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11. 用公式法解方程：
(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 2x - 3 = 0$.
(3) $(x + 3)(x - 1) = 5$.
(4) $\sqrt{2}y^2 + 4\sqrt{3}y = 2\sqrt{2}$.
(5) $(m - 1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$.
(1) $x^2 + 3x + 1 = 0$.
(2) $2x^2 + 2x - 3 = 0$.
(3) $(x + 3)(x - 1) = 5$.
(4) $\sqrt{2}y^2 + 4\sqrt{3}y = 2\sqrt{2}$.
(5) $(m - 1)x^2 - 2mx + m + 1 = 0$.
答案
11. (1) $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$.
(2) $x_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$.
(3) $x_1 = -4,\ x_2 = 2$.
(4) $y_{1,2} = -\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$.
(5) $x_1 = 1,\ x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}$.
(2) $x_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$.
(3) $x_1 = -4,\ x_2 = 2$.
(4) $y_{1,2} = -\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$.
(5) $x_1 = 1,\ x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，最后化简为最简形式即可。遇到含参数的一元二次方程，要注意二次项系数不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x + 1 = 0$已是一般式，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
判别式$\Delta=3^2-4×1×1=9-4=5＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，即$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$2x^2 + 2x - 3 = 0$已是一般式，其中$a=2$，$b=2$，$c=-3$。
判别式$\Delta=2^2-4×2×(-3)=4+24=28＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{4}$，化简得$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$。
(3) 先展开整理原方程：$(x+3)(x-1)=5$，即$x^2+2x-3=5$，移项得一般式$x^2+2x-8=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-8$。
判别式$\Delta=2^2-4×1×(-8)=4+32=36＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-2\pm6}{2}$，
计算得$x_1=\frac{-2+6}{2}=2$，$x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$。
(4) 移项整理为一般式：$\sqrt{2}y^2 + 4\sqrt{3}y - 2\sqrt{2}=0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$。
判别式$\Delta=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48+16=64＞0$，
代入求根公式得$y=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}$，
分子分母同乘$\sqrt{2}$化简得$y_{1,2}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$。
(5) 本题为一元二次方程，故二次项系数$m-1≠0$即$m≠1$，方程已是一般式，其中$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$。
判别式$\Delta=(-2m)^2-4×(m-1)×(m+1)=4m^2-4(m^2-1)=4＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}=\frac{2m\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$，
计算得$x_1=\frac{m-1}{m-1}=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$
(3) $x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(4) $y_{1,2} = -\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(5) $x_1 = 1,\ x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程化简
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的规范步骤，解题时需注意先将方程转化为标准一般式，确定$a,b,c$时要注意符号，计算判别式要避免运算错误，含根式的结果要化为最简二次根式，含参数的方程要注意二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：若$\Delta≥0$，方程有两个实数根，若$\Delta＜0$，方程无实数根；③若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算结果，最后化简为最简形式即可。遇到含参数的一元二次方程，要注意二次项系数不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 方程$x^2 + 3x + 1 = 0$已是一般式，其中$a=1$，$b=3$，$c=1$。
判别式$\Delta=3^2-4×1×1=9-4=5＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2×1}$，即$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$。
(2) 方程$2x^2 + 2x - 3 = 0$已是一般式，其中$a=2$，$b=2$，$c=-3$。
判别式$\Delta=2^2-4×2×(-3)=4+24=28＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{28}}{2×2}=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{4}$，化简得$x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$。
(3) 先展开整理原方程：$(x+3)(x-1)=5$，即$x^2+2x-3=5$，移项得一般式$x^2+2x-8=0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=-8$。
判别式$\Delta=2^2-4×1×(-8)=4+32=36＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{-2\pm\sqrt{36}}{2×1}=\frac{-2\pm6}{2}$，
计算得$x_1=\frac{-2+6}{2}=2$，$x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$。
(4) 移项整理为一般式：$\sqrt{2}y^2 + 4\sqrt{3}y - 2\sqrt{2}=0$，其中$a=\sqrt{2}$，$b=4\sqrt{3}$，$c=-2\sqrt{2}$。
判别式$\Delta=(4\sqrt{3})^2-4×\sqrt{2}×(-2\sqrt{2})=48+16=64＞0$，
代入求根公式得$y=\frac{-4\sqrt{3}\pm\sqrt{64}}{2×\sqrt{2}}=\frac{-4\sqrt{3}\pm8}{2\sqrt{2}}$，
分子分母同乘$\sqrt{2}$化简得$y_{1,2}=-\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$。
(5) 本题为一元二次方程，故二次项系数$m-1≠0$即$m≠1$，方程已是一般式，其中$a=m-1$，$b=-2m$，$c=m+1$。
判别式$\Delta=(-2m)^2-4×(m-1)×(m+1)=4m^2-4(m^2-1)=4＞0$，
代入求根公式得$x=\frac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}=\frac{2m\pm2}{2(m-1)}=\frac{m\pm1}{m-1}$，
计算得$x_1=\frac{m-1}{m-1}=1$，$x_2=\frac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) $x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$
(2) $x_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$
(3) $x_1 = -4,\ x_2 = 2$
(4) $y_{1,2} = -\sqrt{6}\pm2\sqrt{2}$
(5) $x_1 = 1,\ x_2 = \frac{m + 1}{m - 1}$
【知识点】
公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程化简
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的规范步骤，解题时需注意先将方程转化为标准一般式，确定$a,b,c$时要注意符号，计算判别式要避免运算错误，含根式的结果要化为最简二次根式，含参数的方程要注意二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.7
12.图2-1-1是一个正方体的表面展开图，标注了字母A的面是正方体的正面。如果正方体的左面和右面所标注的代数式的值相等，求x的值。
答案
12. 提示:依题意可得方程$x^2 = 3x - 1$,
即 $x^2 - 3x + 1 = 0$.
解这个方程,得 $x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.
即 $x^2 - 3x + 1 = 0$.
解这个方程,得 $x = \frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$.
解析
【分析】
解决本题需要分两步思考：第一步先利用正方体表面展开图的相对面规律确定左右面对应的代数式：正方体展开图中相对的面不相邻，同行或同列间隔一个正方形的面为相对面，已知A为正面，可判断出左、右面对应的代数式分别为$x^2$和$3x-1$；第二步根据“左面和右面值相等”的条件列方程，再用公式法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
解：根据正方体表面展开图相对面的特征，结合A为正面，可得左右面标注的代数式分别为$x^2$和$3x-1$。
依题意列方程：
$x^2 = 3x - 1$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 3x + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5＞0$
代入求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、公式法解一元二次方程、列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再正确运用一元二次方程求根公式计算，既考察学生的空间想象能力，也考察一元二次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需要分两步思考：第一步先利用正方体表面展开图的相对面规律确定左右面对应的代数式：正方体展开图中相对的面不相邻，同行或同列间隔一个正方形的面为相对面，已知A为正面，可判断出左、右面对应的代数式分别为$x^2$和$3x-1$；第二步根据“左面和右面值相等”的条件列方程，再用公式法求解一元二次方程即可得到x的值。
【解析】
解：根据正方体表面展开图相对面的特征，结合A为正面，可得左右面标注的代数式分别为$x^2$和$3x-1$。
依题意列方程：
$x^2 = 3x - 1$
整理为一元二次方程一般形式：
$x^2 - 3x + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=-3$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×1 = 5＞0$
代入求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
【答案】
$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
正方体展开图相对面判断、公式法解一元二次方程、列方程解应用题
【点评】
本题属于几何与代数结合的基础综合题，解题核心是准确识别正方体展开图的相对面，再正确运用一元二次方程求根公式计算，既考察学生的空间想象能力，也考察一元二次方程的计算能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图2-1-2,在$△ ABC$中,$AC ⊥ BC$,$BC = a$,$AC = b$,在$AB$上取$BD = a$,试判断一元二次方程$x^2 + 2ax = b^2$的一个正根是哪条线段的长度.
答案
13. 提示:方程的一个正根是 $AD = \sqrt{a^2 + b^2} - a$.
解析
【分析】
解题思路分为两部分：首先处理几何部分，已知△ABC是直角三角形，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合BD=a的条件求出AD的长度表达式；其次处理代数部分，用公式法求解给定的一元二次方程，筛选出正根；最后将正根的表达式和线段长度表达式对比，即可得出对应关系。
【解析】
1. 计算线段AD的长度：
∵ $AC ⊥ BC$，
∴ $△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$
根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
已知$BD=a$，因此$AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$
2. 解一元二次方程$x^2 + 2ax = b^2$：
先将方程整理为标准形式：$x^2 + 2ax - b^2 = 0$
其中二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$-b^2$
计算判别式：$\Delta=(2a)^2-4×1×(-b^2)=4a^2+4b^2=4(a^2+b^2)＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4(a^2+b^2)}}{2×1}=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$
需求正根，因此舍去负根$x=-a-\sqrt{a^2+b^2}$，得正根为$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$
对比可知该正根的长度与AD的长度完全相等。
【答案】
该一元二次方程的一个正根是线段AD的长度。
【知识点】
勾股定理；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，主要考查对勾股定理、一元二次方程求根公式的掌握，解题时注意结合实际意义舍去方程的负根即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两部分：首先处理几何部分，已知△ABC是直角三角形，先用勾股定理求出斜边AB的长度，再结合BD=a的条件求出AD的长度表达式；其次处理代数部分，用公式法求解给定的一元二次方程，筛选出正根；最后将正根的表达式和线段长度表达式对比，即可得出对应关系。
【解析】
1. 计算线段AD的长度：
∵ $AC ⊥ BC$，
∴ $△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$
根据勾股定理可得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
已知$BD=a$，因此$AD=AB-BD=\sqrt{a^2+b^2}-a$
2. 解一元二次方程$x^2 + 2ax = b^2$：
先将方程整理为标准形式：$x^2 + 2ax - b^2 = 0$
其中二次项系数为1，一次项系数为$2a$，常数项为$-b^2$
计算判别式：$\Delta=(2a)^2-4×1×(-b^2)=4a^2+4b^2=4(a^2+b^2)＞0$
代入求根公式得：
$x=\frac{-2a\pm\sqrt{4(a^2+b^2)}}{2×1}=-a\pm\sqrt{a^2+b^2}$
需求正根，因此舍去负根$x=-a-\sqrt{a^2+b^2}$，得正根为$x=\sqrt{a^2+b^2}-a$
对比可知该正根的长度与AD的长度完全相等。
【答案】
该一元二次方程的一个正根是线段AD的长度。
【知识点】
勾股定理；公式法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，主要考查对勾股定理、一元二次方程求根公式的掌握，解题时注意结合实际意义舍去方程的负根即可快速得到结果。
【难度系数】
0.7
14. 将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每段铁丝的长度为周长做成一个正方形.要使这两个正方形的面积之和等于$19\mathrm{cm}^2$，那么两段铁丝的长度分别是多少？
答案
14. 提示:设一段为$4x$ cm,另一段为$(20 - 4x)$ cm.
根据题意,得 $x^2 + (5 - x)^2 = 19$.
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{13}}{2},\ x_2 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}$.
两段长为 $2(5+\sqrt{13})$ cm, $2(5-\sqrt{13})$ cm.
根据题意,得 $x^2 + (5 - x)^2 = 19$.
解得 $x_1 = \frac{5+\sqrt{13}}{2},\ x_2 = \frac{5-\sqrt{13}}{2}$.
两段长为 $2(5+\sqrt{13})$ cm, $2(5-\sqrt{13})$ cm.
解析
【分析】
解题时先明确题中等量关系：两个正方形的面积之和为19$\mathrm{cm}^2$。为了避免计算出现分数，可间接设正方形的边长为未知数：设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则它的周长（即对应铁丝段的长度）为$4x$ cm，另一段铁丝长度为$(20-4x)$ cm，对应正方形的边长为$(5-x)$ cm。再根据面积和的等量关系列一元二次方程，用公式法求解方程后，将边长转化为对应铁丝的长度即可。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则该正方形对应的铁丝段长为$4x$ cm，另一段铁丝长为$(20-4x)$ cm，对应正方形的边长为$\frac{20-4x}{4}=(5-x)$ cm。
根据题意列方程：
$x^2 + (5-x)^2 = 19$
整理为一元二次方程一般形式：
展开得$x^2 +25 -10x +x^2 =19$
移项、合并同类项得$2x^2 -10x +6=0$，化简得$x^2 -5x +3=0$
其中$a=1$，$b=-5$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 -4×1×3=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
对应两段铁丝的长度：
$4x_1=4×\frac{5+\sqrt{13}}{2}=2(5+\sqrt{13})$ cm，
$4x_2=4×\frac{5-\sqrt{13}}{2}=2(5-\sqrt{13})$ cm，两个结果均为正数，符合实际意义。
【答案】
两段铁丝的长度分别为$2(5+\sqrt{13})$ cm、$2(5-\sqrt{13})$ cm
【知识点】
一元二次方程的应用，正方形周长与面积计算，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的一元二次方程几何应用问题，合理设未知数可简化计算过程，解题核心是准确找到面积和的等量关系列方程，求解时要正确运用求根公式，最后需验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
解题时先明确题中等量关系：两个正方形的面积之和为19$\mathrm{cm}^2$。为了避免计算出现分数，可间接设正方形的边长为未知数：设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则它的周长（即对应铁丝段的长度）为$4x$ cm，另一段铁丝长度为$(20-4x)$ cm，对应正方形的边长为$(5-x)$ cm。再根据面积和的等量关系列一元二次方程，用公式法求解方程后，将边长转化为对应铁丝的长度即可。
【解析】
解：设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则该正方形对应的铁丝段长为$4x$ cm，另一段铁丝长为$(20-4x)$ cm，对应正方形的边长为$\frac{20-4x}{4}=(5-x)$ cm。
根据题意列方程：
$x^2 + (5-x)^2 = 19$
整理为一元二次方程一般形式：
展开得$x^2 +25 -10x +x^2 =19$
移项、合并同类项得$2x^2 -10x +6=0$，化简得$x^2 -5x +3=0$
其中$a=1$，$b=-5$，$c=3$，
判别式$\Delta = b^2-4ac = (-5)^2 -4×1×3=13＞0$，方程有两个不相等的实数根，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$，即$x_1=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$
对应两段铁丝的长度：
$4x_1=4×\frac{5+\sqrt{13}}{2}=2(5+\sqrt{13})$ cm，
$4x_2=4×\frac{5-\sqrt{13}}{2}=2(5-\sqrt{13})$ cm，两个结果均为正数，符合实际意义。
【答案】
两段铁丝的长度分别为$2(5+\sqrt{13})$ cm、$2(5-\sqrt{13})$ cm
【知识点】
一元二次方程的应用，正方形周长与面积计算，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是典型的一元二次方程几何应用问题，合理设未知数可简化计算过程，解题核心是准确找到面积和的等量关系列方程，求解时要正确运用求根公式，最后需验证结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
