登录
16.抽屉里有混在一起的尺码相同的4双黑袜子和1双白袜子.
（1）在不看的情况下,随意摸出1只袜子是黑色的概率是多少?
（2）在不看的情况下,随意摸出2只袜子,估计它们恰好同色的概率是多少.
（3）在不看的情况下,随意摸出1只袜子并把它放回,搅匀后再随意摸出1只,两次摸到的袜子恰好同色的概率是多少?
（1）在不看的情况下,随意摸出1只袜子是黑色的概率是多少?
（2）在不看的情况下,随意摸出2只袜子,估计它们恰好同色的概率是多少.
（3）在不看的情况下,随意摸出1只袜子并把它放回,搅匀后再随意摸出1只,两次摸到的袜子恰好同色的概率是多少?
答案
16. 树状图示意图如下：
(1) $\frac{4}{5}$.
(2) $P(同色)=\frac{29}{45}$.
(3) $\frac{17}{25}$.
解析
【分析】
解题前先明确袜子总数量：4双黑袜子共8只，1双白袜子共2只，总计10只袜子，且每只袜子被摸到的可能性相等，属于古典概型问题。
（1）求摸1只袜子是黑色的概率，直接用黑色袜子的数量除以袜子总数量即可。
（2）摸2只袜子是不放回抽样，恰好同色包含“2只都是黑色”和“2只都是白色”两种互斥情况，分别计算两种情况的结果数相加，再除以总结果数即可得到概率。
（3）摸出1只放回再摸是有放回抽样，两次抽样相互独立，总结果数为两次抽样的可能数相乘，同样计算“两次都黑”加“两次都白”的结果数，除以总结果数即可得概率。
【解析】
首先计算总袜子数：4双黑袜子共8只，1双白袜子共2只，总袜子数为$8+2=10$只，每只袜子被摸到的概率相等。
（1）随意摸1只袜子，总共有10种等可能的结果，其中摸到黑色袜子的结果有8种，因此：
$P(\mathrm{摸出1只黑袜子})=\frac{\mathrm{黑色袜子数}}{\mathrm{总袜子数}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
（2）随意摸2只袜子属于不放回抽样，按顺序计数总等可能结果数为$10×9=90$：
摸出2只都是黑色的结果数：$8×7=56$
摸出2只都是白色的结果数：$2×1=2$
同色的结果共有$56+2=58$种，故：
$P(\mathrm{同色})=\frac{58}{90}=\frac{29}{45}$
（3）有放回摸两次袜子，每次摸取都有10种等可能结果，总等可能结果数为$10×10=100$：
两次都摸到黑色的结果数：$8×8=64$
两次都摸到白色的结果数：$2×2=4$
同色的结果共有$64+4=68$种，故：
$P(\mathrm{同色})=\frac{68}{100}=\frac{17}{25}$
【答案】
(1) $\frac{4}{5}$.
(2) $P(同色)=\frac{29}{45}$.
(3) $\frac{17}{25}$.
【知识点】
古典概型计算、不放回抽样概率、有放回抽样概率
【点评】
本题结合生活场景考查概率计算，核心是区分放回与不放回两种抽样方式的差异，解题时需准确计数总情况数和符合要求的情况数，能较好地考查对概率基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题前先明确袜子总数量：4双黑袜子共8只，1双白袜子共2只，总计10只袜子，且每只袜子被摸到的可能性相等，属于古典概型问题。
（1）求摸1只袜子是黑色的概率，直接用黑色袜子的数量除以袜子总数量即可。
（2）摸2只袜子是不放回抽样，恰好同色包含“2只都是黑色”和“2只都是白色”两种互斥情况，分别计算两种情况的结果数相加，再除以总结果数即可得到概率。
（3）摸出1只放回再摸是有放回抽样，两次抽样相互独立，总结果数为两次抽样的可能数相乘，同样计算“两次都黑”加“两次都白”的结果数，除以总结果数即可得概率。
【解析】
首先计算总袜子数：4双黑袜子共8只，1双白袜子共2只，总袜子数为$8+2=10$只，每只袜子被摸到的概率相等。
（1）随意摸1只袜子，总共有10种等可能的结果，其中摸到黑色袜子的结果有8种，因此：
$P(\mathrm{摸出1只黑袜子})=\frac{\mathrm{黑色袜子数}}{\mathrm{总袜子数}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
（2）随意摸2只袜子属于不放回抽样，按顺序计数总等可能结果数为$10×9=90$：
摸出2只都是黑色的结果数：$8×7=56$
摸出2只都是白色的结果数：$2×1=2$
同色的结果共有$56+2=58$种，故：
$P(\mathrm{同色})=\frac{58}{90}=\frac{29}{45}$
（3）有放回摸两次袜子，每次摸取都有10种等可能结果，总等可能结果数为$10×10=100$：
两次都摸到黑色的结果数：$8×8=64$
两次都摸到白色的结果数：$2×2=4$
同色的结果共有$64+4=68$种，故：
$P(\mathrm{同色})=\frac{68}{100}=\frac{17}{25}$
【答案】
(1) $\frac{4}{5}$.
(2) $P(同色)=\frac{29}{45}$.
(3) $\frac{17}{25}$.
【知识点】
古典概型计算、不放回抽样概率、有放回抽样概率
【点评】
本题结合生活场景考查概率计算，核心是区分放回与不放回两种抽样方式的差异，解题时需准确计数总情况数和符合要求的情况数，能较好地考查对概率基础概念的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
17. 将正面分别标有数字1,2,3,4,6,背面花色相同的五张卡片洗匀后,背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张,不放回,再从中随机抽取一张.
（1）求抽出的两张卡片上的数字恰好相邻的概率.
（2）抽得的第一张卡片上的数字记为$a$,第二张卡片上的数字记为$b$,求点$P(a,b)$在直线$y = x - 2$上的概率.
（1）求抽出的两张卡片上的数字恰好相邻的概率.
（2）抽得的第一张卡片上的数字记为$a$,第二张卡片上的数字记为$b$,求点$P(a,b)$在直线$y = x - 2$上的概率.
答案
(1) $P = \frac{3}{10}$.
(2) $P = \frac{3}{20}$.
想一想,(1)和(2)的分析方法相同吗?
(2) $P = \frac{3}{20}$.
想一想,(1)和(2)的分析方法相同吗?
解析
【分析】
本题属于不放回抽样的古典概型问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的总结果数，不放回抽取两张卡片时，第一次抽取有5种可能，第二次抽取剩余4种可能，共有$5×4=20$种等可能结果，也可通过画树状图或列表法直观列出所有结果；第(1)问先找出数字相邻的数对，注意抽取顺序不同属于不同结果，统计符合条件的结果数后用“符合条件的结果数÷总结果数”计算概率；第(2)问先将直线解析式变形为$b=a-2$，枚举所有满足该等式的$(a,b)$数对，统计个数后再用概率公式计算。
【解析】
从五张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果共有$5×4=20$种。
（1）抽出的两张卡片数字相邻的情况有：$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$，共6种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
（2）点$P(a,b)$在直线$y=x-2$上，即满足$b=a-2$，枚举符合条件的数对：
当$a=3$时，$b=1$；当$a=4$时，$b=2$；当$a=6$时，$b=4$，共3种符合条件的结果。
所以概率$P=\dfrac{3}{20}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{10}$；(2) $\dfrac{3}{20}$
【知识点】
古典概型概率计算，不放回抽样，一次函数性质
【点评】
本题综合考查概率计算与一次函数的基础知识，解题的关键是准确计算不放回抽样的总结果数，枚举符合条件的结果时要做到不重不漏，注意区分有放回和不放回抽样的差异。
【难度系数】
0.7
本题属于不放回抽样的古典概型问题，解题思路如下：首先确定所有等可能的总结果数，不放回抽取两张卡片时，第一次抽取有5种可能，第二次抽取剩余4种可能，共有$5×4=20$种等可能结果，也可通过画树状图或列表法直观列出所有结果；第(1)问先找出数字相邻的数对，注意抽取顺序不同属于不同结果，统计符合条件的结果数后用“符合条件的结果数÷总结果数”计算概率；第(2)问先将直线解析式变形为$b=a-2$，枚举所有满足该等式的$(a,b)$数对，统计个数后再用概率公式计算。
【解析】
从五张卡片中不放回随机抽取两张，所有等可能的结果共有$5×4=20$种。
（1）抽出的两张卡片数字相邻的情况有：$(1,2)$、$(2,1)$、$(2,3)$、$(3,2)$、$(3,4)$、$(4,3)$，共6种符合条件的结果。
根据概率公式：$P=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$。
（2）点$P(a,b)$在直线$y=x-2$上，即满足$b=a-2$，枚举符合条件的数对：
当$a=3$时，$b=1$；当$a=4$时，$b=2$；当$a=6$时，$b=4$，共3种符合条件的结果。
所以概率$P=\dfrac{3}{20}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{10}$；(2) $\dfrac{3}{20}$
【知识点】
古典概型概率计算，不放回抽样，一次函数性质
【点评】
本题综合考查概率计算与一次函数的基础知识，解题的关键是准确计算不放回抽样的总结果数，枚举符合条件的结果时要做到不重不漏，注意区分有放回和不放回抽样的差异。
【难度系数】
0.7
