登录
1.已知二次根式$\sqrt{a+1}$与二次根式$\sqrt{8}$都化成最简二次根式后，可以合并，你认为a的值是
1（答案不唯一）
.(只写一个a的值即可)答案
1. 如1，17等。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确两个核心知识点：一是最简二次根式的化简方法，二是可合并的二次根式（即同类二次根式）的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就可以合并。解题思路如下：第一步先把已知的$\sqrt{8}$化成最简二次根式；第二步根据同类二次根式的定义，确定$\sqrt{a+1}$化简后的被开方数；第三步列出关于a的等式求解，任选一个符合条件的a值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 由题意可知，$\sqrt{a+1}$化成最简二次根式后与$2\sqrt{2}$是同类二次根式，即化简后的被开方数为2。
3. 取最简情况：当$\sqrt{a+1}$本身就是最简二次根式时，被开方数满足$a+1=2$，解得$a=1$，符合题意。
（也可取其他符合条件的值，如令$a+1=18$，则$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$也可合并，解得$a=17$，均符合要求）
【答案】
1（答案不唯一，如17也可）
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式，二次根式合并条件
【点评】
本题是基础类开放题，主要考查对同类二次根式概念的理解与应用，解题关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据可合并的条件确定未知根式被开方数的要求，作答时任选一个符合条件的值即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确两个核心知识点：一是最简二次根式的化简方法，二是可合并的二次根式（即同类二次根式）的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就可以合并。解题思路如下：第一步先把已知的$\sqrt{8}$化成最简二次根式；第二步根据同类二次根式的定义，确定$\sqrt{a+1}$化简后的被开方数；第三步列出关于a的等式求解，任选一个符合条件的a值即可。
【解析】
1. 先化简$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
2. 由题意可知，$\sqrt{a+1}$化成最简二次根式后与$2\sqrt{2}$是同类二次根式，即化简后的被开方数为2。
3. 取最简情况：当$\sqrt{a+1}$本身就是最简二次根式时，被开方数满足$a+1=2$，解得$a=1$，符合题意。
（也可取其他符合条件的值，如令$a+1=18$，则$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$也可合并，解得$a=17$，均符合要求）
【答案】
1（答案不唯一，如17也可）
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式，二次根式合并条件
【点评】
本题是基础类开放题，主要考查对同类二次根式概念的理解与应用，解题关键是先将已知二次根式化为最简形式，再根据可合并的条件确定未知根式被开方数的要求，作答时任选一个符合条件的值即可。
【难度系数】
0.8
2.根式$\sqrt{3a - 8}$与$\sqrt{17 - 2a}$是同类二次根式，写一个满足条件的a的值：
5（答案不唯一）
.答案
2. 如5，$\frac{7}{2}$，$\frac{76}{11}$，$\frac{23}{3}$等。
解析
【分析】
解决本题首先要明确两个核心条件：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②同类二次根式的定义是几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。解题思路如下：第一步先根据二次根式有意义的要求，列不等式组求出a的取值范围；第二步根据同类二次根式的定义，最简单的情况是令两个被开方数直接相等，列方程求解a，最后验证求出的a是否在取值范围内即可得到答案。
【解析】
要使两个二次根式有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}3a - 8 ≥ 0 \\17 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解不等式$3a - 8 ≥ 0$，得$a ≥ \frac{8}{3}$；
解不等式$17 - 2a ≥ 0$，得$a ≤ \frac{17}{2}$；
因此a的取值范围为$\frac{8}{3} ≤ a ≤ \frac{17}{2}$。
根据同类二次根式的定义，取最简情况令两个被开方数相等，列方程：
$3a - 8 = 17 - 2a$
移项合并同类项得：$5a = 25$
解得：$a = 5$
验证：$a=5$在$\frac{8}{3} ≤ a ≤ \frac{17}{2}$范围内，此时$\sqrt{3×5 -8}=\sqrt{7}$，$\sqrt{17-2×5}=\sqrt{7}$，是同类二次根式，符合要求。
【答案】
5（答案不唯一）
【知识点】
1. 同类二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需注意不要忽略二次根式有意义的前提，再结合同类二次根式的特征求解即可，答案不唯一，选择两个被开方数相等的情况计算最为简便。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确两个核心条件：①二次根式有意义的条件是被开方数为非负数；②同类二次根式的定义是几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同。解题思路如下：第一步先根据二次根式有意义的要求，列不等式组求出a的取值范围；第二步根据同类二次根式的定义，最简单的情况是令两个被开方数直接相等，列方程求解a，最后验证求出的a是否在取值范围内即可得到答案。
【解析】
要使两个二次根式有意义，需满足被开方数非负，列不等式组：
$\begin{cases}3a - 8 ≥ 0 \\17 - 2a ≥ 0\end{cases}$
解不等式$3a - 8 ≥ 0$，得$a ≥ \frac{8}{3}$；
解不等式$17 - 2a ≥ 0$，得$a ≤ \frac{17}{2}$；
因此a的取值范围为$\frac{8}{3} ≤ a ≤ \frac{17}{2}$。
根据同类二次根式的定义，取最简情况令两个被开方数相等，列方程：
$3a - 8 = 17 - 2a$
移项合并同类项得：$5a = 25$
解得：$a = 5$
验证：$a=5$在$\frac{8}{3} ≤ a ≤ \frac{17}{2}$范围内，此时$\sqrt{3×5 -8}=\sqrt{7}$，$\sqrt{17-2×5}=\sqrt{7}$，是同类二次根式，符合要求。
【答案】
5（答案不唯一）
【知识点】
1. 同类二次根式的定义
2. 二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题时需注意不要忽略二次根式有意义的前提，再结合同类二次根式的特征求解即可，答案不唯一，选择两个被开方数相等的情况计算最为简便。
【难度系数】
0.7
3.已知$\sqrt{3m+5}+\sqrt{5}=3\sqrt{5}$，那么m的值是
5
。答案
3. 5.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先观察方程结构，方程两边都含有二次根式，第一步先将不含未知数m的二次根式移到等号右侧，合并同类二次根式，让等号左侧仅保留含未知数的二次根式；接下来利用二次根式的性质，将等式两边同时平方去掉根号，得到关于m的一元一次方程，最后解这个整式方程即可得到m的值，求解后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$\sqrt{3m + 5} = 3\sqrt{5} - \sqrt{5}$
合并右侧同类二次根式，得：
$\sqrt{3m + 5} = 2\sqrt{5}$
将等式两边同时平方消去根号，得：
$3m + 5 = (2\sqrt{5})^2$
计算右侧结果：$(2\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$，因此方程变为：
$3m + 5 = 20$
移项计算得：$3m = 15$
解得：$m = 5$
检验：将$m=5$代入原方程，左边=$\sqrt{3×5 + 5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$，与右边相等，所以$m=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式相关运算及简单无理方程的求解方法，解题关键是先通过移项、合并同类二次根式简化方程，再利用平方去根号将无理方程转化为熟悉的整式方程求解，养成解完代入检验的习惯能有效避免错误。
【难度系数】
0.85
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先观察方程结构，方程两边都含有二次根式，第一步先将不含未知数m的二次根式移到等号右侧，合并同类二次根式，让等号左侧仅保留含未知数的二次根式；接下来利用二次根式的性质，将等式两边同时平方去掉根号，得到关于m的一元一次方程，最后解这个整式方程即可得到m的值，求解后可代入原方程检验结果是否正确。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$\sqrt{3m + 5} = 3\sqrt{5} - \sqrt{5}$
合并右侧同类二次根式，得：
$\sqrt{3m + 5} = 2\sqrt{5}$
将等式两边同时平方消去根号，得：
$3m + 5 = (2\sqrt{5})^2$
计算右侧结果：$(2\sqrt{5})^2 = 4 × 5 = 20$，因此方程变为：
$3m + 5 = 20$
移项计算得：$3m = 15$
解得：$m = 5$
检验：将$m=5$代入原方程，左边=$\sqrt{3×5 + 5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$，与右边相等，所以$m=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
同类二次根式合并；二次根式的性质；一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查二次根式相关运算及简单无理方程的求解方法，解题关键是先通过移项、合并同类二次根式简化方程，再利用平方去根号将无理方程转化为熟悉的整式方程求解，养成解完代入检验的习惯能有效避免错误。
【难度系数】
0.85
4.长方形的周长是$(10 + 6\sqrt{5})\mathrm{cm}$，有一边长是$(\sqrt{5} - 1)\mathrm{cm}$，则它的面积是
$4\sqrt{5}+4$
。答案
4. $4\sqrt{5}+4$.
解析
【分析】
要求长方形的面积，需先求出长方形另一条邻边的长度。首先根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，可先算出两条邻边的长度和，再减去已知边长得到未知边长，最后根据长方形面积=长×宽，代入两条边长，按照二次根式的加减、乘法运算法则计算即可得到面积。
【解析】
第一步：计算长方形两条邻边的长度和：
$\frac{1}{2}×(10 + 6\sqrt{5}) = 5 + 3\sqrt{5} \ (\mathrm{cm})$
第二步：计算未知边长：
$(5 + 3\sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 1) = 5 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5} \ (\mathrm{cm})$
第三步：计算长方形面积：
$\begin{aligned}&(\sqrt{5} - 1)(6 + 2\sqrt{5})&\\=&\sqrt{5}×6 + \sqrt{5}×2\sqrt{5} - 1×6 - 1×2\sqrt{5}\\=&6\sqrt{5} + 10 - 6 - 2\sqrt{5}\\=&4\sqrt{5} + 4 \ (\mathrm{cm^2})\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{5}+4$
【知识点】
1.长方形周长与面积计算
2.二次根式的加减运算
3.二次根式的乘法运算
【点评】
本题将几何图形计算与二次根式运算结合，重点考查二次根式混合运算的掌握程度，解题时牢记长方形的周长和面积公式是基础，正确运用二次根式运算法则、注意去括号的符号变化是解题关键。
【难度系数】
0.7
要求长方形的面积，需先求出长方形另一条邻边的长度。首先根据长方形周长公式：周长=2×(长+宽)，可先算出两条邻边的长度和，再减去已知边长得到未知边长，最后根据长方形面积=长×宽，代入两条边长，按照二次根式的加减、乘法运算法则计算即可得到面积。
【解析】
第一步：计算长方形两条邻边的长度和：
$\frac{1}{2}×(10 + 6\sqrt{5}) = 5 + 3\sqrt{5} \ (\mathrm{cm})$
第二步：计算未知边长：
$(5 + 3\sqrt{5}) - (\sqrt{5} - 1) = 5 + 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5} \ (\mathrm{cm})$
第三步：计算长方形面积：
$\begin{aligned}&(\sqrt{5} - 1)(6 + 2\sqrt{5})&\\=&\sqrt{5}×6 + \sqrt{5}×2\sqrt{5} - 1×6 - 1×2\sqrt{5}\\=&6\sqrt{5} + 10 - 6 - 2\sqrt{5}\\=&4\sqrt{5} + 4 \ (\mathrm{cm^2})\end{aligned}$
【答案】
$4\sqrt{5}+4$
【知识点】
1.长方形周长与面积计算
2.二次根式的加减运算
3.二次根式的乘法运算
【点评】
本题将几何图形计算与二次根式运算结合，重点考查二次根式混合运算的掌握程度，解题时牢记长方形的周长和面积公式是基础，正确运用二次根式运算法则、注意去括号的符号变化是解题关键。
【难度系数】
0.7
5.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为$\sqrt{45}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{80}\ \mathrm{cm}$，那么这个直角三角形的周长为
$12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
。答案
5. $12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要求直角三角形的周长，首先要明确周长是三条边长的和，本题已知两条直角边，缺少斜边长度，因此第一步需要用勾股定理求出斜边；接下来需要将三条边对应的二次根式都化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式就能得到周长结果。
【解析】
解：1. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此
斜边长$=\sqrt{(\sqrt{45})^2+(\sqrt{80})^2}=\sqrt{45+80}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
2. 化简两条直角边：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
3. 计算周长：
周长$=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3+4+5)\sqrt{5}=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；二次根式加减
【点评】
本题属于二次根式运算与几何结合的基础题，解题关键是先通过勾股定理求出未知边长，再正确化简二次根式、合并同类二次根式，运算过程中注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.8
要求直角三角形的周长，首先要明确周长是三条边长的和，本题已知两条直角边，缺少斜边长度，因此第一步需要用勾股定理求出斜边；接下来需要将三条边对应的二次根式都化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式就能得到周长结果。
【解析】
解：1. 求斜边长：根据勾股定理，直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和，因此
斜边长$=\sqrt{(\sqrt{45})^2+(\sqrt{80})^2}=\sqrt{45+80}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
2. 化简两条直角边：
$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
3. 计算周长：
周长$=3\sqrt{5}+4\sqrt{5}+5\sqrt{5}=(3+4+5)\sqrt{5}=12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【答案】
$12\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理；二次根式化简；二次根式加减
【点评】
本题属于二次根式运算与几何结合的基础题，解题关键是先通过勾股定理求出未知边长，再正确化简二次根式、合并同类二次根式，运算过程中注意不要遗漏单位。
【难度系数】
0.8
6.当$m=2-\sqrt{3},n=\sqrt{3}+1$时，代数式$\sqrt{m^2}+\sqrt{1-2n+n^2}$的值是
2
.答案
6. 2.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此先将原式中的两个二次根式化简为绝对值形式；再结合给出的$m$、$n$的取值，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{m^2}=|m|$，$\sqrt{1-2n+n^2}=\sqrt{(n-1)^2}=|n-1|$
因此原式可化简为$|m| + |n-1|$。
接下来判断绝对值内的符号：
已知$m=2-\sqrt{3}$，因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$m＞0$，故$|m|=m=2-\sqrt{3}$；
已知$n=\sqrt{3}+1$，所以$n-1=\sqrt{3}＞0$，故$|n-1|=n-1=\sqrt{3}$。
将上述结果代入化简后的式子计算：
$|m| + |n-1|=(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常规题型，核心考查对二次根式性质的理解与应用，解题时先化简再代入能大幅简化计算过程，去绝对值前需先判断代数式的正负，这是解题的易错点。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因此先将原式中的两个二次根式化简为绝对值形式；再结合给出的$m$、$n$的取值，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，去掉绝对值符号；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{m^2}=|m|$，$\sqrt{1-2n+n^2}=\sqrt{(n-1)^2}=|n-1|$
因此原式可化简为$|m| + |n-1|$。
接下来判断绝对值内的符号：
已知$m=2-\sqrt{3}$，因为$\sqrt{3}\approx1.732＜2$，所以$m＞0$，故$|m|=m=2-\sqrt{3}$；
已知$n=\sqrt{3}+1$，所以$n-1=\sqrt{3}＞0$，故$|n-1|=n-1=\sqrt{3}$。
将上述结果代入化简后的式子计算：
$|m| + |n-1|=(2-\sqrt{3})+\sqrt{3}=2$
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，代数式求值
【点评】
本题属于二次根式化简求值的常规题型，核心考查对二次根式性质的理解与应用，解题时先化简再代入能大幅简化计算过程，去绝对值前需先判断代数式的正负，这是解题的易错点。
【难度系数】
0.8
7.在下列各组二次根式中,不是同类二次根式的是 …………………………【 】
A.$\sqrt{45}$和$\sqrt{20}$
B.$\frac{1}{3}\sqrt{8}$和$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{12}$和$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{24}$和$\sqrt{54}$
A.$\sqrt{45}$和$\sqrt{20}$
B.$\frac{1}{3}\sqrt{8}$和$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}$
C.$\sqrt{12}$和$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{24}$和$\sqrt{54}$
答案
7. C.
解析
【分析】
要判断各组二次根式是否为同类二次根式，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就是同类二次根式。因此解题思路为：先将每个选项中的两个二次根式都化为最简二次根式，再对比被开方数是否相同，被开方数不同的选项即为答案。
【解析】
根据同类二次根式的判定规则，逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数均为5，是同类二次根式；
B选项：$\frac{1}{3}\sqrt{8}=\frac{1}{3}×\sqrt{4×2}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{10}\sqrt{2}$，化简后被开方数均为2，是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数分别为3和2，不相同，不是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，化简后被开方数均为6，是同类二次根式。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记判断同类二次根式前必须先将根式化为最简形式，不能直接对比原始根号内的数字，避免因未化简出现判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断各组二次根式是否为同类二次根式，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就是同类二次根式。因此解题思路为：先将每个选项中的两个二次根式都化为最简二次根式，再对比被开方数是否相同，被开方数不同的选项即为答案。
【解析】
根据同类二次根式的判定规则，逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，化简后被开方数均为5，是同类二次根式；
B选项：$\frac{1}{3}\sqrt{8}=\frac{1}{3}×\sqrt{4×2}=\frac{2}{3}\sqrt{2}$，$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{10}\sqrt{2}$，化简后被开方数均为2，是同类二次根式；
C选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，化简后被开方数分别为3和2，不相同，不是同类二次根式；
D选项：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{54}=\sqrt{9×6}=3\sqrt{6}$，化简后被开方数均为6，是同类二次根式。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记判断同类二次根式前必须先将根式化为最简形式，不能直接对比原始根号内的数字，避免因未化简出现判断错误。
【难度系数】
0.8
8. 下列计算正确的是 …………【 】
A.$\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{4 + 9}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$(-3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 20$
D.$\sqrt{4\frac{1}{9}} - \sqrt{\frac{1}{9}} = 2$
A.$\sqrt{4} + \sqrt{9} = \sqrt{4 + 9}$
B.$3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$
C.$(-3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 = 20$
D.$\sqrt{4\frac{1}{9}} - \sqrt{\frac{1}{9}} = 2$
答案
8. C.
解析
【分析】
这道题考查二次根式的相关运算，解题时需逐一计算每个选项的左右两边结果，根据二次根式的化简、同类二次根式合并、乘方运算的规则判断是否相等，最终选出正确选项。具体思考逻辑：首先回忆二次根式运算的基本规则，①只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根式部分不变；②二次根式乘方时，系数和被开方数要分别乘方；③带分数开方要先化为假分数再化简，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项判断正误：
A选项：左边$\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$，右边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，$5≠\sqrt{13}$，故A错误；
B选项：$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故B错误；
C选项：$(-3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=(-3)^2×(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2=9×2 +2=18+2=20$，左右两边相等，故C正确；
D选项：$\sqrt{4\frac{1}{9}}-\sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{37}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{37}-1}{3}≠2$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算，同类二次根式合并，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查二次根式的各类运算规则，解题时需要注意规避常见错误：如将非同类二次根式直接合并、乘方时漏算系数的乘方、带分数开方时错误拆分整数和分数部分分别开方。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次根式的相关运算，解题时需逐一计算每个选项的左右两边结果，根据二次根式的化简、同类二次根式合并、乘方运算的规则判断是否相等，最终选出正确选项。具体思考逻辑：首先回忆二次根式运算的基本规则，①只有同类二次根式才能合并，合并时仅系数相加减，根式部分不变；②二次根式乘方时，系数和被开方数要分别乘方；③带分数开方要先化为假分数再化简，再逐个验证选项即可。
【解析】
我们逐个计算各选项判断正误：
A选项：左边$\sqrt{4}+\sqrt{9}=2+3=5$，右边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，$5≠\sqrt{13}$，故A错误；
B选项：$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=(3-1)\sqrt{2}=2\sqrt{2}≠3$，故B错误；
C选项：$(-3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=(-3)^2×(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2=9×2 +2=18+2=20$，左右两边相等，故C正确；
D选项：$\sqrt{4\frac{1}{9}}-\sqrt{\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{37}{9}}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{37}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{37}-1}{3}≠2$，故D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算，同类二次根式合并，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查二次根式的各类运算规则，解题时需要注意规避常见错误：如将非同类二次根式直接合并、乘方时漏算系数的乘方、带分数开方时错误拆分整数和分数部分分别开方。
【难度系数】
0.7
9. 如图1-1-6，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为$18\ \mathrm{cm}^2$和$12\ \mathrm{cm}^2$的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为……【 】
A.$6\ \mathrm{cm}^2$
B.$(6\sqrt{6} - 12)\mathrm{cm}^2$
C.$(6\sqrt{6} - 18)\mathrm{cm}^2$
D.$(18 - 6\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$
A.$6\ \mathrm{cm}^2$
B.$(6\sqrt{6} - 12)\mathrm{cm}^2$
C.$(6\sqrt{6} - 18)\mathrm{cm}^2$
D.$(18 - 6\sqrt{3})\mathrm{cm}^2$
答案
9. B.
解析
【分析】
要求空白部分的面积，可利用“空白面积=矩形ABCD的面积-两个正方形的面积和”求解。第一步先根据正方形面积公式求出两个正方形的边长；第二步结合图形确定矩形的长和宽，计算矩形面积；第三步用矩形面积减去两个正方形的总面积即可得到空白部分面积。
【解析】
解：
∵ 面积为$18\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$（cm），
面积为$12\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（cm），
由图可得，矩形ABCD的长为$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$cm，宽为$3\sqrt{2}$cm，
∴ 矩形ABCD的面积为：
$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})×3\sqrt{2}=3\sqrt{2}×3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}×3\sqrt{2}=18 + 6\sqrt{6}$（$\mathrm{cm}^2$），
两个正方形的面积和为$18+12=30$（$\mathrm{cm}^2$），
∴ 空白部分面积为：$(18+6\sqrt{6}) - 30=6\sqrt{6}-12$（$\mathrm{cm}^2$）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，矩形与正方形面积计算
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次根式运算相结合，解题的核心是准确根据正方形面积求出边长，进而确定矩形的长宽，再通过面积差得到结果，需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算法则。
【难度系数】
0.7
要求空白部分的面积，可利用“空白面积=矩形ABCD的面积-两个正方形的面积和”求解。第一步先根据正方形面积公式求出两个正方形的边长；第二步结合图形确定矩形的长和宽，计算矩形面积；第三步用矩形面积减去两个正方形的总面积即可得到空白部分面积。
【解析】
解：
∵ 面积为$18\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$（cm），
面积为$12\ \mathrm{cm}^2$的正方形边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$（cm），
由图可得，矩形ABCD的长为$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})$cm，宽为$3\sqrt{2}$cm，
∴ 矩形ABCD的面积为：
$(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})×3\sqrt{2}=3\sqrt{2}×3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}×3\sqrt{2}=18 + 6\sqrt{6}$（$\mathrm{cm}^2$），
两个正方形的面积和为$18+12=30$（$\mathrm{cm}^2$），
∴ 空白部分面积为：$(18+6\sqrt{6}) - 30=6\sqrt{6}-12$（$\mathrm{cm}^2$）。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的运算，矩形与正方形面积计算
【点评】
本题将几何图形面积计算与二次根式运算相结合，解题的核心是准确根据正方形面积求出边长，进而确定矩形的长宽，再通过面积差得到结果，需要熟练掌握二次根式的化简和乘法运算法则。
【难度系数】
0.7
10.计算：$\sqrt{32} ÷ \sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{10} + \sqrt{20}.$
答案
10. $2+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步，根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，分别计算乘除项；第二步，将所有二次根式化为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{32÷8} - \sqrt{\frac{1}{2}×10} + \sqrt{20} \\&=\sqrt{4} - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\&=2 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\&=2+\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的乘除运算；最简二次根式；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，运算时需注意运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简形式，合并同类二次根式时不要漏项。
【难度系数】
0.8
本题属于二次根式的混合运算题，解题思路遵循“先乘除、后加减”的运算顺序：第一步，根据二次根式乘除运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，分别计算乘除项；第二步，将所有二次根式化为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{32÷8} - \sqrt{\frac{1}{2}×10} + \sqrt{20} \\&=\sqrt{4} - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\&=2 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} \\&=2+\sqrt{5}\end{aligned}$
【答案】
$2+\sqrt{5}$
【知识点】
二次根式的乘除运算；最简二次根式；二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，运算时需注意运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简形式，合并同类二次根式时不要漏项。
【难度系数】
0.8
11.计算：$(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)-\sqrt{(-5)^2}-(\sqrt{2}-1)^0+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
答案
11. $-5+\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题是二次根式的混合运算题，解题时可将原式拆分为四个部分分别计算，再合并结果：1. 第一部分符合平方差公式的结构，可直接用平方差公式计算；2. 第二部分根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简；3. 第三部分根据非零数的零次幂等于1计算；4. 第四部分通过分母有理化化简，最后将各部分的结果按加减法运算规则计算即可。
【解析】
解：原式$= [(\sqrt{3})^2 - 1^2] - \sqrt{(-5)^2} - (\sqrt{2}-1)^0 + \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
$= (3-1) - \sqrt{25} - 1 + \frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$
$= 2 - 5 - 1 + \sqrt{2} - 1$
$= -5 + \sqrt{2}$
【答案】
$-5+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；零指数幂的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，考查了多个基础知识点的综合运用，计算时需注意每一步化简的规则，尤其要注意符号处理和分母有理化的方法，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是二次根式的混合运算题，解题时可将原式拆分为四个部分分别计算，再合并结果：1. 第一部分符合平方差公式的结构，可直接用平方差公式计算；2. 第二部分根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简；3. 第三部分根据非零数的零次幂等于1计算；4. 第四部分通过分母有理化化简，最后将各部分的结果按加减法运算规则计算即可。
【解析】
解：原式$= [(\sqrt{3})^2 - 1^2] - \sqrt{(-5)^2} - (\sqrt{2}-1)^0 + \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$
$= (3-1) - \sqrt{25} - 1 + \frac{\sqrt{2}-1}{2-1}$
$= 2 - 5 - 1 + \sqrt{2} - 1$
$= -5 + \sqrt{2}$
【答案】
$-5+\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的运算；平方差公式；零指数幂的性质
【点评】
本题属于二次根式运算的常规题型，考查了多个基础知识点的综合运用，计算时需注意每一步化简的规则，尤其要注意符号处理和分母有理化的方法，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7
