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12.(1)小明解方程$(x + 2)(x + 1) = 12$时,发现$(x + 2)$与$(x + 1)$的差是1,且12又可分解成$4×3$或$(-3)×(-4)$,显然4与3、$-3$与$-4$的差也是1,于是小明采用如下的方法来解这个方程:
由于$12 = 4×3 = (-3)×(-4)$,
所以$x + 2 = 4$, $x + 1 = 3$,
或 $x + 2 = -3$, $x + 1 = -4$.
即 $x = 2$或$x = -5$.
(2)你认为小明的方法正确吗?请你用相同的方法来解下面的方程,给予验证.
①$a^2 - a = 6$.
②$y^2 - 3y = -2$.
由于$12 = 4×3 = (-3)×(-4)$,
所以$x + 2 = 4$, $x + 1 = 3$,
或 $x + 2 = -3$, $x + 1 = -4$.
即 $x = 2$或$x = -5$.
(2)你认为小明的方法正确吗?请你用相同的方法来解下面的方程,给予验证.
①$a^2 - a = 6$.
②$y^2 - 3y = -2$.
答案
12. (2) 小明的方法正确.
解:① 方程左边分解因式,得 $a(a - 1) = 6$.
由于$6 = 3×2 = (-2)×(-3)$,
$\therefore a = 3,a - 1 = 2$;
或 $a = -2,a - 1 = -3$.
即 $a = 3$,或 $a = -2$.
② 方程左边分解因式,得 $y(y - 3) = -2$.
由于$-2 = 2×(-1) = 1×(-2)$,
$\therefore y = 2,y - 3 = -1$;
或 $y = 1,y - 3 = -2$.
即 $y = 2$,或 $y = 1$.
解:① 方程左边分解因式,得 $a(a - 1) = 6$.
由于$6 = 3×2 = (-2)×(-3)$,
$\therefore a = 3,a - 1 = 2$;
或 $a = -2,a - 1 = -3$.
即 $a = 3$,或 $a = -2$.
② 方程左边分解因式,得 $y(y - 3) = -2$.
由于$-2 = 2×(-1) = 1×(-2)$,
$\therefore y = 2,y - 3 = -1$;
或 $y = 1,y - 3 = -2$.
即 $y = 2$,或 $y = 1$.
解析
【分析】
首先判断小明的解法正确性：小明的解法是针对两个差值固定的代数式乘积为常数的特殊一元二次方程的简便解法，逻辑成立，解法正确。解题思路如下：1. 先将待解方程左边变形为两个差值固定的代数式相乘的形式，确定两个代数式的差；2. 将方程右边的常数拆分为若干组两个因数相乘的形式，且每组两个因数的差与左边两个代数式的差相等；3. 令左边两个代数式分别对应每组的两个因数，列一元一次方程求解，即可得到原方程的根。
【解析】
小明的方法正确，验证如下：
① 先将方程$a^2 - a = 6$左边因式分解，得$a(a - 1) = 6$。
观察可知$a$与$a-1$的差为1，将右边的6拆分为差为1的因数对：$6=3×2=(-2)×(-3)$。
因此可列两组方程：
$\begin{cases}a=3 \\ a-1=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-2 \\ a-1=-3\end{cases}$
解得$a=3$或$a=-2$。
② 先将方程$y^2 - 3y = -2$左边因式分解，得$y(y - 3) = -2$。
观察可知$y$与$y-3$的差为3，将右边的-2拆分为差为3的因数对：$-2=2×(-1)=1×(-2)$。
因此可列两组方程：
$\begin{cases}y=2 \\ y-3=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}y=1 \\ y-3=-2\end{cases}$
解得$y=2$或$y=1$。
【答案】
小明的方法正确；①$a=3$或$a=-2$；②$y=2$或$y=1$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解；有理数因数拆分
【点评】
这种解法是特殊结构一元二次方程的简便解法，解题时需先观察方程左边两个因式的差值，再将右边常数拆分为对应差值的因数对，对应列方程求解即可，比常规解法更高效，求解时要注意不要漏写负因数对应的解。
【难度系数】
0.7
首先判断小明的解法正确性：小明的解法是针对两个差值固定的代数式乘积为常数的特殊一元二次方程的简便解法，逻辑成立，解法正确。解题思路如下：1. 先将待解方程左边变形为两个差值固定的代数式相乘的形式，确定两个代数式的差；2. 将方程右边的常数拆分为若干组两个因数相乘的形式，且每组两个因数的差与左边两个代数式的差相等；3. 令左边两个代数式分别对应每组的两个因数，列一元一次方程求解，即可得到原方程的根。
【解析】
小明的方法正确，验证如下：
① 先将方程$a^2 - a = 6$左边因式分解，得$a(a - 1) = 6$。
观察可知$a$与$a-1$的差为1，将右边的6拆分为差为1的因数对：$6=3×2=(-2)×(-3)$。
因此可列两组方程：
$\begin{cases}a=3 \\ a-1=2\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-2 \\ a-1=-3\end{cases}$
解得$a=3$或$a=-2$。
② 先将方程$y^2 - 3y = -2$左边因式分解，得$y(y - 3) = -2$。
观察可知$y$与$y-3$的差为3，将右边的-2拆分为差为3的因数对：$-2=2×(-1)=1×(-2)$。
因此可列两组方程：
$\begin{cases}y=2 \\ y-3=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}y=1 \\ y-3=-2\end{cases}$
解得$y=2$或$y=1$。
【答案】
小明的方法正确；①$a=3$或$a=-2$；②$y=2$或$y=1$
【知识点】
因式分解法解方程；一元二次方程求解；有理数因数拆分
【点评】
这种解法是特殊结构一元二次方程的简便解法，解题时需先观察方程左边两个因式的差值，再将右边常数拆分为对应差值的因数对，对应列方程求解即可，比常规解法更高效，求解时要注意不要漏写负因数对应的解。
【难度系数】
0.7
13.解方程：$x^2 - 2|x| - 8 = 0.$
解:当$x ≥ 0$时,原方程化为
$x^2 - 2x - 8 = 0.$
即$(x - 4)(x + 2) = 0.$
解得 $x_1 = 4, x_2 = -2$(舍去).
当$x ＜ 0$时,原方程化为
$x^2 + 2x - 8 = 0.$
即$(x + 4)(x - 2) = 0.$
解得 $x_3 = -4, x_4 = 2$(舍去).
$\therefore$ 原方程的根是 $x_1 = 4, x_3 = -4.$
模仿上述方法,解方程
$x^2 - |x - 10| - 10 = 0.$
解:当$x ≥ 0$时,原方程化为
$x^2 - 2x - 8 = 0.$
即$(x - 4)(x + 2) = 0.$
解得 $x_1 = 4, x_2 = -2$(舍去).
当$x ＜ 0$时,原方程化为
$x^2 + 2x - 8 = 0.$
即$(x + 4)(x - 2) = 0.$
解得 $x_3 = -4, x_4 = 2$(舍去).
$\therefore$ 原方程的根是 $x_1 = 4, x_3 = -4.$
模仿上述方法,解方程
$x^2 - |x - 10| - 10 = 0.$
答案
13. 提示:当 $x ≥ 10$ 时,原方程化为 $x^2 - x = 0$.
解得 $x_1 = 0$(舍去), $x_2 = 1$(舍去).
当 $x ＜ 10$ 时,原方程化为 $x^2 + x - 20 = 0$.
即 $(x - 4)(x + 5) = 0$.
解这个方程,得 $x_3 = 4, x_4 = -5$.
$\therefore$ 原方程的根是 $x_3 = 4, x_4 = -5$.
解得 $x_1 = 0$(舍去), $x_2 = 1$(舍去).
当 $x ＜ 10$ 时,原方程化为 $x^2 + x - 20 = 0$.
即 $(x - 4)(x + 5) = 0$.
解这个方程,得 $x_3 = 4, x_4 = -5$.
$\therefore$ 原方程的根是 $x_3 = 4, x_4 = -5$.
解析
【分析】
本题是含绝对值的一元二次方程，解题核心是通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式为0的分界点x=10，将x的取值范围分为x≥10和x＜10两类；针对每一类去掉绝对值后化简方程，用因式分解法求解一元二次方程；最后检验解得的根是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的根，汇总得到原方程的解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$x ≥ 10$时，$|x-10|=x-10$，原方程化为：
$x^2 - (x-10) - 10 = 0$
整理得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 1$
$\because 0＜10$，$1＜10$，均不符合$x≥10$的前提，故两个根都舍去。
② 当$x ＜ 10$时，$|x-10|=10-x$，原方程化为：
$x^2 - (10 - x) - 10 = 0$
整理得：$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x + 5) = 0$
解得 $x_3 = 4$，$x_4 = -5$
$\because 4＜10$，$-5＜10$，均符合$x＜10$的前提，故两个根都有效。
【答案】
$x_1=4, x_2=-5$
【知识点】
绝对值方程求解；因式分解法解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值的方程求解，解题的关键是找准分界点正确分类，去掉绝对值符号转化为常规一元二次方程求解，同时要注意对解得的根进行检验，排除不符合取值范围的增根。
【难度系数】
0.65
本题是含绝对值的一元二次方程，解题核心是通过分类讨论去掉绝对值符号，转化为普通一元二次方程求解。首先找到绝对值内表达式为0的分界点x=10，将x的取值范围分为x≥10和x＜10两类；针对每一类去掉绝对值后化简方程，用因式分解法求解一元二次方程；最后检验解得的根是否符合对应分类的取值范围，舍去不符合的根，汇总得到原方程的解。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当$x ≥ 10$时，$|x-10|=x-10$，原方程化为：
$x^2 - (x-10) - 10 = 0$
整理得：$x^2 - x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 1$
$\because 0＜10$，$1＜10$，均不符合$x≥10$的前提，故两个根都舍去。
② 当$x ＜ 10$时，$|x-10|=10-x$，原方程化为：
$x^2 - (10 - x) - 10 = 0$
整理得：$x^2 + x - 20 = 0$
因式分解得：$(x - 4)(x + 5) = 0$
解得 $x_3 = 4$，$x_4 = -5$
$\because 4＜10$，$-5＜10$，均符合$x＜10$的前提，故两个根都有效。
【答案】
$x_1=4, x_2=-5$
【知识点】
绝对值方程求解；因式分解法解一元二次方程；分类讨论思想
【点评】
本题考查含绝对值的方程求解，解题的关键是找准分界点正确分类，去掉绝对值符号转化为常规一元二次方程求解，同时要注意对解得的根进行检验，排除不符合取值范围的增根。
【难度系数】
0.65
14.(1) 解下列一元二次方程：
①$x^2 - 1 = 0$.
②$x^2 + x - 2 = 0$.
③$x^2 - 3x + 2 = 0$.
④$x^2 - 4x + 3 = 0$.
(2) 根据上面方程和根的特点猜想方程$x^2 - (q + 1)x + q = 0$的根.
(3) 请指出上述方程及其根具有什么共同特点,写出你发现的规律.
①$x^2 - 1 = 0$.
②$x^2 + x - 2 = 0$.
③$x^2 - 3x + 2 = 0$.
④$x^2 - 4x + 3 = 0$.
(2) 根据上面方程和根的特点猜想方程$x^2 - (q + 1)x + q = 0$的根.
(3) 请指出上述方程及其根具有什么共同特点,写出你发现的规律.
答案
14. (1)① $-1,1$；② $-2,1$；③$2,1$；④$3,1$.
(2)$q,1$.
(3) 在一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 中, 若 $p + q = -1$, 则方程的两个根为 $q$ 和 $1$；
在一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 中, 若各项系数和为 0, 则一定有一个根为 1.
(2)$q,1$.
(3) 在一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 中, 若 $p + q = -1$, 则方程的两个根为 $q$ 和 $1$；
在一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 中, 若各项系数和为 0, 则一定有一个根为 1.
解析
【分析】
解题思路分为三步：1. 求解(1)中的4个一元二次方程，均适用因式分解法（平方差公式或十字相乘法），快速得到各方程的根；2. 观察(1)中方程的系数、根的共性，可发现所有方程都有一个根为1，另一个根等于方程的常数项，据此可猜想(2)中方程的根，也可通过因式分解验证猜想；3. 从特殊方程推广到一般形式，结合根的定义（若x=1代入方程左边结果为0，则x=1是方程的根），总结出系数和为0时方程必有根1的通用规律。
【解析】
(1) 用因式分解法求解各方程：
① $x^2 - 1 = 0$
由平方差公式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
可得$x+1=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-1, x_2=1$
② $x^2 + x - 2 = 0$
十字相乘分解得：$(x+2)(x-1)=0$
可得$x+2=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-2, x_2=1$
③ $x^2 - 3x + 2 = 0$
十字相乘分解得：$(x-1)(x-2)=0$
可得$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1, x_2=2$
④ $x^2 - 4x + 3 = 0$
十字相乘分解得：$(x-1)(x-3)=0$
可得$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1, x_2=3$
(2) 观察(1)中4个方程的根，均含根1，且另一个根等于方程的常数项；对$x^2 - (q+1)x + q=0$因式分解：
$x^2 - (q+1)x + q=(x-1)(x-q)=0$
解得$x_1=1, x_2=q$，即方程的根为$1,q$
(3) 共同特点：上述所有方程都有一个根为1，将x=1代入各方程左边，均满足左边=0，即各项系数之和为0。
规律：① 对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，若$1+p+q=0$（即$p+q=-1$），则方程的两个根为$1$和$q$；② 对于一般形式的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若各项系数之和$a+b+c=0$，则方程一定有一个根为$1$。
【答案】
(1)① $-1,1$；② $-2,1$；③$2,1$；④$3,1$.
(2)$q,1$.
(3) 在一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 中, 若 $p + q = -1$, 则方程的两个根为 $q$ 和 $1$；
在一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 中, 若各项系数和为 0, 则一定有一个根为 1.
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 一元二次方程根的定义
3. 系数与根的关系
【点评】
本题从具体的一元二次方程求解出发，引导学生观察归纳方程根与系数的共性，既考查了一元二次方程的基本解法，也锻炼了从特殊到一般的逻辑推理能力，是兼顾基础和探究性的典型习题。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：1. 求解(1)中的4个一元二次方程，均适用因式分解法（平方差公式或十字相乘法），快速得到各方程的根；2. 观察(1)中方程的系数、根的共性，可发现所有方程都有一个根为1，另一个根等于方程的常数项，据此可猜想(2)中方程的根，也可通过因式分解验证猜想；3. 从特殊方程推广到一般形式，结合根的定义（若x=1代入方程左边结果为0，则x=1是方程的根），总结出系数和为0时方程必有根1的通用规律。
【解析】
(1) 用因式分解法求解各方程：
① $x^2 - 1 = 0$
由平方差公式分解得：$(x+1)(x-1)=0$
可得$x+1=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-1, x_2=1$
② $x^2 + x - 2 = 0$
十字相乘分解得：$(x+2)(x-1)=0$
可得$x+2=0$或$x-1=0$，解得$x_1=-2, x_2=1$
③ $x^2 - 3x + 2 = 0$
十字相乘分解得：$(x-1)(x-2)=0$
可得$x-1=0$或$x-2=0$，解得$x_1=1, x_2=2$
④ $x^2 - 4x + 3 = 0$
十字相乘分解得：$(x-1)(x-3)=0$
可得$x-1=0$或$x-3=0$，解得$x_1=1, x_2=3$
(2) 观察(1)中4个方程的根，均含根1，且另一个根等于方程的常数项；对$x^2 - (q+1)x + q=0$因式分解：
$x^2 - (q+1)x + q=(x-1)(x-q)=0$
解得$x_1=1, x_2=q$，即方程的根为$1,q$
(3) 共同特点：上述所有方程都有一个根为1，将x=1代入各方程左边，均满足左边=0，即各项系数之和为0。
规律：① 对于一元二次方程$x^2 + px + q = 0$，若$1+p+q=0$（即$p+q=-1$），则方程的两个根为$1$和$q$；② 对于一般形式的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，若各项系数之和$a+b+c=0$，则方程一定有一个根为$1$。
【答案】
(1)① $-1,1$；② $-2,1$；③$2,1$；④$3,1$.
(2)$q,1$.
(3) 在一元二次方程 $x^2 + px + q = 0$ 中, 若 $p + q = -1$, 则方程的两个根为 $q$ 和 $1$；
在一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)$ 中, 若各项系数和为 0, 则一定有一个根为 1.
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 一元二次方程根的定义
3. 系数与根的关系
【点评】
本题从具体的一元二次方程求解出发，引导学生观察归纳方程根与系数的共性，既考查了一元二次方程的基本解法，也锻炼了从特殊到一般的逻辑推理能力，是兼顾基础和探究性的典型习题。
【难度系数】
0.8
