登录
19. 已知实数$a,b$满足$a+b=8,ab=12$，求$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值。
答案
19. 提示:原式 $= \dfrac{a+b}{\sqrt{ab}} = \dfrac{8}{\sqrt{12}} = \dfrac{4\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先要确定二次根式有意义的条件：结合已知$a+b=8＞0$，$ab=12＞0$，可判断出$a$、$b$均为正数，因此原式中的两个二次根式都有意义。接下来将原式中的二次根式化简后通分合并，即可把原式转化为用$a+b$和$ab$表示的形式，最后代入已知数值计算，再将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because a+b=8＞0$，$ab=12＞0$
$\therefore a＞0$，$b＞0$
$\therefore \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
通分可得：
$\dfrac{\sqrt{a}·\sqrt{a}+\sqrt{b}·\sqrt{b}}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式：
原式$=\dfrac{8}{\sqrt{12}}=\dfrac{8}{2\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题的关键是先判断$a$、$b$的符号，避免二次根式无意义的错误，对原式变形后直接整体代入已知条件计算即可，计算时要注意最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
解题时首先要确定二次根式有意义的条件：结合已知$a+b=8＞0$，$ab=12＞0$，可判断出$a$、$b$均为正数，因此原式中的两个二次根式都有意义。接下来将原式中的二次根式化简后通分合并，即可把原式转化为用$a+b$和$ab$表示的形式，最后代入已知数值计算，再将结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：$\because a+b=8＞0$，$ab=12＞0$
$\therefore a＞0$，$b＞0$
$\therefore \sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$
通分可得：
$\dfrac{\sqrt{a}·\sqrt{a}+\sqrt{b}·\sqrt{b}}{\sqrt{a}·\sqrt{b}}=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}$
将$a+b=8$，$ab=12$代入上式：
原式$=\dfrac{8}{\sqrt{12}}=\dfrac{8}{2\sqrt{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值；分母有理化
【点评】
本题重点考查二次根式的运算能力，解题的关键是先判断$a$、$b$的符号，避免二次根式无意义的错误，对原式变形后直接整体代入已知条件计算即可，计算时要注意最终结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
20.如图1-1-5，面积为$48\mathrm{cm}^2$的正方形的四个角上的小正方形的面积为$3\mathrm{cm}^2$，现将四个小正方形剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少.($\sqrt{3} \approx 1.732$，精确到0.1cm)
图1-1-5
图1-1-5
答案
20. 提示:设大、小正方形的边长分别为 $x \mathrm{cm},y \mathrm{cm}.$则 $x^2 = 48,y^2 = 3$，$\therefore x = 4\sqrt{3},y = \sqrt{3}.$
$\therefore$ 底面边长为 $2\sqrt{3} \approx 3.5,$ 高为$\sqrt{3} \approx 1.7$.
$\therefore$ 底面边长为 $2\sqrt{3} \approx 3.5,$ 高为$\sqrt{3} \approx 1.7$.
解析
【分析】
要计算无盖长方体的底面边长和高，首先需明确二者与原大正方形、剪掉的小正方形边长的对应关系：折成盒子后，盒子的高就是小正方形的边长，底面边长等于大正方形边长减去2倍的小正方形边长。因此第一步先根据正方形面积公式分别求出大、小正方形的边长，再代入计算底面边长和高，最后对结果取近似值即可。
【解析】
解：设大正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，剪掉的小正方形边长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据正方形面积公式可得：
$x^2=48$，结合边长为正数，解得$x=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$；
$y^2=3$，同理得$y=\sqrt{3}$。
折成无盖长方体后：
长方体的高等于小正方形的边长，即高为$\sqrt{3}\approx1.7\ \mathrm{cm}$；
长方体的底面边长为大正方形边长减去2个小正方形的边长，即：
$x-2y=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx2×1.732\approx3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
长方体的底面边长约为$3.5\mathrm{cm}$，高约为$1.7\mathrm{cm}$。
【知识点】
正方形面积计算，二次根式化简，图形剪拼应用
【点评】
本题结合了几何图形剪拼和二次根式运算的知识点，解题核心是理清剪拼前后各边的对应关系，只要掌握二次根式的化简方法和近似计算规则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要计算无盖长方体的底面边长和高，首先需明确二者与原大正方形、剪掉的小正方形边长的对应关系：折成盒子后，盒子的高就是小正方形的边长，底面边长等于大正方形边长减去2倍的小正方形边长。因此第一步先根据正方形面积公式分别求出大、小正方形的边长，再代入计算底面边长和高，最后对结果取近似值即可。
【解析】
解：设大正方形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，剪掉的小正方形边长为$y\ \mathrm{cm}$。
根据正方形面积公式可得：
$x^2=48$，结合边长为正数，解得$x=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$；
$y^2=3$，同理得$y=\sqrt{3}$。
折成无盖长方体后：
长方体的高等于小正方形的边长，即高为$\sqrt{3}\approx1.7\ \mathrm{cm}$；
长方体的底面边长为大正方形边长减去2个小正方形的边长，即：
$x-2y=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\approx2×1.732\approx3.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
长方体的底面边长约为$3.5\mathrm{cm}$，高约为$1.7\mathrm{cm}$。
【知识点】
正方形面积计算，二次根式化简，图形剪拼应用
【点评】
本题结合了几何图形剪拼和二次根式运算的知识点，解题核心是理清剪拼前后各边的对应关系，只要掌握二次根式的化简方法和近似计算规则即可正确求解。
【难度系数】
0.7
21.已知 x 满足 $\sqrt{(2-x)^2} + \sqrt{x-3} = x$，求 x 的值.
（1）阅读下列解答过程，并补充完整：
解:由根式 $\sqrt{x-3}$ 有意义可知 x 的取值范围是
∴ $\sqrt{(2-x)^2} = |2-x| =$
于是原等式可化简为
移项、合并同类项，得 $\sqrt{x-3} =$
根据算术平方根的意义，得 $x-3 =$
∴ $x =$
（2）请用上述方法解答问题:
已知 x 满足 $\sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{x} = x +5$，求 x 的值.
（1）阅读下列解答过程，并补充完整：
解:由根式 $\sqrt{x-3}$ 有意义可知 x 的取值范围是
$x≥ 3$
.∴ $\sqrt{(2-x)^2} = |2-x| =$
$x-2$
.（把$|2-x|$的绝对值符号去掉）于是原等式可化简为
$x-2$
+ $\sqrt{x-3} = x$.移项、合并同类项，得 $\sqrt{x-3} =$
$2$
.根据算术平方根的意义，得 $x-3 =$
$4$
.∴ $x =$
$7$
.（2）请用上述方法解答问题:
已知 x 满足 $\sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{x} = x +5$，求 x 的值.
答案
21. (1)$x≥ 3, x-2, x-2, 2, 4, 7.$
(2)$x = 16.$
(2)$x = 16.$
解析
【分析】
解这类含二次根式和绝对值的方程，核心思路是先确定二次根式有意义的未知数取值范围，利用该范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后简化方程，再根据算术平方根的性质求解，最后检验解是否符合取值范围即可。
对于（1）：先根据$\sqrt{x-3}$的被开方数非负确定$x$的范围，再判断$2-x$的正负去绝对值，逐步化简求解；对于（2）：同理先根据$\sqrt{x}$有意义确定$x$的范围，再判断$x+1$的正负去绝对值，化简后求解。
【解析】
（1）补全解答过程
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此：
1. 由$\sqrt{x-3}$有意义，得$x-3≥0$，即$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≥3}$；
2. 因为$x≥3$，所以$2-x＜0$，根据绝对值的性质，$|2-x|=\boldsymbol{x-2}$；
3. 原等式化简为$\boldsymbol{x-2}+\sqrt{x-3}=x$；
4. 移项合并同类项：$\sqrt{x-3}=x-(x-2)=\boldsymbol{2}$；
5. 根据算术平方根的意义，两边同时平方得$x-3=2^2=\boldsymbol{4}$；
6. 解得$x=4+3=\boldsymbol{7}$，代入验证$x=7≥3$，符合条件。
（2）求解方程$\sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{x} = x +5$
1. 确定取值范围：由$\sqrt{x}$有意义，得$x≥0$；
2. 去绝对值：因为$x≥0$，所以$x+1≥1＞0$，因此$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1$；
3. 代入化简方程：$x+1+\sqrt{x}=x+5$；
4. 移项合并同类项：$\sqrt{x}=x+5-x-1=4$；
5. 两边同时平方得：$x=4^2=16$；
6. 检验：$x=16≥0$，代入原方程左边$=\sqrt{(16+1)^2}+\sqrt{16}=17+4=21$，右边$=16+5=21$，左边=右边，解成立。
【答案】
(1) $x≥ 3$，$x-2$，$x-2$，$2$，$4$，$7$；(2) $x = 16$
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的性质，无理方程求解
【点评】
本题重点考查二次根式与绝对值结合的方程计算，解题的突破口是先通过二次根式有意义的条件锁定未知数的取值范围，既能为去绝对值提供依据，也能后续检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解这类含二次根式和绝对值的方程，核心思路是先确定二次根式有意义的未知数取值范围，利用该范围判断绝对值内代数式的正负，去掉绝对值符号后简化方程，再根据算术平方根的性质求解，最后检验解是否符合取值范围即可。
对于（1）：先根据$\sqrt{x-3}$的被开方数非负确定$x$的范围，再判断$2-x$的正负去绝对值，逐步化简求解；对于（2）：同理先根据$\sqrt{x}$有意义确定$x$的范围，再判断$x+1$的正负去绝对值，化简后求解。
【解析】
（1）补全解答过程
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此：
1. 由$\sqrt{x-3}$有意义，得$x-3≥0$，即$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≥3}$；
2. 因为$x≥3$，所以$2-x＜0$，根据绝对值的性质，$|2-x|=\boldsymbol{x-2}$；
3. 原等式化简为$\boldsymbol{x-2}+\sqrt{x-3}=x$；
4. 移项合并同类项：$\sqrt{x-3}=x-(x-2)=\boldsymbol{2}$；
5. 根据算术平方根的意义，两边同时平方得$x-3=2^2=\boldsymbol{4}$；
6. 解得$x=4+3=\boldsymbol{7}$，代入验证$x=7≥3$，符合条件。
（2）求解方程$\sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{x} = x +5$
1. 确定取值范围：由$\sqrt{x}$有意义，得$x≥0$；
2. 去绝对值：因为$x≥0$，所以$x+1≥1＞0$，因此$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|=x+1$；
3. 代入化简方程：$x+1+\sqrt{x}=x+5$；
4. 移项合并同类项：$\sqrt{x}=x+5-x-1=4$；
5. 两边同时平方得：$x=4^2=16$；
6. 检验：$x=16≥0$，代入原方程左边$=\sqrt{(16+1)^2}+\sqrt{16}=17+4=21$，右边$=16+5=21$，左边=右边，解成立。
【答案】
(1) $x≥ 3$，$x-2$，$x-2$，$2$，$4$，$7$；(2) $x = 16$
【知识点】
二次根式有意义的条件，绝对值的性质，无理方程求解
【点评】
本题重点考查二次根式与绝对值结合的方程计算，解题的突破口是先通过二次根式有意义的条件锁定未知数的取值范围，既能为去绝对值提供依据，也能后续检验解的合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
