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14.在某次摸奖活动中,组委会发行了2元券面的彩票300万张,并设立了以下奖项:
特等奖2个,奖品为小轿车;
一等奖10个,奖品为面包车;
二等奖50个,奖品为豪华摩托车;
三等奖100个,奖品是34英寸彩电;
四等奖200个,奖品是25英寸彩电;
五等奖1000个,奖品是复读机.
在此次摸奖活动中,摸奖一次,
(1)中奖的概率是多大?
(2)中彩电的概率是多大?
特等奖2个,奖品为小轿车;
一等奖10个,奖品为面包车;
二等奖50个,奖品为豪华摩托车;
三等奖100个,奖品是34英寸彩电;
四等奖200个,奖品是25英寸彩电;
五等奖1000个,奖品是复读机.
在此次摸奖活动中,摸奖一次,
(1)中奖的概率是多大?
(2)中彩电的概率是多大?
答案
14. (1) 0.0454%
(2) 0.01%.
(2) 0.01%.
解析
【分析】
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确摸一次彩票的所有等可能结果总数为300万张；接下来分别找出两个问题对应的符合条件的结果数：第一问统计所有奖项的总名额，第二问统计属于彩电奖项（三等奖、四等奖）的总名额；最后根据概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算，再将结果换算为百分数即可。
【解析】
解：已知本次活动共发行彩票300万张，即3000000张，摸一次时每张彩票被摸到的可能性相等。
(1) 先计算总中奖名额：
总中奖名额 = 2+10+50+100+200+1000 = 1362（个）
根据概率公式：
$P(中奖)=\frac{总中奖名额}{总彩票数}=\frac{1362}{3000000}=0.000454=0.0454\%$
(2) 中彩电的为三等奖和四等奖，对应名额总和为：100+200=300（个）
同理可得：
$P(中彩电)=\frac{300}{3000000}=0.0001=0.01\%$
【答案】
(1) $\boxed{0.0454\%}$；(2) $\boxed{0.01\%}$
【知识点】
概率公式应用，等可能事件计算，百分数换算
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查对概率基本公式的掌握，解题时需注意准确统计对应事件的数量，计算大数除法时要注意位数对齐，避免因粗心算错结果。
【难度系数】
0.8
本题属于等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确摸一次彩票的所有等可能结果总数为300万张；接下来分别找出两个问题对应的符合条件的结果数：第一问统计所有奖项的总名额，第二问统计属于彩电奖项（三等奖、四等奖）的总名额；最后根据概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果总数”计算，再将结果换算为百分数即可。
【解析】
解：已知本次活动共发行彩票300万张，即3000000张，摸一次时每张彩票被摸到的可能性相等。
(1) 先计算总中奖名额：
总中奖名额 = 2+10+50+100+200+1000 = 1362（个）
根据概率公式：
$P(中奖)=\frac{总中奖名额}{总彩票数}=\frac{1362}{3000000}=0.000454=0.0454\%$
(2) 中彩电的为三等奖和四等奖，对应名额总和为：100+200=300（个）
同理可得：
$P(中彩电)=\frac{300}{3000000}=0.0001=0.01\%$
【答案】
(1) $\boxed{0.0454\%}$；(2) $\boxed{0.01\%}$
【知识点】
概率公式应用，等可能事件计算，百分数换算
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查对概率基本公式的掌握，解题时需注意准确统计对应事件的数量，计算大数除法时要注意位数对齐，避免因粗心算错结果。
【难度系数】
0.8
15.张彬和王华同学为得到一张观看足球比赛的入场券,各自设计了一种方案.
张彬的方案:设计一个可以自由转动的转盘,如图6-5-2,随意转动转盘,当指针指向阴影区域时,张彬得到入场券;否则,王华得到入场券.
图6-5-2
王华的方案:将三个完全相同的小球分别标上数字1,2,3后,放入一个不透明的袋子中,从中随机取出一个小球,然后放回搅匀,再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数,王华得到入场券;否则,张彬得到入场券.
请你运用所学的知识,分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平.若不公平,请修改方案使之公平.
张彬的方案:设计一个可以自由转动的转盘,如图6-5-2,随意转动转盘,当指针指向阴影区域时,张彬得到入场券;否则,王华得到入场券.
图6-5-2
王华的方案:将三个完全相同的小球分别标上数字1,2,3后,放入一个不透明的袋子中,从中随机取出一个小球,然后放回搅匀,再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数,王华得到入场券;否则,张彬得到入场券.
请你运用所学的知识,分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平.若不公平,请修改方案使之公平.
答案
15. 张彬的方案:$P(张彬)=\frac{19}{36},P(王华)=\frac{17}{36}$.
王华的方案:$P(张彬)=\frac{4}{9},P(王华)=\frac{5}{9}$.
所以,两方案都不公平.方案修改建议略.
王华的方案:$P(张彬)=\frac{4}{9},P(王华)=\frac{5}{9}$.
所以,两方案都不公平.方案修改建议略.
解析
【分析】
判断方案是否公平的核心是比较双方获得入场券的概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平。①处理张彬的转盘方案时，利用转盘总圆心角为360°，先计算空白区域总圆心角，再推导阴影区域总圆心角，阴影、空白区域圆心角分别占360°的比值就是两人各自的获胜概率。②处理王华的摸球方案时，属于有放回的两次随机试验，先列出所有等可能的结果，分别统计两次数字和为偶数、奇数的结果数，结果数占总结果数的比值就是对应人员的获胜概率。最后对比两个方案中两人的概率判断公平性，修改方案只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
分析张彬的方案
转盘总圆心角为$360°$，已知空白区域的两个圆心角为$100°$和$70°$，因此：
空白区域总圆心角$=100°+70°=170°$
阴影区域总圆心角$=360°-170°=190°$
$P(\mathrm{张彬得到入场券})=\frac{\mathrm{阴影区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{190°}{360°}=\frac{19}{36}$
$P(\mathrm{王华得到入场券})=\frac{\mathrm{空白区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{170°}{360°}=\frac{17}{36}$
因为$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，所以张彬的方案不公平。
分析王华的方案
两次有放回摸球，所有等可能的结果为：$(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)$，共9种。
其中两次数字和为偶数的结果有$(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(3,3)$，共5种；和为奇数的结果有4种。
$P(\mathrm{王华得到入场券})=\frac{\mathrm{和为偶数的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$
$P(\mathrm{张彬得到入场券})=\frac{\mathrm{和为奇数的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{9}$
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，所以王华的方案也不公平。
修改方案示例：可将张彬的转盘调整为阴影、空白区域圆心角均为$180°$，或把王华的方案改为“两次数字和大于4时王华得入场券，小于等于4时张彬得入场券”，修改方案不唯一，保证双方获胜概率相等即可。
【答案】
两个方案都不公平。张彬的方案：$P(\mathrm{张彬})=\frac{19}{36},P(\mathrm{王华})=\frac{17}{36}$；王华的方案：$P(\mathrm{张彬})=\frac{4}{9},P(\mathrm{王华})=\frac{5}{9}$。修改方案略（合理即可）。
【知识点】
游戏公平性判断，概率计算，列表法求概率
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是明确游戏公平的本质是双方获胜概率相等，通过计算对应事件的概率即可判断公平性，修改方案的灵活性较强，能很好地考查对概率意义的理解。
【难度系数】
0.7
判断方案是否公平的核心是比较双方获得入场券的概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平。①处理张彬的转盘方案时，利用转盘总圆心角为360°，先计算空白区域总圆心角，再推导阴影区域总圆心角，阴影、空白区域圆心角分别占360°的比值就是两人各自的获胜概率。②处理王华的摸球方案时，属于有放回的两次随机试验，先列出所有等可能的结果，分别统计两次数字和为偶数、奇数的结果数，结果数占总结果数的比值就是对应人员的获胜概率。最后对比两个方案中两人的概率判断公平性，修改方案只要保证双方获胜概率相等即可。
【解析】
分析张彬的方案
转盘总圆心角为$360°$，已知空白区域的两个圆心角为$100°$和$70°$，因此：
空白区域总圆心角$=100°+70°=170°$
阴影区域总圆心角$=360°-170°=190°$
$P(\mathrm{张彬得到入场券})=\frac{\mathrm{阴影区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{190°}{360°}=\frac{19}{36}$
$P(\mathrm{王华得到入场券})=\frac{\mathrm{空白区域圆心角}}{\mathrm{总圆心角}}=\frac{170°}{360°}=\frac{17}{36}$
因为$\frac{19}{36}≠\frac{17}{36}$，所以张彬的方案不公平。
分析王华的方案
两次有放回摸球，所有等可能的结果为：$(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)$，共9种。
其中两次数字和为偶数的结果有$(1,1)、(1,3)、(2,2)、(3,1)、(3,3)$，共5种；和为奇数的结果有4种。
$P(\mathrm{王华得到入场券})=\frac{\mathrm{和为偶数的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{5}{9}$
$P(\mathrm{张彬得到入场券})=\frac{\mathrm{和为奇数的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{4}{9}$
因为$\frac{5}{9}≠\frac{4}{9}$，所以王华的方案也不公平。
修改方案示例：可将张彬的转盘调整为阴影、空白区域圆心角均为$180°$，或把王华的方案改为“两次数字和大于4时王华得入场券，小于等于4时张彬得入场券”，修改方案不唯一，保证双方获胜概率相等即可。
【答案】
两个方案都不公平。张彬的方案：$P(\mathrm{张彬})=\frac{19}{36},P(\mathrm{王华})=\frac{17}{36}$；王华的方案：$P(\mathrm{张彬})=\frac{4}{9},P(\mathrm{王华})=\frac{5}{9}$。修改方案略（合理即可）。
【知识点】
游戏公平性判断，概率计算，列表法求概率
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题核心是明确游戏公平的本质是双方获胜概率相等，通过计算对应事件的概率即可判断公平性，修改方案的灵活性较强，能很好地考查对概率意义的理解。
【难度系数】
0.7
