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12. 如图1-1-7，在数轴上表示1，$\sqrt{2}$的点分别为A，B，点B和点C关于点A对称.设点C表示的数为x，求x及$x(x-1)$的值.
答案
12. 提示:根据对称性可得 $x = 2-\sqrt{2}$，
所以 $x(x-1) = (2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 4-3\sqrt{2}$.
所以 $x(x-1) = (2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 4-3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解题时首先抓住“点B和点C关于点A对称”的条件，可知点A是线段BC的中点，根据数轴上中点的数量关系：中点对应的数等于两端点对应数的平均值，可先列方程求出x的值；再将求得的x代入x(x-1)，按照二次根式的乘法运算法则展开、合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 点B和点C关于点A对称，
∴ 点A是线段BC的中点，可得等式：
$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$
解方程得：$x+\sqrt{2}=2$，即$\boldsymbol{x=2-\sqrt{2}}$。
将$x=2-\sqrt{2}$代入$x(x-1)$计算：
$\begin{aligned}x(x-1)&=(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2}-1)\\&=(2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})\\&=2×1 - 2×\sqrt{2} - \sqrt{2}×1 + (\sqrt{2})^2\\&=2 - 3\sqrt{2} + 2\\&=4 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$x=2-\sqrt{2}$，$x(x-1)=4-3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 数轴对称点性质
2. 二次根式混合运算
【点评】
本题是数轴对称性质和二次根式运算的结合题型，解题的关键是理解数轴上两点关于某点对称时的数量关系，掌握二次根式的乘法和合并法则即可顺利解答，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“点B和点C关于点A对称”的条件，可知点A是线段BC的中点，根据数轴上中点的数量关系：中点对应的数等于两端点对应数的平均值，可先列方程求出x的值；再将求得的x代入x(x-1)，按照二次根式的乘法运算法则展开、合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
解：
∵ 点B和点C关于点A对称，
∴ 点A是线段BC的中点，可得等式：
$\frac{x+\sqrt{2}}{2}=1$
解方程得：$x+\sqrt{2}=2$，即$\boldsymbol{x=2-\sqrt{2}}$。
将$x=2-\sqrt{2}$代入$x(x-1)$计算：
$\begin{aligned}x(x-1)&=(2-\sqrt{2})(2-\sqrt{2}-1)\\&=(2-\sqrt{2})(1-\sqrt{2})\\&=2×1 - 2×\sqrt{2} - \sqrt{2}×1 + (\sqrt{2})^2\\&=2 - 3\sqrt{2} + 2\\&=4 - 3\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$x=2-\sqrt{2}$，$x(x-1)=4-3\sqrt{2}$
【知识点】
1. 数轴对称点性质
2. 二次根式混合运算
【点评】
本题是数轴对称性质和二次根式运算的结合题型，解题的关键是理解数轴上两点关于某点对称时的数量关系，掌握二次根式的乘法和合并法则即可顺利解答，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
13.已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，先化简，再求值：$\dfrac{a - b}{a} ÷ ( a - \dfrac{2ab - b^2}{a} )$。
答案
13. 化简结果是$\frac{1}{a-b}$;代入a,b的值,所求值是$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
遇到分式化简求值类题目，优先化简分式再代入数值计算，可降低运算量。解题按以下思路展开：1. 先计算括号内的分式减法，将整式a通分转化为分母为a的分式，再合并分子；2. 合并后的分子符合完全平方公式，可因式分解简化；3. 将分式除法转化为乘法运算，约分化简得到最简形式；4. 计算a-b的值，代入最简式即可求出结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\dfrac{a - b}{a} ÷ ( a - \dfrac{2ab - b^2}{a} )\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a} )\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ \dfrac{(a - b)^2}{a}\\=&\dfrac{a - b}{a} × \dfrac{a}{(a - b)^2}\\=&\dfrac{1}{a - b}\end{aligned}$
再代入数值计算：
已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，则$a - b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$，
∴原式$=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a - b}$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值；完全平方公式；二次根式的加减
【点评】
本题考查分式混合运算与二次根式的求值，解题核心是严格遵循分式运算顺序，先算括号内的运算，除法转换为乘法时注意取倒数，约分过程要确保公因式约除彻底，先化简后代值的思路可大幅减少运算失误，避免直接代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
遇到分式化简求值类题目，优先化简分式再代入数值计算，可降低运算量。解题按以下思路展开：1. 先计算括号内的分式减法，将整式a通分转化为分母为a的分式，再合并分子；2. 合并后的分子符合完全平方公式，可因式分解简化；3. 将分式除法转化为乘法运算，约分化简得到最简形式；4. 计算a-b的值，代入最简式即可求出结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&\dfrac{a - b}{a} ÷ ( a - \dfrac{2ab - b^2}{a} )\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ ( \dfrac{a^2}{a} - \dfrac{2ab - b^2}{a} )\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a}\\=&\dfrac{a - b}{a} ÷ \dfrac{(a - b)^2}{a}\\=&\dfrac{a - b}{a} × \dfrac{a}{(a - b)^2}\\=&\dfrac{1}{a - b}\end{aligned}$
再代入数值计算：
已知$a=\sqrt{3}+1$，$b=\sqrt{3}-1$，则$a - b = (\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = 2$，
∴原式$=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{a - b}$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的化简求值；完全平方公式；二次根式的加减
【点评】
本题考查分式混合运算与二次根式的求值，解题核心是严格遵循分式运算顺序，先算括号内的运算，除法转换为乘法时注意取倒数，约分过程要确保公因式约除彻底，先化简后代值的思路可大幅减少运算失误，避免直接代入计算的繁琐。
【难度系数】
0.7
14.已知$a=\sqrt{2}+1,b=\sqrt{2}-1$，先化简，再求值：$\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} ÷ ( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} ).$
答案
14. 提示:$ab = 1$,$a + b = 2\sqrt{2}$;
原式$=\frac{a-b}{a+b}·\frac{ab}{b-a}=-\frac{ab}{a+b}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.
原式$=\frac{a-b}{a+b}·\frac{ab}{b-a}=-\frac{ab}{a+b}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$.
解析
【分析】
这是分式化简结合二次根式代入求值的题型，解题思路分三步：①先对原式中各部分的分子分母因式分解，同时计算括号内的分式减法；②将除法运算转化为乘法运算，约分后将原式化为最简形式，优先计算a+b、ab的整体值可以简化后续代入步骤，避免复杂计算；③将整体值代入最简式，最后将结果化为最简二次根式即可。注意约分时a-b与b-a互为相反数，约分后要带负号。
【解析】
首先计算a、b的相关整体值：
∵$a=\sqrt{2}+1,b=\sqrt{2}-1$
∴$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
接下来化简原式：
$\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} ÷ ( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} )$
$=\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \dfrac{b-a}{ab}$
$=\dfrac{a-b}{a+b} × \dfrac{ab}{b-a}$
$=\dfrac{a-b}{a+b} × \dfrac{ab}{-(a-b)}$
约分得：$=-\dfrac{ab}{a+b}$
将$ab=1,a+b=2\sqrt{2}$代入得：
原式$=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，将分式运算和二次根式计算结合考查，解题时优先对原式化简、再代入整体值计算可大幅减少计算量，要注意互为相反数的因式约分后符号变化，最终计算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
这是分式化简结合二次根式代入求值的题型，解题思路分三步：①先对原式中各部分的分子分母因式分解，同时计算括号内的分式减法；②将除法运算转化为乘法运算，约分后将原式化为最简形式，优先计算a+b、ab的整体值可以简化后续代入步骤，避免复杂计算；③将整体值代入最简式，最后将结果化为最简二次根式即可。注意约分时a-b与b-a互为相反数，约分后要带负号。
【解析】
首先计算a、b的相关整体值：
∵$a=\sqrt{2}+1,b=\sqrt{2}-1$
∴$ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=(\sqrt{2})^2-1^2=2-1=1$，
$a+b=(\sqrt{2}+1)+(\sqrt{2}-1)=2\sqrt{2}$，
接下来化简原式：
$\dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} ÷ ( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} )$
$=\dfrac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} ÷ \dfrac{b-a}{ab}$
$=\dfrac{a-b}{a+b} × \dfrac{ab}{b-a}$
$=\dfrac{a-b}{a+b} × \dfrac{ab}{-(a-b)}$
约分得：$=-\dfrac{ab}{a+b}$
将$ab=1,a+b=2\sqrt{2}$代入得：
原式$=-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=-\dfrac{1×\sqrt{2}}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
$-\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
分式化简求值，因式分解，二次根式运算
【点评】
本题属于基础综合题，将分式运算和二次根式计算结合考查，解题时优先对原式化简、再代入整体值计算可大幅减少计算量，要注意互为相反数的因式约分后符号变化，最终计算结果需化为最简二次根式。
【难度系数】
0.6
15.若$x=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}),y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3}),$
求下列各式的值：
(1) $\frac{x}{y}-\frac{y}{x};$
(2) $x^2 - xy + y^2.$
求下列各式的值：
(1) $\frac{x}{y}-\frac{y}{x};$
(2) $x^2 - xy + y^2.$
答案
15. (1) 提示:$x + y = \sqrt{5}$,$x - y = \sqrt{3}$,$xy = \frac{1}{2}$，
原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=2\sqrt{15}$.
(2) 原式$=(x-y)^2 + xy = (\sqrt{3})^2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}=2\sqrt{15}$.
(2) 原式$=(x-y)^2 + xy = (\sqrt{3})^2 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.
解析
【分析】
观察x、y的形式为共轭二次根式，若直接代入所求代数式计算，步骤繁琐且易出错。因此解题思路为：①先计算出x+y、x-y、xy三个整体的值；②将所求的两个代数式通过通分、因式分解、配方等方式变形为用x+y、x-y、xy表示的形式；③将前面算出的整体值代入变形后的式子计算即可得到结果，避免复杂的根式运算。
【解析】
首先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{3}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})×\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]=\frac{1}{4}×(5-3)=\frac{1}{2}$
(1) 对$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$通分变形：
原式$=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$
代入上述值计算：
原式$=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{15}$
(2) 对$x^2-xy+y^2$配方变形：
原式$=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy$
代入上述值计算：
原式$=(\sqrt{3})^2+\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $2\sqrt{15}$；(2) $\frac{7}{2}$
【知识点】
二次根式的运算，代数式化简求值，因式分解
【点评】
本题考查二次根式的条件求值问题，核心技巧是整体代入思想的运用，先计算两个根式的和、差、积，再将所求代数式变形为可整体代入的形式，能大幅简化运算，降低出错率，需熟练掌握代数式的通分、因式分解、配方等变形技巧。
【难度系数】
0.7
观察x、y的形式为共轭二次根式，若直接代入所求代数式计算，步骤繁琐且易出错。因此解题思路为：①先计算出x+y、x-y、xy三个整体的值；②将所求的两个代数式通过通分、因式分解、配方等方式变形为用x+y、x-y、xy表示的形式；③将前面算出的整体值代入变形后的式子计算即可得到结果，避免复杂的根式运算。
【解析】
首先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{5}$
$x-y=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\sqrt{3}$
$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})×\frac{1}{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2]=\frac{1}{4}×(5-3)=\frac{1}{2}$
(1) 对$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$通分变形：
原式$=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$
代入上述值计算：
原式$=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{15}$
(2) 对$x^2-xy+y^2$配方变形：
原式$=x^2-2xy+y^2+xy=(x-y)^2+xy$
代入上述值计算：
原式$=(\sqrt{3})^2+\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$
【答案】
(1) $2\sqrt{15}$；(2) $\frac{7}{2}$
【知识点】
二次根式的运算，代数式化简求值，因式分解
【点评】
本题考查二次根式的条件求值问题，核心技巧是整体代入思想的运用，先计算两个根式的和、差、积，再将所求代数式变形为可整体代入的形式，能大幅简化运算，降低出错率，需熟练掌握代数式的通分、因式分解、配方等变形技巧。
【难度系数】
0.7
