1. 配方使等式成立：
$x^2 + 4x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$

1. 4，2.

【分析】
要解决这个配方问题，首先回忆完全平方和公式的结构：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。我们将题目给出的式子和完全平方公式对比，先确定对应项：式子左边的$x^2$对应公式里的$a^2$，所以$a=x$；接下来一次项$4x$对应公式里的$2ab$，代入$a=x$就可以算出$b$的值，再算出$b^2$就是需要填的常数项。
【解析】
根据完全平方和公式：$(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$
将其与题干中的$x^2+4x+\_\_\_\_\_\_=(x+\_\_\_\_\_\_)^2$对比，可得一次项系数对应关系：
$2m = 4$
解得$m=2$
则常数项为$m^2=2^2=4$
因此第一个空填4，第二个空填2。
【答案】
4，2
【知识点】
完全平方公式；配方法
【点评】
本题是配方法的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的熟悉程度，掌握完全平方公式的项与系数的对应关系是解题关键，这类题目是后续用配方法解一元二次方程的重要基础。
【难度系数】
0.9

2.若$x^2 + 6x + m^2$是一个完全平方式，则m的值为.

2. $\pm 3$

【分析】
遇到判断完全平方式中未知参数的问题，首先回忆完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即二次三项式需要满足“首平方、尾平方，两倍乘积在中央”。我们先将给定的式子$x^2 + 6x + m^2$和公式结构做匹配：首项是$x^2$，对应公式里的$a^2$，可得$a=x$；中间项$6x$对应公式里的$\pm2ab$，由此可算出$b$的值；最后常数项$m^2$对应公式里的$b^2$，列方程求解即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】
解：根据完全平方公式的结构：$(x\pm a)^2=x^2\pm2ax+a^2$
已知$x^2 + 6x + m^2$是完全平方式，对比中间项可得：
$2a=6$，解得$a=3$
因此常数项满足$m^2=a^2=3^2=9$
对$m^2=9$开平方，得$m=\pm3$
【答案】
$\pm 3$
【知识点】
完全平方公式，平方根的运算
【点评】
本题是完全平方式的基础应用题型，解题的关键是熟练掌握完全平方式的结构，需要注意完全平方式包含和、差两种形式，避免只写出m=3而漏掉负解丢分。
【难度系数】
0.7

3.已知$4x^2 - ax + 1$可变为$(2x - b)^2$的形式，则$ab =$。

3. 4

【分析】
解决本题的核心是利用完全平方公式的结构特征，先将右侧的完全平方式展开，再根据两个相等多项式的对应同类项系数相等的性质，分别求出a、b的取值，最后计算ab的结果即可，解题时需注意完全平方展开后的符号问题，不要漏解。
【解析】
首先根据完全平方公式展开$(2x-b)^2$：
$(2x-b)^2=(2x)^2 - 2·2x· b + b^2=4x^2 - 4bx + b^2$
已知$4x^2 - ax + 1=(2x-b)^2$，因此两个多项式对应项系数相等：
1. 常数项对应相等：$b^2=1$，解得$b=1$或$b=-1$
2. 一次项系数对应相等：$-a=-4b$，化简得$a=4b$
分两种情况计算$ab$：
① 当$b=1$时，$a=4×1=4$，$ab=4×1=4$
② 当$b=-1$时，$a=4×(-1)=-4$，$ab=(-4)×(-1)=4$
综上，$ab$的值为4。
【答案】
4
【知识点】
完全平方公式；多项式相等的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查完全平方公式的应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应项系数相等建立等量关系求解，计算时注意b的取值有两种情况，本题两种情况计算结果一致。
【难度系数】
0.75

4.已知$x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 = 0$，$x,y$为实数，则$x^y = \underline{\hspace{5cm}}$。

$-8$

【分析】
观察已知等式的结构，包含x、y的二次项、一次项和常数项，我们可以用配方法将等式变形为两个完全平方式相加的形式。再根据偶次幂的非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自为0，即可求出x、y的值，最后代入$x^y$计算即可得到结果。
【解析】
对已知等式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 + 4x - 6y + 13 &= 0\\(x^2+4x+4)+(y^2-6y+9)&=0\\(x+2)^2 + (y-3)^2 &=0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(x+2)^2≥0$，$(y-3)^2≥0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$x+2=0$，解得$x=-2$；
$y-3=0$，解得$y=3$。
将$x=-2$，$y=3$代入$x^y$得：
$x^y=(-2)^3=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；有理数的乘方
【点评】
本题是配方法与非负数性质结合的常规题型，解题核心是正确拆分常数项完成配方，计算时要注意负数奇次幂的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7

5.把方程$x^2 + \frac{2}{5}x - \frac{3}{5} = 0$配方变形得$x^2 + \frac{2}{5}x + m = \frac{3}{5} + m$，其中等式的左边是完全平方式，则$m =$.

5. $\frac{1}{25}$

【分析】
要解决本题，首先回忆完全平方公式的结构和配方法的基本规则：对于形如$x^2+bx$的二次二项式，要将其配成完全平方式，需要添加的常数项是一次项系数$b$一半的平方，即$(\frac{b}{2})^2$。本题中等式左边$x^2+\frac{2}{5}x+m$要成为完全平方式，$m$就等于一次项系数$\frac{2}{5}$的一半的平方，按照该规则计算即可得到$m$的取值。
【解析】
根据配方法的规则，对$x^2+bx$配方时需添加的常数项为$(\frac{b}{2})^2$。
本题中一次项系数$b=\frac{2}{5}$，因此：
$m=(\frac{\frac{2}{5}}{2})^2=(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}$
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
完全平方公式，配方法
【点评】
本题考查配方法中常数项的确定，解题核心是牢记“配方时需添加一次项系数一半的平方”这一规则，是配方法的基础考点。
【难度系数】
0.85

6.将一元二次方程$x^2 - 2x - 4 = 0$化成$(x+a)^2 = b$的形式为，所以这个方程的根为。

6. $(x-1)^2 = 5$，$1\pm\sqrt{5}$

【分析】
本题考查用配方法将一元二次方程转化为$(x+a)^2 = b$的形式再求根，解题思路如下：第一步先移项，把方程的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；第二步配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，即可得到目标形式；第三步对配方后的方程直接开平方，移项后即可求出方程的根。
【解析】
解：①移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 - 2x = 4$
②配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(\frac{-2}{2})^2=1$，给等号两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
左侧根据完全平方公式整理得：
$(x - 1)^2 = 5$
③对上述方程两边直接开平方：
$x - 1 = \pm\sqrt{5}$
移项得方程的根：
$x = 1\pm\sqrt{5}$
【答案】
$(x-1)^2 = 5$；$1\pm\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题属于配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，熟练掌握移项、配方的操作规则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

7.用配方法解下列方程，在方程左右两边同时加上4，配方不成立的是……【 】

A.$4x^2 - 8x = 3$
B.$2x^2 - 4x = 4$
C.$x^2 + 4x = 5$
D.$x^2 + 2x - 3 = 0$

B

【分析】
要解决这道题，首先要明确配方法的核心规则：将一元二次方程整理为“二次项和一次项在等号左侧、常数项在等号右侧”的形式后，若二次项系数不为1，需先将二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将左侧配成完全平方式。我们只需逐个验证每个选项两边同时加4后，左侧能否构成完全平方式，即可找到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 方程$4x^2 - 8x = 3$，两边同时加4：
左边$=4x^2 - 8x + 4 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4(x-1)^2$，是完全平方式，配方成立，不符合题意。
B. 方程$2x^2 - 4x = 4$，两边同时加4：
左边$=2x^2 - 4x + 4 = 2(x^2 - 2x + 2)$，$x^2 - 2x + 2$无法写成完全平方的形式，配方不成立，符合题意。
C. 方程$x^2 + 4x = 5$，两边同时加4：
左边$=x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$，是完全平方式，配方成立，不符合题意。
D. 方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，两边同时加4：
左边$=x^2 + 2x - 3 + 4 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，是完全平方式，配方成立，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题重点考查配方法的正确应用，易错点是当二次项系数不为1时，直接按原方程的一次项系数计算需要添加的常数，忽略先将二次项系数化为1的步骤，解题时要注意完全平方式的二次项系数为1的特征。
【难度系数】
0.65

8.把方程$2x^2 -4x -1=0$化为$(x+m)^2 =n$的形式，则$m,n$的值是…………【 】

A.$m=-1,n=\dfrac{3}{2}$
B.$m=-2,n=\dfrac{3}{2}$
C.$m=-1,n=4$
D.$m=-2,n=5$

A

【分析】
本题要求将一元二次方程转化为$(x+m)^2=n$的形式，需使用配方法求解。解题思路如下：首先将方程的二次项系数化为1，再把常数项移到等号右侧，然后在等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配方为完全平方形式，最后对比形式即可得到$m$、$n$的值。
【解析】
解：对于方程$2x^2 -4x -1=0$，
1. 化二次项系数为1：两边同时除以2，得$x^2 - 2x - \dfrac{1}{2}=0$；
2. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 2x = \dfrac{1}{2}$；
3. 配方：一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，两边同时加1，得$x^2 - 2x +1 = \dfrac{1}{2} +1$；
4. 整理为完全平方形式：左侧写成平方形式，右侧计算结果，得$(x-1)^2 = \dfrac{3}{2}$，即$(x+(-1))^2 = \dfrac{3}{2}$，因此$m=-1$，$n=\dfrac{3}{2}$。
综上本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是掌握配方法的操作步骤，需注意必须先把二次项系数化为1再进行配方，计算时要注意常数项移项的符号变化，以及配方时等号两边需同时加相同的数，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

9.下列各等式的配方变形中,配方错误的是…………………………【 】

A.$x^2 - 2x - 3 = 0$变为$(x - 1)^2 = 4$
B.$x^2 + 8x - 9 = 0$变为$(x + 4)^2 = 25$
C.$2x^2 - 7x = 4$变为$(x + \frac{7}{4})^2 = \frac{81}{16}$
D.$3x^2 + 4x = 2$变为$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{10}{9}$

C

【分析】
本题考查配方法对一元二次方程的变形，解题思路是逐一验证每个选项的配方过程是否正确。配方法的标准步骤为：①若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；②将常数项移到等号右侧；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④将等号左侧整理为完全平方形式，计算右侧常数项结果，再和选项对比即可找到错误项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
A选项：$x^2 - 2x - 3 = 0$，移项得$x^2 - 2x = 3$，两边加一次项系数一半的平方$(-1)^2=1$，得$x^2 -2x +1 = 3+1$，即$(x-1)^2=4$，变形正确，不符合题意。
B选项：$x^2 + 8x - 9 = 0$，移项得$x^2 +8x=9$，两边加一次项系数一半的平方$4^2=16$，得$x^2 +8x +16=9+16$，即$(x+4)^2=25$，变形正确，不符合题意。
C选项：$2x^2 -7x =4$，先将二次项系数化为1，两边除以2得$x^2 - \frac{7}{2}x = 2$，两边加一次项系数一半的平方$(-\frac{7}{4})^2=\frac{49}{16}$，得$x^2 - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$，整理得$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{81}{16}$，选项中完全平方式的符号错误，变形错误，符合题意。
D选项：$3x^2 +4x=2$，先将二次项系数化为1，两边除以3得$x^2 + \frac{4}{3}x = \frac{2}{3}$，两边加一次项系数一半的平方$(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$，得$x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}$，整理得$(x+\frac{2}{3})^2=\frac{10}{9}$，变形正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题，解题的关键是严格遵循配方法的步骤，尤其要注意二次项系数不为1时先化系数为1，同时留意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【难度系数】
0.7

10.无论$x,y$为任何实数，代数式$x^2 + y^2 +2x -4y +2$的值 ……………………【 】

A.不小于$-2$
B.不小于$-3$
C.可为任何实数
D.只能为负数

B

【分析】
遇到含有两个变量的二次代数式求取值范围的问题，可先通过分组，分别对含x的项和含y的项进行配方，将代数式转化为几个完全平方式加常数的形式，再利用完全平方的非负性求出代数式的取值范围，即可判断正确选项。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 +2x -4y +2&=(x^2+2x)+(y^2-4y)+2\\&=(x^2+2x+1 -1)+(y^2-4y+4 -4)+2\\&=(x+1)^2 -1 + (y-2)^2 -4 +2\\&=(x+1)^2 + (y-2)^2 -3\end{aligned}$
因为无论x、y取任何实数，都有$(x+1)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，因此可得：
$(x+1)^2 + (y-2)^2 -3 ≥ 0 + 0 -3 = -3$
即该代数式的值不小于-3。
【答案】
B
【知识点】
配方法，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题是配方法的典型应用，解题核心是通过分组配方将原式转化为非负数与常数的和的形式，再结合非负性判断取值范围，是二次式相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

11.已知方程$x^2 -6x + q=0$配方后得到$(x-p)^2=7$，那么方程$x^2 +6x + q=0$配方后是………………………………【 】

A.$(x-p)^2=5$
B.$(x+p)^2=5$
C.$(x-p)^2=9$
D.$(x+p)^2=7$

D

【分析】
解题时首先从已知的配方结果入手，可通过展开配方后的方程，与原一元二次方程对比系数求出p和q的值；再将q代入待配方的方程，按照配方法的步骤变形，最后结合p的值匹配选项即可。
【解析】
1. 求参数p、q的值：
将$(x-p)^2=7$展开整理得：$x^2 - 2px + p^2 - 7 = 0$，
该方程与$x^2 -6x + q=0$是同一个方程，对应项系数相等：
一次项系数：$-2p = -6$，解得$p=3$；
常数项：$p^2 - 7 = q$，代入$p=3$得$q=9-7=2$。
2. 对$x^2 +6x + q=0$配方：
把$q=2$代入得方程$x^2 +6x + 2 = 0$，
移项得：$x^2 +6x = -2$，
两边加一次项系数一半的平方$(\frac{6}{2})^2=9$，得：
$x^2 +6x +9 = -2 +9$，
即$(x+3)^2=7$，
结合$p=3$，可写为$(x+p)^2=7$。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，方程系数对应关系，完全平方公式
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，解题关键是利用已知条件求出未知参数，再按配方法的标准步骤变形即可，掌握配方法的基本操作是做对这类题的基础。
【难度系数】
0.7

12. 用配方法解方程.
(1) $x^2 + 4x - 1 = 0$.
(2) $x^2 - 8x = 20$.
(3) $2x^2 - 4x - 1 = 0$.
(4) $x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0$.
(5) $2x^2 - 5 = 3x$.
(6) $(x + 1)(x - 1) = 2\sqrt{2}x$.

12. (1) $(x+2)^2 = 5$，$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{5}$.
(2) $(x-4)^2 = 36$，$x_1 = 10,x_2 = -2$.
(3) $(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，$x_{1,2} = 1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.
(4) $(x-\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$，$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{3}$.
(5) $(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{49}{16}$，$x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -1$.
(6) $(x-\sqrt{2})^2 = 3$，$x_{1,2} = \sqrt{2}\pm\sqrt{3}$.

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解，通用解题思路如下：①若二次项系数不为1，先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；②移项，将含未知数的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧；③配方，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方得到两个一元一次方程；⑤解一元一次方程得到原方程的根，所有小题均按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x^2+4x=1$，
配方，两边加$2^2=4$：$x^2+4x+4=1+4$，即$(x+2)^2=5$，
开平方得：$x+2=\pm\sqrt{5}$，
解得：$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{5}$。
(2) 配方，两边加$(-4)^2=16$：$x^2-8x+16=20+16$，即$(x-4)^2=36$，
开平方得：$x-4=\pm6$，
解得：$x_1=4+6=10$，$x_2=4-6=-2$。
(3) 二次项系数化为1，两边除以2：$x^2-2x-\frac{1}{2}=0$，
移项得：$x^2-2x=\frac{1}{2}$，
配方，两边加$(-1)^2=1$：$x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1$，即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$，
开平方得：$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，
解得：$x_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$。
(4) 移项得：$x^2-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$，
配方，两边加$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$：$x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$，即$(x-\frac{1}{3})^2=\frac{4}{9}$，
开平方得：$x-\frac{1}{3}=\pm\frac{2}{3}$，
解得：$x_1=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$，$x_2=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$。
(5) 整理方程得：$2x^2-3x-5=0$，
二次项系数化为1，两边除以2：$x^2-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}=0$，
移项得：$x^2-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$，
配方，两边加$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$：$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$，即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{49}{16}$，
开平方得：$x-\frac{3}{4}=\pm\frac{7}{4}$，
解得：$x_1=\frac{3}{4}+\frac{7}{4}=\frac{5}{2}$，$x_2=\frac{3}{4}-\frac{7}{4}=-1$。
(6) 展开并整理方程得：$x^2-2\sqrt{2}x=1$，
配方，两边加$(-\sqrt{2})^2=2$：$x^2-2\sqrt{2}x+2=1+2$，即$(x-\sqrt{2})^2=3$，
开平方得：$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{3}$，
解得：$x_{1,2}=\sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $(x+2)^2 = 5$，$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{5}$；
(2) $(x-4)^2 = 36$，$x_1 = 10,x_2 = -2$；
(3) $(x-1)^2 = \frac{3}{2}$，$x_{1,2} = 1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$；
(4) $(x-\frac{1}{3})^2 = \frac{4}{9}$，$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{3}$；
(5) $(x-\frac{3}{4})^2 = \frac{49}{16}$，$x_1 = \frac{5}{2},x_2 = -1$；
(6) $(x-\sqrt{2})^2 = 3$，$x_{1,2} = \sqrt{2}\pm\sqrt{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础训练，涵盖了二次项系数为1、二次项系数不为1、需要先整理化简方程的多种典型题型，解题时要注意配方时需给等式两边同时加一次项系数一半的平方，开平方时不要遗漏负根，熟练掌握配方法步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7