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16.直角三角形的两条直角边的长分别为$2\sqrt{3}+1$和$2\sqrt{3}-1$，求它的周长和面积.
答案
16. $4\sqrt{3}+\sqrt{26}$；$\frac{11}{2}$.
解析
【分析】
要计算直角三角形的周长和面积，首先明确两个核心公式：①周长=两条直角边长度之和+斜边长度；②面积=1/2×两条直角边的乘积。解题可分三步进行：第一步，用勾股定理求斜边，计算直角边平方时可借助完全平方公式简化运算；第二步，将三条边相加合并同类二次根式得到周长；第三步，用平方差公式计算两条直角边的乘积，再乘1/2即可快速得到面积，避免复杂运算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为$a=2\sqrt{3}+1$，$b=2\sqrt{3}-1$，斜边为$c$。
1. 求斜边长度：
根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}c^2&=a^2+b^2\\&=(2\sqrt{3}+1)^2+(2\sqrt{3}-1)^2\\&=(12+4\sqrt{3}+1)+(12-4\sqrt{3}+1)\\&=26\end{aligned}$
∵边长为正数，
∴$c=\sqrt{26}$
2. 求周长：
$\begin{aligned}周长&=a+b+c\\&=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{26}\\&=4\sqrt{3}+\sqrt{26}\end{aligned}$
3. 求面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)\\&=\frac{1}{2}×(12-1)\\&=\frac{11}{2}\end{aligned}$
【答案】
周长为$4\sqrt{3}+\sqrt{26}$，面积为$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 二次根式运算
3. 乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算与几何计算的结合题型，解题关键是合理运用完全平方公式和平方差公式简化计算，减少运算量，同时注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.75
要计算直角三角形的周长和面积，首先明确两个核心公式：①周长=两条直角边长度之和+斜边长度；②面积=1/2×两条直角边的乘积。解题可分三步进行：第一步，用勾股定理求斜边，计算直角边平方时可借助完全平方公式简化运算；第二步，将三条边相加合并同类二次根式得到周长；第三步，用平方差公式计算两条直角边的乘积，再乘1/2即可快速得到面积，避免复杂运算。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为$a=2\sqrt{3}+1$，$b=2\sqrt{3}-1$，斜边为$c$。
1. 求斜边长度：
根据勾股定理可得：
$\begin{aligned}c^2&=a^2+b^2\\&=(2\sqrt{3}+1)^2+(2\sqrt{3}-1)^2\\&=(12+4\sqrt{3}+1)+(12-4\sqrt{3}+1)\\&=26\end{aligned}$
∵边长为正数，
∴$c=\sqrt{26}$
2. 求周长：
$\begin{aligned}周长&=a+b+c\\&=(2\sqrt{3}+1)+(2\sqrt{3}-1)+\sqrt{26}\\&=4\sqrt{3}+\sqrt{26}\end{aligned}$
3. 求面积：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2}ab\\&=\frac{1}{2}×(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)\\&=\frac{1}{2}×(12-1)\\&=\frac{11}{2}\end{aligned}$
【答案】
周长为$4\sqrt{3}+\sqrt{26}$，面积为$\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 二次根式运算
3. 乘法公式应用
【点评】
本题是二次根式运算与几何计算的结合题型，解题关键是合理运用完全平方公式和平方差公式简化计算，减少运算量，同时注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.75
17.图1-1-8是由边长为a cm的正方形地砖铺设的地面示意图，求小明沿图中折线A→B→C→D所走的路程.(结果带根号)
答案
17. $(2\sqrt{5}+2)a\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
要求折线A→B→C→D的总路程，只需要分别求出AB、BC、CD三段的长度再相加即可。结合网格特点，每段斜线段可看作直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度，竖直线段可直接通过数格子得到长度，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
已知每个小正方形地砖的边长为$a\ \mathrm{cm}$：
1. 计算$AB$的长度：$AB$对应的直角三角形水平直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，竖直直角边长为$2a\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a\ \mathrm{cm}$
2. 计算$BC$的长度：$BC$为竖直方向的线段，共占2个小正方形边长，故$BC=2a\ \mathrm{cm}$
3. 计算$CD$的长度：$CD$对应的直角三角形水平直角边长为$2a\ \mathrm{cm}$，竖直直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a\ \mathrm{cm}$
总路程为三段长度之和：
$AB+BC+CD=\sqrt{5}a+2a+\sqrt{5}a=(2\sqrt{5}+2)a\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(2\sqrt{5}+2)a\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的应用，二次根式化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础应用题，结合网格场景考查勾股定理和二次根式运算的结合，解题的核心是能准确从网格中提取线段对应的直角边长度，计算过程需要注意二次根式化简的规则。
【难度系数】
0.7
要求折线A→B→C→D的总路程，只需要分别求出AB、BC、CD三段的长度再相加即可。结合网格特点，每段斜线段可看作直角三角形的斜边，利用勾股定理计算长度，竖直线段可直接通过数格子得到长度，最后合并同类二次根式得到结果。
【解析】
已知每个小正方形地砖的边长为$a\ \mathrm{cm}$：
1. 计算$AB$的长度：$AB$对应的直角三角形水平直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，竖直直角边长为$2a\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a\ \mathrm{cm}$
2. 计算$BC$的长度：$BC$为竖直方向的线段，共占2个小正方形边长，故$BC=2a\ \mathrm{cm}$
3. 计算$CD$的长度：$CD$对应的直角三角形水平直角边长为$2a\ \mathrm{cm}$，竖直直角边长为$a\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{(2a)^2+a^2}=\sqrt{5a^2}=\sqrt{5}a\ \mathrm{cm}$
总路程为三段长度之和：
$AB+BC+CD=\sqrt{5}a+2a+\sqrt{5}a=(2\sqrt{5}+2)a\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(2\sqrt{5}+2)a\ \mathrm{cm}$
【知识点】
勾股定理的应用，二次根式化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础应用题，结合网格场景考查勾股定理和二次根式运算的结合，解题的核心是能准确从网格中提取线段对应的直角边长度，计算过程需要注意二次根式化简的规则。
【难度系数】
0.7
18. 图1-1-9是一个圆心为O、半径为r的圆.
（1）请你设想一种分割方法，把这个圆的面积四等分，并与同学们交流.
（2）如图1-1-10，同圆心O的三个小圆把大圆的面积四等分，求这三个小圆的半径OB，OC，OD的长.
（1）请你设想一种分割方法，把这个圆的面积四等分，并与同学们交流.
（2）如图1-1-10，同圆心O的三个小圆把大圆的面积四等分，求这三个小圆的半径OB，OC，OD的长.
答案
18. (1) 答案略.
(2)$OB=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，$OD=\frac{1}{2}r$.
(2)$OB=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，$OD=\frac{1}{2}r$.
解析
【分析】
（1）四等分圆面积只需将圆拆分为4个面积相等的部分即可，常见方法如过圆心作两条互相垂直的直径，将圆分成4个全等扇形，也可采用同心圆分割等方法，方法不唯一。
（2）第二问的核心是明确等分关系：三个小圆把大圆面积四等分后，从内到外每一层（小圆或圆环）的面积都等于大圆面积的$\frac{1}{4}$。我们可以先计算出大圆面积，再根据不同半径对应的圆面积的份数关系列方程，结合二次根式化简即可求出三个小圆的半径。
【解析】
（1）答案不唯一，合理即可，示例：过圆心O作两条互相垂直的直径，即可将圆面积四等分。
（2）已知大圆半径为$r$，则大圆面积$S=π r^2$，四等分后每部分的面积为$\frac{S}{4}=\frac{π r^2}{4}$。
① 求$OD$的长：
以$OD$为半径的最内侧小圆面积恰好等于1份四等分面积，列方程得：
$π· OD^2=\frac{1}{4}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OD^2=\frac{r^2}{4}$，
∵半径为正数，
∴$OD=\sqrt{\frac{r^2}{4}}=\frac{1}{2}r$。
② 求$OC$的长：
以$OC$为半径的圆的面积等于2份四等分面积，列方程得：
$π· OC^2=2×\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{2}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OC^2=\frac{r^2}{2}$，
∵半径为正数，
∴$OC=\sqrt{\frac{r^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}r$。
③ 求$OB$的长：
以$OB$为半径的圆的面积等于3份四等分面积，列方程得：
$π· OB^2=3×\frac{1}{4}π r^2=\frac{3}{4}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OB^2=\frac{3r^2}{4}$，
∵半径为正数，
∴$OB=\sqrt{\frac{3r^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
【答案】
（1）略；
（2）$OB=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
【知识点】
圆的面积计算，二次根式化简，方程思想
【点评】
本题第一问为开放性问题，能有效锻炼发散思维，第二问侧重考察基础公式的应用能力，需要理清不同半径对应的圆面积的份数关系，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）四等分圆面积只需将圆拆分为4个面积相等的部分即可，常见方法如过圆心作两条互相垂直的直径，将圆分成4个全等扇形，也可采用同心圆分割等方法，方法不唯一。
（2）第二问的核心是明确等分关系：三个小圆把大圆面积四等分后，从内到外每一层（小圆或圆环）的面积都等于大圆面积的$\frac{1}{4}$。我们可以先计算出大圆面积，再根据不同半径对应的圆面积的份数关系列方程，结合二次根式化简即可求出三个小圆的半径。
【解析】
（1）答案不唯一，合理即可，示例：过圆心O作两条互相垂直的直径，即可将圆面积四等分。
（2）已知大圆半径为$r$，则大圆面积$S=π r^2$，四等分后每部分的面积为$\frac{S}{4}=\frac{π r^2}{4}$。
① 求$OD$的长：
以$OD$为半径的最内侧小圆面积恰好等于1份四等分面积，列方程得：
$π· OD^2=\frac{1}{4}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OD^2=\frac{r^2}{4}$，
∵半径为正数，
∴$OD=\sqrt{\frac{r^2}{4}}=\frac{1}{2}r$。
② 求$OC$的长：
以$OC$为半径的圆的面积等于2份四等分面积，列方程得：
$π· OC^2=2×\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{2}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OC^2=\frac{r^2}{2}$，
∵半径为正数，
∴$OC=\sqrt{\frac{r^2}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}r$。
③ 求$OB$的长：
以$OB$为半径的圆的面积等于3份四等分面积，列方程得：
$π· OB^2=3×\frac{1}{4}π r^2=\frac{3}{4}π r^2$
两边同时约去$π$，得$OB^2=\frac{3r^2}{4}$，
∵半径为正数，
∴$OB=\sqrt{\frac{3r^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$。
【答案】
（1）略；
（2）$OB=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，$OC=\frac{\sqrt{2}}{2}r$，$OD=\frac{1}{2}r$。
【知识点】
圆的面积计算，二次根式化简，方程思想
【点评】
本题第一问为开放性问题，能有效锻炼发散思维，第二问侧重考察基础公式的应用能力，需要理清不同半径对应的圆面积的份数关系，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
