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1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，如果$a = 20$，$c = 20\sqrt{2}$，那么$∠ B =$
$45°$
.答案
1. $45°$
解析
【分析】
本题是直角三角形求角度的基础题，解题思路清晰：首先在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，可先通过勾股定理求出另一条直角边的长度；再根据两条直角边的长度关系判断三角形的形状，进而求出∠B的度数。也可以直接利用三角函数的定义求出∠B的三角函数值，结合特殊角的三角函数值直接得到角度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理可得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(20\sqrt{2})^2-20^2}=\sqrt{800-400}=\sqrt{400}=20$
$\therefore a=b=20$，即$△ABC$为等腰直角三角形
$\therefore ∠B=∠A=\frac{180°-90°}{2}=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查解直角三角形的基础应用，解题方法灵活，既可以通过边的关系判断三角形形状求解，也可以通过三角函数值直接求角度，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形求角度的基础题，解题思路清晰：首先在直角三角形中，已知一条直角边和斜边，可先通过勾股定理求出另一条直角边的长度；再根据两条直角边的长度关系判断三角形的形状，进而求出∠B的度数。也可以直接利用三角函数的定义求出∠B的三角函数值，结合特殊角的三角函数值直接得到角度。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，由勾股定理可得：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(20\sqrt{2})^2-20^2}=\sqrt{800-400}=\sqrt{400}=20$
$\therefore a=b=20$，即$△ABC$为等腰直角三角形
$\therefore ∠B=∠A=\frac{180°-90°}{2}=45°$
【答案】
$45°$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形的性质；特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查解直角三角形的基础应用，解题方法灵活，既可以通过边的关系判断三角形形状求解，也可以通过三角函数值直接求角度，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图4-1-30,在$Rt△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$∠ BAC = 60°$,$∠ BAC$的平分线AD的长为15cm,则斜边AB的长为
$15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
.答案
2. $15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAD的度数，先在Rt△ACD中利用特殊角的三角函数求出AC的长度，最后在Rt△ABC中根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ B=180°-90°-60°=30°$，
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ CAD=30°$，$AD=15\mathrm{cm}$，
$\therefore \cos∠ CAD=\frac{AC}{AD}$，即$\cos30°=\frac{AC}{15}$，
$\therefore AC=15×\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，30°角对的直角边为AC，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AB=2AC=2×15×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的定义，30°直角三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是梳理清楚两个直角三角形的边角关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，计算过程中注意数值的约分简化。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合角平分线的定义得到∠CAD的度数，先在Rt△ACD中利用特殊角的三角函数求出AC的长度，最后在Rt△ABC中根据30°角所对直角边是斜边一半的性质即可求出AB的长度。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=60°$，
$\therefore ∠ B=180°-90°-60°=30°$，
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，$∠ CAD=30°$，$AD=15\mathrm{cm}$，
$\therefore \cos∠ CAD=\frac{AC}{AD}$，即$\cos30°=\frac{AC}{15}$，
$\therefore AC=15×\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{cm}$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，30°角对的直角边为AC，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AB=2AC=2×15×\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\mathrm{cm}$。
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
角平分线的定义，30°直角三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题关键是梳理清楚两个直角三角形的边角关系，结合特殊角的三角函数值即可求解，计算过程中注意数值的约分简化。
【难度系数】
0.7
3.如图4-1-31，在锐角$△ ABC$中，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin C = \frac{4}{5}$，$AC = 5$，则$△ ABC$的面积是
14
。答案
3. 14
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，需先求出BC边的长度和BC边上的高。我们可以过A作AD⊥BC于D，构造两个直角三角形求解：首先在Rt△ADC中，利用已知的sinC和AC的长度求出高AD和DC的长度；再在Rt△ABD中，根据cosB的值推出∠B=45°，得到BD=AD，求出BD的长度；最后将BD和DC相加得到BC的长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，AD为BC边上的高。
1. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，已知AC=5，$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{5}$，
则$AD = AC × \frac{4}{5} = 5 × \frac{4}{5} = 4$，
由勾股定理可得：$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
2. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此∠B=45°，
则∠BAD=90°-45°=45°，所以BD=AD=4。
3. 可得BC的长度为：$BC = BD + DC = 4 + 3 = 7$，
△ABC的面积为：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 7 × 4 = 14$。
【答案】
14
【知识点】
解直角三角形，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，核心是通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解边长，解题思路清晰，掌握辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的面积，需先求出BC边的长度和BC边上的高。我们可以过A作AD⊥BC于D，构造两个直角三角形求解：首先在Rt△ADC中，利用已知的sinC和AC的长度求出高AD和DC的长度；再在Rt△ABD中，根据cosB的值推出∠B=45°，得到BD=AD，求出BD的长度；最后将BD和DC相加得到BC的长度，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，AD为BC边上的高。
1. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，已知AC=5，$\sin C = \frac{AD}{AC} = \frac{4}{5}$，
则$AD = AC × \frac{4}{5} = 5 × \frac{4}{5} = 4$，
由勾股定理可得：$DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
2. 在Rt△ABD中，∠ADB=90°，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此∠B=45°，
则∠BAD=90°-45°=45°，所以BD=AD=4。
3. 可得BC的长度为：$BC = BD + DC = 4 + 3 = 7$，
△ABC的面积为：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 7 × 4 = 14$。
【答案】
14
【知识点】
解直角三角形，三角形面积计算，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的典型应用题型，核心是通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解边长，解题思路清晰，掌握辅助线的构造方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 在$△ ABC$中，$BC = \dfrac{\sqrt{2}}{3}$，$AB = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$，$AC = 1$，则$\cos A =$
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
。答案
4. $\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
解析
【分析】
本题要求角A的余弦值，我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：过点C作AB边上的高CD，把△ABC分成两个直角三角形，设AD的长为x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出公共边CD的平方，列方程求出x的长度，再根据直角三角形中锐角余弦的定义（邻边比斜边）计算cosA即可。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D，设$AD = x$，则$BD = AB - AD = \dfrac{\sqrt{7}}{3} - x$。
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$；
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$CD^2 = BC^2 - BD^2 = (\dfrac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\dfrac{\sqrt{7}}{3} - x)^2$；
联立两个式子可得：
$1 - x^2 = \dfrac{2}{9} - (\dfrac{7}{9} - \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x + x^2)$
化简右边：
$\dfrac{2}{9} - \dfrac{7}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x - x^2 = -\dfrac{5}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x - x^2$
两边消去$-x^2$，得：
$1 = -\dfrac{5}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x$
移项计算：
$\dfrac{2\sqrt{7}}{3}x = 1 + \dfrac{5}{9} = \dfrac{14}{9}$
解得：
$x = \dfrac{14}{9} × \dfrac{3}{2\sqrt{7}} = \dfrac{7}{3\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
在$Rt△ACD$中，$\cos A = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{x}{1} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角余弦定义
3. 二次根式化简
【点评】
这道题考查斜三角形中内角余弦值的求解，解题核心是通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形，利用勾股定理建立方程求解未知线段，再结合锐角三角函数的定义计算结果，计算时要注意二次根式的化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
本题要求角A的余弦值，我们可以通过作高将斜三角形转化为直角三角形求解：过点C作AB边上的高CD，把△ABC分成两个直角三角形，设AD的长为x，分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出公共边CD的平方，列方程求出x的长度，再根据直角三角形中锐角余弦的定义（邻边比斜边）计算cosA即可。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB，交AB于点D，设$AD = x$，则$BD = AB - AD = \dfrac{\sqrt{7}}{3} - x$。
在$Rt△ACD$中，由勾股定理得：$CD^2 = AC^2 - AD^2 = 1^2 - x^2 = 1 - x^2$；
在$Rt△BCD$中，由勾股定理得：$CD^2 = BC^2 - BD^2 = (\dfrac{\sqrt{2}}{3})^2 - (\dfrac{\sqrt{7}}{3} - x)^2$；
联立两个式子可得：
$1 - x^2 = \dfrac{2}{9} - (\dfrac{7}{9} - \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x + x^2)$
化简右边：
$\dfrac{2}{9} - \dfrac{7}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x - x^2 = -\dfrac{5}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x - x^2$
两边消去$-x^2$，得：
$1 = -\dfrac{5}{9} + \dfrac{2\sqrt{7}}{3}x$
移项计算：
$\dfrac{2\sqrt{7}}{3}x = 1 + \dfrac{5}{9} = \dfrac{14}{9}$
解得：
$x = \dfrac{14}{9} × \dfrac{3}{2\sqrt{7}} = \dfrac{7}{3\sqrt{7}} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$
在$Rt△ACD$中，$\cos A = \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{x}{1} = \dfrac{\sqrt{7}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{7}}{3}$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 锐角余弦定义
3. 二次根式化简
【点评】
这道题考查斜三角形中内角余弦值的求解，解题核心是通过作高将斜三角形转化为熟悉的直角三角形，利用勾股定理建立方程求解未知线段，再结合锐角三角函数的定义计算结果，计算时要注意二次根式的化简，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
5.如图4-1-32,在菱形ABCD中,DE⊥AB,如果DE=6,sinA=$\frac{3}{5}$,那么菱形ABCD的周长是
40
.答案
5. 40
解析
【分析】
要计算菱形的周长，首先回忆菱形的性质：菱形的四条边长度相等，因此只需要求出任意一条边的长度，再乘4即可得到周长。已知DE⊥AB，可得△ADE是直角三角形，题目给出了sinA的值和DE的长度，可利用正弦的定义（直角三角形中锐角的正弦等于对边与斜边的比值）求出斜边AD的长度，也就是菱形的边长，进而求出周长。
【解析】
解：
∵ DE⊥AB，
∴ △ADE是直角三角形，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，$\sin A=\frac{DE}{AD}$，
将$\sin A=\frac{3}{5}$，$DE=6$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{AD}$，
解得$AD=\frac{6×5}{3}=10$，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=BC=CD=AD=10$，
∴ 菱形ABCD的周长$=4×10=40$。
【答案】
40
【知识点】
菱形的性质；正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础应用题，结合了菱形性质与锐角三角函数的知识，解题核心是通过直角三角形中正弦的定义求出菱形的边长，再利用菱形四边相等的性质计算周长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算菱形的周长，首先回忆菱形的性质：菱形的四条边长度相等，因此只需要求出任意一条边的长度，再乘4即可得到周长。已知DE⊥AB，可得△ADE是直角三角形，题目给出了sinA的值和DE的长度，可利用正弦的定义（直角三角形中锐角的正弦等于对边与斜边的比值）求出斜边AD的长度，也就是菱形的边长，进而求出周长。
【解析】
解：
∵ DE⊥AB，
∴ △ADE是直角三角形，∠AED=90°，
在Rt△ADE中，$\sin A=\frac{DE}{AD}$，
将$\sin A=\frac{3}{5}$，$DE=6$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{6}{AD}$，
解得$AD=\frac{6×5}{3}=10$，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $AB=BC=CD=AD=10$，
∴ 菱形ABCD的周长$=4×10=40$。
【答案】
40
【知识点】
菱形的性质；正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础应用题，结合了菱形性质与锐角三角函数的知识，解题核心是通过直角三角形中正弦的定义求出菱形的边长，再利用菱形四边相等的性质计算周长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7
6.如图4-1-33,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,斜边AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.如果BC=4,△ADE的面积为5,那么sin∠CBE的值为
$\dfrac{3}{5}$
.答案
6. $\dfrac{3}{5}$
解析
【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到BE=AE，且△ADE与△BDE等底同高、面积相等，先求出△ABE的总面积；再结合△ABE的面积的两种计算方法，代入已知的BC长度求出AE的长，即可得到BE的长；最后在Rt△BCE中用勾股定理求出CE的长，根据正弦的定义计算sin∠CBE的值即可。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，BE=AE，ED⊥AB，
∴$\boldsymbol{S_{△ BDE}=S_{△ ADE}=5}$（等底同高的三角形面积相等），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=5+5=10$。
又
∵$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE × BC$，
将$BC=4$、$S_{△ ABE}=10$代入得：$10=\frac{1}{2}× AE × 4$，
解得$AE=5$，
∴$BE=AE=5$。
在$Rt△ BCE$中，$BC=4$，$BE=5$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
根据正弦的定义，$\sin∠ CBE=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CE}{BE}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质与三角函数计算结合考查，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到BE与AE的等量关系，通过面积公式快速求出AE的长度。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用线段垂直平分线的性质，得到BE=AE，且△ADE与△BDE等底同高、面积相等，先求出△ABE的总面积；再结合△ABE的面积的两种计算方法，代入已知的BC长度求出AE的长，即可得到BE的长；最后在Rt△BCE中用勾股定理求出CE的长，根据正弦的定义计算sin∠CBE的值即可。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，BE=AE，ED⊥AB，
∴$\boldsymbol{S_{△ BDE}=S_{△ ADE}=5}$（等底同高的三角形面积相等），
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=5+5=10$。
又
∵$∠ ACB=90°$，即$BC⊥ AC$，
∴$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× AE × BC$，
将$BC=4$、$S_{△ ABE}=10$代入得：$10=\frac{1}{2}× AE × 4$，
解得$AE=5$，
∴$BE=AE=5$。
在$Rt△ BCE$中，$BC=4$，$BE=5$，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BE^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
根据正弦的定义，$\sin∠ CBE=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CE}{BE}=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【点评】
本题属于基础综合题，将几何图形性质与三角函数计算结合考查，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到BE与AE的等量关系，通过面积公式快速求出AE的长度。
【难度系数】
0.7
7.如果方程$x^2 -3x +2=0$的两个根分别是$Rt△ ABC$的两条边，$△ ABC$最小的角为$∠ A$，那么$\tan A$的值可能是
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$\dfrac{1}{2}$
.答案
7. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先我们需要先求出一元二次方程的两个根，得到直角三角形的两条边长；接下来因为题目没有明确说明这两条边是直角边还是斜边，所以要分两种情况讨论：①两条边均为直角边；②较长的边为斜边，较短的为直角边。最后根据直角三角形中最小角对应最短边的性质，结合正切函数的定义计算$\tan A$的值即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -3x +2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$，即$Rt△ ABC$的两条边长为1和2。
第二步：分情况讨论
情况1：1和2均为直角边
此时$Rt△ ABC$的三边长为1、2、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，最短边为1，对应最小角$∠ A$
根据正切定义：$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{1}{2}$
情况2：长为2的边是斜边，长为1的边是直角边
由勾股定理得另一条直角边长为：$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
此时$Rt△ ABC$的三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最短边仍为1，对应最小角$∠ A$
根据正切定义：$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
综上，$\tan A$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解一元二次方程，勾股定理，锐角正切定义
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论，不要漏记已知边中较长边可能为斜边的情况，同时要熟练掌握直角三角形中“小角对小边”的边角关系和正切函数的定义。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先求出一元二次方程的两个根，得到直角三角形的两条边长；接下来因为题目没有明确说明这两条边是直角边还是斜边，所以要分两种情况讨论：①两条边均为直角边；②较长的边为斜边，较短的为直角边。最后根据直角三角形中最小角对应最短边的性质，结合正切函数的定义计算$\tan A$的值即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 -3x +2=0$
因式分解得：$(x-1)(x-2)=0$
解得：$x_1=1$，$x_2=2$，即$Rt△ ABC$的两条边长为1和2。
第二步：分情况讨论
情况1：1和2均为直角边
此时$Rt△ ABC$的三边长为1、2、$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，最短边为1，对应最小角$∠ A$
根据正切定义：$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{1}{2}$
情况2：长为2的边是斜边，长为1的边是直角边
由勾股定理得另一条直角边长为：$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
此时$Rt△ ABC$的三边长为1、$\sqrt{3}$、2，最短边仍为1，对应最小角$∠ A$
根据正切定义：$\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
综上，$\tan A$的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$或$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解一元二次方程，勾股定理，锐角正切定义
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论，不要漏记已知边中较长边可能为斜边的情况，同时要熟练掌握直角三角形中“小角对小边”的边角关系和正切函数的定义。
【难度系数】
0.6
8.如图4-1-34,在△ABC中,AC=15,BC=13,AB边的高CD=12,则△ABC的周长是……………………………………【 】
A.35或40
B.32
C.32或42
D.42
A.35或40
B.32
C.32或42
D.42
答案
C
解析
【分析】
已知AB边上的高CD，可将△ABC分成两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，首先利用勾股定理分别求出AD、BD的长度。由于高的位置有两种可能：垂足D在线段AB上，或垂足D在线段AB的延长线上，因此需要分两种情况计算AB的长度，最后求出对应周长即可。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，AC=15，CD=12，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在Rt△BCD中，BC=13，CD=12，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
分两种情况讨论：
① 当垂足D在线段AB上时，$AB=AD+BD=9+5=14$，
此时△ABC的周长为$15+13+14=42$；
② 当垂足D在线段AB的延长线上时（即∠ABC为钝角），$AB=AD-BD=9-5=4$，
此时△ABC的周长为$15+13+4=32$。
综上，△ABC的周长为32或42。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形的高，分类讨论
【点评】
本题解题关键是考虑三角形高的两种位置情况，避免因漏算高在三角形外的情况导致漏解，是易错题。
【难度系数】
0.6
已知AB边上的高CD，可将△ABC分成两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD，首先利用勾股定理分别求出AD、BD的长度。由于高的位置有两种可能：垂足D在线段AB上，或垂足D在线段AB的延长线上，因此需要分两种情况计算AB的长度，最后求出对应周长即可。
【解析】
解：
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，AC=15，CD=12，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
在Rt△BCD中，BC=13，CD=12，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$
分两种情况讨论：
① 当垂足D在线段AB上时，$AB=AD+BD=9+5=14$，
此时△ABC的周长为$15+13+14=42$；
② 当垂足D在线段AB的延长线上时（即∠ABC为钝角），$AB=AD-BD=9-5=4$，
此时△ABC的周长为$15+13+4=32$。
综上，△ABC的周长为32或42。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形的高，分类讨论
【点评】
本题解题关键是考虑三角形高的两种位置情况，避免因漏算高在三角形外的情况导致漏解，是易错题。
【难度系数】
0.6
9. 如图4-1-35，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，BC = 5，CD = 3，EF = 2，则$\tan C$等于…………………………【 】
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
图4-1-35
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
图4-1-35
答案
B
解析
【分析】
首先观察到E、F分别是AB、AD的中点，联想到三角形中位线定理，因此先连接辅助线BD，求出BD的长度；再观察△BCD的三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，最后根据正切的定义计算∠C的正切值即可。
【解析】
解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得$BD=2EF$，
∵$EF=2$，
∴$BD=2×2=4$。
在△BCD中，$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$，
∵$CD^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25$，$BC^2=5^2=25$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
在$Rt△ BCD$中，$\tan C=\frac{∠ C的对边}{∠ C的邻边}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线BD，结合中位线定理得到BD的长度，再通过勾股逆定理构造直角三角形，最后利用正切的定义求解，考查了学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察到E、F分别是AB、AD的中点，联想到三角形中位线定理，因此先连接辅助线BD，求出BD的长度；再观察△BCD的三边长度，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，最后根据正切的定义计算∠C的正切值即可。
【解析】
解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理，得$BD=2EF$，
∵$EF=2$，
∴$BD=2×2=4$。
在△BCD中，$CD=3$，$BD=4$，$BC=5$，
∵$CD^2+BD^2=3^2+4^2=9+16=25$，$BC^2=5^2=25$，
∴$CD^2+BD^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得△BCD是直角三角形，且$∠ BDC=90°$。
在$Rt△ BCD$中，$\tan C=\frac{∠ C的对边}{∠ C的邻边}=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线BD，结合中位线定理得到BD的长度，再通过勾股逆定理构造直角三角形，最后利用正切的定义求解，考查了学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
