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10.某校甲、乙、丙、丁四名同学在运动会上参加$4× 100\mathrm{m}$接力比赛，其中甲跑第一棒，乙跑第二棒的概率是 ………………【 】
A.$\dfrac{1}{24}$
B.$\dfrac{1}{12}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{3}$
A.$\dfrac{1}{24}$
B.$\dfrac{1}{12}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分三步：第一步明确接力棒次是有顺序的，不同的棒次安排属于不同的等可能事件；第二步分别计算所有可能的棒次安排总数，以及满足“甲跑第一棒、乙跑第二棒”的安排数；第三步用符合条件的安排数除以总安排数，即可得到所求概率。
【解析】
首先计算4名同学参加接力的总等可能安排数：
第一棒可从4人中任选1人，有4种选择；第二棒从剩余3人中任选1人，有3种选择；第三棒从剩余2人中任选1人，有2种选择；第四棒只剩1人，有1种选择。
总安排数 = $4×3×2×1=24$ 种。
再计算符合条件的安排数：
甲固定跑第一棒，第一棒仅1种选择；乙固定跑第二棒，第二棒仅1种选择；第三棒从剩余的丙、丁2人中选1人，有2种选择；第四棒为剩余的1人，仅1种选择。
符合条件的安排数 = $1×1×2×1=2$ 种。
根据古典概型概率公式，所求概率 = 符合条件的安排数÷总安排数 = $2÷24=\frac{1}{12}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，排列应用
【点评】
本题考查基础概率的求解，核心是准确区分有序事件和无序事件，正确计数总情况数和符合要求的情况数，是概率部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算题，解题思路分三步：第一步明确接力棒次是有顺序的，不同的棒次安排属于不同的等可能事件；第二步分别计算所有可能的棒次安排总数，以及满足“甲跑第一棒、乙跑第二棒”的安排数；第三步用符合条件的安排数除以总安排数，即可得到所求概率。
【解析】
首先计算4名同学参加接力的总等可能安排数：
第一棒可从4人中任选1人，有4种选择；第二棒从剩余3人中任选1人，有3种选择；第三棒从剩余2人中任选1人，有2种选择；第四棒只剩1人，有1种选择。
总安排数 = $4×3×2×1=24$ 种。
再计算符合条件的安排数：
甲固定跑第一棒，第一棒仅1种选择；乙固定跑第二棒，第二棒仅1种选择；第三棒从剩余的丙、丁2人中选1人，有2种选择；第四棒为剩余的1人，仅1种选择。
符合条件的安排数 = $1×1×2×1=2$ 种。
根据古典概型概率公式，所求概率 = 符合条件的安排数÷总安排数 = $2÷24=\frac{1}{12}$。
【答案】
B
【知识点】
古典概型计算，分步计数原理，排列应用
【点评】
本题考查基础概率的求解，核心是准确区分有序事件和无序事件，正确计数总情况数和符合要求的情况数，是概率部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
11.如果m是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，n是从0,1,2三个数中任取的一个数，那么关于x的一元二次方程$x^2 - 2mx + n^2 = 0$有实数根的概率是………………【 】
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{7}{12}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确两个核心要点：一是一元二次方程有实数根的判定条件，二是古典概型的概率计算方法。首先，先根据一元二次方程根的判别式推导m和n需要满足的数量关系；其次，用乘法原理算出m、n取值的所有等可能结果总数，再统计出满足判别式条件的结果数，最后用“满足条件的结果数÷总结果数”即可求出所求概率。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2mx + n^2 = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=n^2$，代入得：
$\Delta = (-2m)^2 - 4×1× n^2 = 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$
方程有实数根，则$\Delta ≥ 0$，即$4(m^2 - n^2) ≥ 0$，化简得$m^2 ≥ n^2$。
因为m、n均为非负整数，所以$m^2 ≥ n^2$等价于$m ≥ n$。
接下来计算所有等可能的取值情况：
m从0、1、2、3中任取一个，共4种取法；n从0、1、2中任取一个，共3种取法，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
再统计满足$m≥ n$的结果：
①当m=0时，n只能取0，共1种；
②当m=1时，n可取0、1，共2种；
③当m=2时，n可取0、1、2，共3种；
④当m=3时，n可取0、1、2，共3种；
满足条件的结果共有$1+2+3+3=9$种。
所以方程有实数根的概率$P = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
【点评】
本题是代数与概率的基础综合题，既考查了一元二次方程根的情况和参数的对应关系，又考查了古典概型概率的计算逻辑，要求学生能熟练串联不同模块的基础知识点解决问题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确两个核心要点：一是一元二次方程有实数根的判定条件，二是古典概型的概率计算方法。首先，先根据一元二次方程根的判别式推导m和n需要满足的数量关系；其次，用乘法原理算出m、n取值的所有等可能结果总数，再统计出满足判别式条件的结果数，最后用“满足条件的结果数÷总结果数”即可求出所求概率。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - 2mx + n^2 = 0$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=n^2$，代入得：
$\Delta = (-2m)^2 - 4×1× n^2 = 4m^2 - 4n^2 = 4(m^2 - n^2)$
方程有实数根，则$\Delta ≥ 0$，即$4(m^2 - n^2) ≥ 0$，化简得$m^2 ≥ n^2$。
因为m、n均为非负整数，所以$m^2 ≥ n^2$等价于$m ≥ n$。
接下来计算所有等可能的取值情况：
m从0、1、2、3中任取一个，共4种取法；n从0、1、2中任取一个，共3种取法，总共有$4×3=12$种等可能的结果。
再统计满足$m≥ n$的结果：
①当m=0时，n只能取0，共1种；
②当m=1时，n可取0、1，共2种；
③当m=2时，n可取0、1、2，共3种；
④当m=3时，n可取0、1、2，共3种；
满足条件的结果共有$1+2+3+3=9$种。
所以方程有实数根的概率$P = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 列举法求概率
【点评】
本题是代数与概率的基础综合题，既考查了一元二次方程根的情况和参数的对应关系，又考查了古典概型概率的计算逻辑，要求学生能熟练串联不同模块的基础知识点解决问题。
【难度系数】
0.7
12.一个不透明袋中有5个红球、n个白球，从中任取1个球，恰好为白球的概率是$\frac{2}{3}$，那么n的值为………………【 】
A.20
B.16
C.10
D.1
A.20
B.16
C.10
D.1
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能情况的总数量。本题中“取到白球”的对应情况数是白球个数$n$，所有等可能情况的总数量是袋中红球与白球的总数$(5+n)$，结合题目给出的白球概率为$\frac{2}{3}$，我们可以直接列方程求解$n$，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：根据概率的计算公式可得：
$P(\mathrm{取到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{2}{3}$
代入对应数量列方程：
$\frac{n}{5+n}=\frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：
$3n=2(5+n)$
去括号：
$3n=10+2n$
移项计算得：
$n=10$
检验：当$n=10$时，总球数$5+n=15≠0$，且$n=10$是正整数，符合实际意义，因此$n=10$是方程的解。
【答案】
C
【知识点】
简单事件概率计算；解一元一次方程
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对概率公式的理解与运用，解题时要注意总情况数是袋中所有球的数量之和，不要误把红球数量当成总数量计算，求出结果后可结合实际场景验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆简单随机事件的概率计算公式：某事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以所有等可能情况的总数量。本题中“取到白球”的对应情况数是白球个数$n$，所有等可能情况的总数量是袋中红球与白球的总数$(5+n)$，结合题目给出的白球概率为$\frac{2}{3}$，我们可以直接列方程求解$n$，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
解：根据概率的计算公式可得：
$P(\mathrm{取到白球})=\frac{\mathrm{白球个数}}{\mathrm{球的总个数}}=\frac{2}{3}$
代入对应数量列方程：
$\frac{n}{5+n}=\frac{2}{3}$
交叉相乘去分母得：
$3n=2(5+n)$
去括号：
$3n=10+2n$
移项计算得：
$n=10$
检验：当$n=10$时，总球数$5+n=15≠0$，且$n=10$是正整数，符合实际意义，因此$n=10$是方程的解。
【答案】
C
【知识点】
简单事件概率计算；解一元一次方程
【点评】
本题属于概率基础应用题，核心考查对概率公式的理解与运用，解题时要注意总情况数是袋中所有球的数量之和，不要误把红球数量当成总数量计算，求出结果后可结合实际场景验证结果是否合理。
【难度系数】
0.8
13.不透明袋子中有4个大小相同的小球,其中2个白球、1个红球、1个黑球,每次从袋子中摸1个球,然后放回搅匀再摸.在摸球试验中得到下面表中试验数据:
（1）请将表中数据补充完整,并根据表中数据绘制折线图.
（2）摸球1次和摸球10次出现红球的频率值的差是多少?摸球10次和摸球20次出现红球的频率值的差呢?摸球30次和40次、摸球90次和100次、摸球180次和200次呢?从中你发现了什么规律?
（3）根据以上数据你能估计出红球出现的机会是多少吗?
（4）你能估计出白球出现的机会吗?你能估计出黑球出现的机会吗?试一试.
（1）请将表中数据补充完整,并根据表中数据绘制折线图.
（2）摸球1次和摸球10次出现红球的频率值的差是多少?摸球10次和摸球20次出现红球的频率值的差呢?摸球30次和40次、摸球90次和100次、摸球180次和200次呢?从中你发现了什么规律?
（3）根据以上数据你能估计出红球出现的机会是多少吗?
（4）你能估计出白球出现的机会吗?你能估计出黑球出现的机会吗?试一试.
答案
13. (1) 4，9，26，54；1，0.3，0.35，0.3，0.28，0.3，0.26，0.24，0.26，0.27. 图略.
(2) 0.60，0.10，−0.05，−0.02，0；随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近.
(3) 0.25.
(4) 0.5，0.25.
(2) 0.60，0.10，−0.05，−0.02，0；随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近.
(3) 0.25.
(4) 0.5，0.25.
解析
【分析】
解决本题首先要明确频数、频率和总试验次数的关系：频数=频率×总试验次数，频率=频数÷总试验次数，利用该公式补全表格数据；再通过计算不同试验次数下的频率差值，观察频率随试验次数增多的变化规律，最终根据“大量重复试验中，频率稳定值即为概率的估计值”求解各事件发生的概率即可。
【解析】
(1) 根据“频数=总次数×频率，频率=频数÷总次数”依次计算：
①摸球1次：频率=$\frac{1}{1}=1$；
②摸球10次：频数=$10×0.40=4$；
③摸球20次：频率=$\frac{6}{20}=0.3$；
④摸球30次：频数=$30×0.30=9$；
⑤摸球40次：频率=$\frac{14}{40}=0.35$；
⑥摸球50次：频率=$\frac{15}{50}=0.3$；
⑦摸球60次：频率=$\frac{17}{60}\approx0.28$；
⑧摸球70次：频率=$\frac{21}{70}=0.3$；
⑨摸球80次：频率=$\frac{21}{80}\approx0.26$；
⑩摸球90次：频率=$\frac{22}{90}\approx0.24$；
⑪摸球100次：频数=$100×0.26=26$；
⑫摸球140次：频率=$\frac{36}{140}\approx0.26$；
⑬摸球180次：频率=$\frac{49}{180}\approx0.27$；
⑭摸球200次：频数=$200×0.27=54$。
折线图以摸球次数为横轴、出现红球频率为纵轴，描点连线即可。
(2) 计算频率差：
摸球1次和10次的频率差：$1-0.40=0.60$；
摸球10次和20次的频率差：$0.40-0.3=0.10$；
摸球30次和40次的频率差：$0.30-0.35=-0.05$；
摸球90次和100次的频率差：$0.24-0.26=-0.02$；
摸球180次和200次的频率差：$0.27-0.27=0$。
观察差值可总结规律：随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近。
(3) 大量重复试验中，频率稳定值即为事件发生概率的估计值，观察可知红球频率稳定在0.25，即可估计红球出现的机会。
(4) 袋子中共有4个大小相同的小球，摸球为等可能试验，其中白球2个、黑球1个，结合等可能事件概率公式计算即可。
【答案】
(1) 补充的频数：4，9，26，54；补充的频率：1，0.3，0.35，0.3，0.28，0.3，0.26，0.24，0.26，0.27；图略
(2) 差依次为0.60，0.10，-0.05，-0.02，0；规律：随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近
(3) 0.25
(4) 白球：0.5，黑球：0.25
【知识点】
1. 频数与频率计算
2. 用频率估计概率
3. 等可能事件概率计算
【点评】
本题重点考查频率与概率的相关知识，解题关键是掌握频数、频率、总试验次数的换算关系，理解大量重复试验下频率与概率的联系，侧重对基础概念和统计规律的理解应用。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确频数、频率和总试验次数的关系：频数=频率×总试验次数，频率=频数÷总试验次数，利用该公式补全表格数据；再通过计算不同试验次数下的频率差值，观察频率随试验次数增多的变化规律，最终根据“大量重复试验中，频率稳定值即为概率的估计值”求解各事件发生的概率即可。
【解析】
(1) 根据“频数=总次数×频率，频率=频数÷总次数”依次计算：
①摸球1次：频率=$\frac{1}{1}=1$；
②摸球10次：频数=$10×0.40=4$；
③摸球20次：频率=$\frac{6}{20}=0.3$；
④摸球30次：频数=$30×0.30=9$；
⑤摸球40次：频率=$\frac{14}{40}=0.35$；
⑥摸球50次：频率=$\frac{15}{50}=0.3$；
⑦摸球60次：频率=$\frac{17}{60}\approx0.28$；
⑧摸球70次：频率=$\frac{21}{70}=0.3$；
⑨摸球80次：频率=$\frac{21}{80}\approx0.26$；
⑩摸球90次：频率=$\frac{22}{90}\approx0.24$；
⑪摸球100次：频数=$100×0.26=26$；
⑫摸球140次：频率=$\frac{36}{140}\approx0.26$；
⑬摸球180次：频率=$\frac{49}{180}\approx0.27$；
⑭摸球200次：频数=$200×0.27=54$。
折线图以摸球次数为横轴、出现红球频率为纵轴，描点连线即可。
(2) 计算频率差：
摸球1次和10次的频率差：$1-0.40=0.60$；
摸球10次和20次的频率差：$0.40-0.3=0.10$；
摸球30次和40次的频率差：$0.30-0.35=-0.05$；
摸球90次和100次的频率差：$0.24-0.26=-0.02$；
摸球180次和200次的频率差：$0.27-0.27=0$。
观察差值可总结规律：随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近。
(3) 大量重复试验中，频率稳定值即为事件发生概率的估计值，观察可知红球频率稳定在0.25，即可估计红球出现的机会。
(4) 袋子中共有4个大小相同的小球，摸球为等可能试验，其中白球2个、黑球1个，结合等可能事件概率公式计算即可。
【答案】
(1) 补充的频数：4，9，26，54；补充的频率：1，0.3，0.35，0.3，0.28，0.3，0.26，0.24，0.26，0.27；图略
(2) 差依次为0.60，0.10，-0.05，-0.02，0；规律：随着试验次数增多，红球出现的频率值逐渐趋于稳定，稳定在0.25附近
(3) 0.25
(4) 白球：0.5，黑球：0.25
【知识点】
1. 频数与频率计算
2. 用频率估计概率
3. 等可能事件概率计算
【点评】
本题重点考查频率与概率的相关知识，解题关键是掌握频数、频率、总试验次数的换算关系，理解大量重复试验下频率与概率的联系，侧重对基础概念和统计规律的理解应用。
【难度系数】
0.7
