值，最小值就是这个常数。解题时先将含x、含y的项分别分组，再对应完全平方公式的结构拆分常数项完成配方即可。
【解析】
解：对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x +6y +11&=(4x^2-4x)+(y^2+6y)+11\\&=(4x^2-4x+1)+(y^2+6y+9)+(11-1-9)\\&=(2x-1)^2+(y+3)^2+1\end{aligned}$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(2x-1)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，
∴ $(2x-1)^2+(y+3)^2+1≥0+0+1=1＞0$，
∴ 无论x、y为何值，代数式的值总是正数。
当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值：
令$\begin{cases}2x-1=0\\y+3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-3\end{cases}$，此时代数式的最小值为1。
【答案】
原式$=(2x-1)^2 + (y+3)^2 + 1 ≥ 1$，故代数式的值总是正数；当$x = \frac{1}{2},y = -3$时，代数式的值最小，最小值为1。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；代数式最值求解
【点评】
本题重点考查配方法的实际运用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会合理拆分常数项完成配方，结合非负数的性质就能轻松解决代数式恒正判断和最值求解类问题。
【难度系数】
0.7
要证明代数式的值恒为正数且求最小值，可采用配方法将代数式变形为几个完全平方式加常数的形式。利用完全平方式的非负性（即平方数≥0），若常数为正，则代数式的值恒大于等于该常数，既能证明恒正，也能在完全平方式均为0时取得最小值，最小值就是这个常数。解题时先将含x、含y的项分别分组，再对应完全平方公式的结构拆分常数项完成配方即可。
【解析】
解：对代数式进行配方变形：
$\begin{aligned}4x^2 + y^2 -4x +6y +11&=(4x^2-4x)+(y^2+6y)+11\\&=(4x^2-4x+1)+(y^2+6y+9)+(11-1-9)\\&=(2x-1)^2+(y+3)^2+1\end{aligned}$
∵ 任何实数的平方都是非负数，即$(2x-1)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$，
∴ $(2x-1)^2+(y+3)^2+1≥0+0+1=1＞0$，
∴ 无论x、y为何值，代数式的值总是正数。
当两个完全平方式同时为0时，代数式取得最小值：
令$\begin{cases}2x-1=0\\y+3=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-3\end{cases}$，此时代数式的最小值为1。
【答案】
原式$=(2x-1)^2 + (y+3)^2 + 1 ≥ 1$，故代数式的值总是正数；当$x = \frac{1}{2},y = -3$时，代数式的值最小，最小值为1。
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；代数式最值求解
【点评】
本题重点考查配方法的实际运用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，学会合理拆分常数项完成配方，结合非负数的性质就能轻松解决代数式恒正判断和最值求解类问题。
【难度系数】
0.7
14.实数$x$满足$x^2 + \frac{1}{x^2} + x + \frac{1}{x} = 10$.
（1）填空：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + \_\_\_\_\_\_$.
（2）求$x + \frac{1}{x}$的值.
（1）填空：
$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + \_\_\_\_\_\_$.
（2）求$x + \frac{1}{x}$的值.
答案
14. (1) 2.
(2) 提示:配方,把等式化为$(x+\frac{1}{x})^2 + (x+\frac{1}{x}) = 12$，即 $(x+\frac{1}{x}+\frac{1}{2})^2 = \frac{49}{4}$，$x+\frac{1}{x} = \frac{-1\pm7}{2}$，
∴ $x+\frac{1}{x}$ 的值是 $-4$ 或 $3$.
(2) 提示:配方,把等式化为$(x+\frac{1}{x})^2 + (x+\frac{1}{x}) = 12$，即 $(x+\frac{1}{x}+\frac{1}{2})^2 = \frac{49}{4}$，$x+\frac{1}{x} = \frac{-1\pm7}{2}$，
∴ $x+\frac{1}{x}$ 的值是 $-4$ 或 $3$.
解析
【分析】
（1）本小问直接运用完全平方公式展开即可，将$a=x$、$b=\frac{1}{x}$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，计算交叉项即可得到结果。
（2）本小问观察已知等式的结构，发现等式同时包含$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，可利用第（1）问的结论将$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入原方程后把$x+\frac{1}{x}$看作整体，即可得到关于这个整体的一元二次方程，再用配方法解方程，最后验证结果符合实数取值要求即可。
【解析】
（1）根据完全平方公式展开：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$，因此应填2。
（2）设$t=x+\frac{1}{x}$，由（1）的结论可得$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$，将其代入原等式：
$t^2 - 2 + t = 10$
整理得：$t^2 + t - 12 = 0$
移项得：$t^2 + t = 12$
两边同时加$\frac{1}{4}$配方：$t^2 + t + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{4}$
即$(t+\frac{1}{2})^2 = \frac{49}{4}$
开平方得：$t+\frac{1}{2} = \pm\frac{7}{2}$
解得：$t_1=\frac{-1+7}{2}=3$，$t_2=\frac{-1-7}{2}=-4$
经检验，实数范围内$x+\frac{1}{x}≥2$或$x+\frac{1}{x}≤-2$，3和-4均符合要求。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
完全平方公式，换元法，配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查代数变形能力和方程转化思想，解题的核心是利用完全平方公式的变形将原方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题过程中要注意验证所求代数式的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
（1）本小问直接运用完全平方公式展开即可，将$a=x$、$b=\frac{1}{x}$代入$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，计算交叉项即可得到结果。
（2）本小问观察已知等式的结构，发现等式同时包含$x^2+\frac{1}{x^2}$和$x+\frac{1}{x}$，可利用第（1）问的结论将$x^2+\frac{1}{x^2}$变形为$(x+\frac{1}{x})^2-2$，代入原方程后把$x+\frac{1}{x}$看作整体，即可得到关于这个整体的一元二次方程，再用配方法解方程，最后验证结果符合实数取值要求即可。
【解析】
（1）根据完全平方公式展开：
$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$，因此应填2。
（2）设$t=x+\frac{1}{x}$，由（1）的结论可得$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$，将其代入原等式：
$t^2 - 2 + t = 10$
整理得：$t^2 + t - 12 = 0$
移项得：$t^2 + t = 12$
两边同时加$\frac{1}{4}$配方：$t^2 + t + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{4}$
即$(t+\frac{1}{2})^2 = \frac{49}{4}$
开平方得：$t+\frac{1}{2} = \pm\frac{7}{2}$
解得：$t_1=\frac{-1+7}{2}=3$，$t_2=\frac{-1-7}{2}=-4$
经检验，实数范围内$x+\frac{1}{x}≥2$或$x+\frac{1}{x}≤-2$，3和-4均符合要求。
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{3}$或$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
完全平方公式，换元法，配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查代数变形能力和方程转化思想，解题的核心是利用完全平方公式的变形将原方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题过程中要注意验证所求代数式的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
