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21.【引发思考】（1）教科书第126页有一道练习题：求$\sin^2 60° + \cos^2 60°$的值. 小明计算的结果是1. 于是小明产生了好奇，对于锐角$α$，$\sin^2 α + \cos^2 α$的结果都是1吗？
【尝试探究】小明做了如下探究.
（2）如图4-1-28，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，不妨设$α = ∠ A$，根据锐角三角函数的定义可得
$\sinα = \frac{a}{c}$，$\cosα = \frac{b}{c}$，$\tanα = \frac{a}{b}$.
于是 $\sin^2α + \cos^2α = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}$
$= \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$.
由此得到一条结论：
一个锐角的正弦、余弦的平方和等于1.
图4-1-28
【方法应用】试仿照上面的方法探究.
（3）利用（2）中条件，推出$\sinα$，$\cosα$与$\tanα$之间的关系.
22.（1）在学习锐角三角函数时，对于锐角$α$，有同学认为$\tan2α = 2\tanα$.
小萌同学为了帮助这些同学理解锐角三角函数的意义，学会用比较法掌握知识，经过反复思考后，设计了如下具体例子.
特殊值法：
①如，$\tan60° =$
则$\tan2α$
【尝试探究】小明做了如下探究.
（2）如图4-1-28，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，不妨设$α = ∠ A$，根据锐角三角函数的定义可得
$\sinα = \frac{a}{c}$，$\cosα = \frac{b}{c}$，$\tanα = \frac{a}{b}$.
于是 $\sin^2α + \cos^2α = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2}$
$= \frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1$.
由此得到一条结论：
一个锐角的正弦、余弦的平方和等于1.
图4-1-28
【方法应用】试仿照上面的方法探究.
（3）利用（2）中条件，推出$\sinα$，$\cosα$与$\tanα$之间的关系.
22.（1）在学习锐角三角函数时，对于锐角$α$，有同学认为$\tan2α = 2\tanα$.
小萌同学为了帮助这些同学理解锐角三角函数的意义，学会用比较法掌握知识，经过反复思考后，设计了如下具体例子.
特殊值法：
①如，$\tan60° =$
$\sqrt{3}$
，$\tan30° =$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
，则$\tan2α$
$≠$
$2\tanα$.（填“$=$”或“$≠$”）答案
21. 解:(3)$\because \sinα = \frac{a}{c}, \cosα = \frac{b}{c}, \tanα = \frac{a}{b}$,
$\therefore \tanα · \cosα = \frac{a}{b} · \frac{b}{c} = \frac{a}{c} = \sinα$.
$\therefore \sinα = \tanα · \cosα$, 或 $\tanα = \frac{\sinα}{\cosα}$.
22. (1)①$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$≠$
$\therefore \tanα · \cosα = \frac{a}{b} · \frac{b}{c} = \frac{a}{c} = \sinα$.
$\therefore \sinα = \tanα · \cosα$, 或 $\tanα = \frac{\sinα}{\cosα}$.
22. (1)①$\sqrt{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$,$≠$
解析
【分析】
对于21题(3)，我们已知直角三角形中锐角α的正弦、余弦、正切的边比值表达式，只需将三个表达式代入运算，即可推导得到三者之间的等量关系；对于22题，先准确记忆30°、60°的正切值，分别计算α=30°时$\tan2α$和$2\tanα$的数值，再比较大小即可判断等式是否成立。
【解析】
21.(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，根据锐角三角函数的定义：
$\sinα = \frac{a}{c}$，$\cosα = \frac{b}{c}$，$\tanα = \frac{a}{b}$，
则$\frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b} = \tanα$，也可变形得到$\sinα = \tanα·\cosα$。
22.(1)① 根据特殊角的三角函数值可得：
$\tan60° = \sqrt{3}$，$\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
取$α=30°$，则$2α=60°$，计算得$2\tanα=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan2α≠2\tanα$。
【答案】
21.(3) $\tanα = \frac{\sinα}{\cosα}$（或$\sinα = \tanα·\cosα$）
22.(1)① $\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$≠$
【知识点】
锐角三角函数定义；同角三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题围绕锐角三角函数基础知识点展开，既引导学生从定义出发自主推导同角三角函数的运算规律，又通过特殊值验证的方法纠正常见的运算误区，有助于深化对锐角三角函数本质的理解。
【难度系数】
0.8
对于21题(3)，我们已知直角三角形中锐角α的正弦、余弦、正切的边比值表达式，只需将三个表达式代入运算，即可推导得到三者之间的等量关系；对于22题，先准确记忆30°、60°的正切值，分别计算α=30°时$\tan2α$和$2\tanα$的数值，再比较大小即可判断等式是否成立。
【解析】
21.(3) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，根据锐角三角函数的定义：
$\sinα = \frac{a}{c}$，$\cosα = \frac{b}{c}$，$\tanα = \frac{a}{b}$，
则$\frac{\sinα}{\cosα} = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b} = \tanα$，也可变形得到$\sinα = \tanα·\cosα$。
22.(1)① 根据特殊角的三角函数值可得：
$\tan60° = \sqrt{3}$，$\tan30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$，
取$α=30°$，则$2α=60°$，计算得$2\tanα=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
显然$\sqrt{3}≠\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此$\tan2α≠2\tanα$。
【答案】
21.(3) $\tanα = \frac{\sinα}{\cosα}$（或$\sinα = \tanα·\cosα$）
22.(1)① $\sqrt{3}$；$\frac{\sqrt{3}}{3}$；$≠$
【知识点】
锐角三角函数定义；同角三角函数关系；特殊角的三角函数值
【点评】
本题围绕锐角三角函数基础知识点展开，既引导学生从定义出发自主推导同角三角函数的运算规律，又通过特殊值验证的方法纠正常见的运算误区，有助于深化对锐角三角函数本质的理解。
【难度系数】
0.8
② 如图4-1-29，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$E$在$CB$的延长线上，$BE = AB$，如果设$∠ E = α$，$∠ ABC = β$，那么$α$与$β$的数量关系是________（填关于$α$和$β$的等式），则$\tanβ$______$2\tanα$（填“$=$”或“$≠$”）。
图4-1-29
（2）仿照（1）中的方法判断：$\sin2α$______$2\sinα$，$\cos2α$______$2\cosα$.（填“$=$”或“$≠$”）
（3）当$α = 15°$时，结合图4-1-29，求$\tanα$的值。
图4-1-29
（2）仿照（1）中的方法判断：$\sin2α$______$2\sinα$，$\cos2α$______$2\cosα$.（填“$=$”或“$≠$”）
（3）当$α = 15°$时，结合图4-1-29，求$\tanα$的值。
答案
22. ②$β = 2α$, $≠$.
(2) $≠$, $≠$.
(3) 解:由$α = 15°$可得$2α = 30°$.
设$AC = 1$,则$AB = BE = 2$,$BC = \sqrt{3}$.
$\therefore \tan15° = \frac{AC}{CE} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
(2) $≠$, $≠$.
(3) 解:由$α = 15°$可得$2α = 30°$.
设$AC = 1$,则$AB = BE = 2$,$BC = \sqrt{3}$.
$\therefore \tan15° = \frac{AC}{CE} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先解决第一问：由BE=AB可得△ABE是等腰三角形，两底角相等，再结合三角形外角性质即可得到β和α的数量关系；比较tanβ和2tanα时，可代入具体角度利用三角函数值判断大小。第二问辨析倍角的三角函数值和三角函数值的2倍是否相等，同样代入特殊角的三角函数值验证即可。第三问已知α=15°，可得β=30°，利用含30°角的直角三角形的边长关系设参数求出各边长度，再根据正切的定义计算tanα的值，最后分母有理化得到结果。
【解析】
（1）
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=α，
∵∠ABC是△ABE的外角，
∴∠ABC=∠BAE+∠E=2α，即$\boldsymbol{β=2α}$。
取α=15°，则β=30°，$tanβ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$2tan15°\approx2×0.268\approx0.536$，因此$\boldsymbol{tanβ≠2tanα}$。
（2）取α=30°，则$sin2α=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$2sinα=2sin30°=1$，因此$\boldsymbol{sin2α≠2sinα}$；
$cos2α=cos60°=0.5$，$2cosα=2cos30°=\sqrt{3}\approx1.732$，因此$\boldsymbol{cos2α≠2cosα}$。
（3）当α=15°时，β=2α=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=1，
∴AB=2AC=2，故BE=AB=2，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$CE=CB+BE=\sqrt{3}+2$，
在Rt△ACE中，$tanα=tan15°=\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$（分母有理化：分子分母同乘$2-\sqrt{3}$得$\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{β=2α}$，$\boldsymbol{≠}$；
（2）$\boldsymbol{≠}$，$\boldsymbol{≠}$；
（3）$\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题将等腰三角形、三角形外角性质与锐角三角函数相结合，通过特殊值法辨析了倍角的三角函数值和三角函数值的倍量关系，同时考察了利用特殊直角三角形的边长关系求解非特殊角的三角函数值的方法，需要熟练掌握三角函数的定义和特殊角的三角函数性质。
【难度系数】
0.6
首先解决第一问：由BE=AB可得△ABE是等腰三角形，两底角相等，再结合三角形外角性质即可得到β和α的数量关系；比较tanβ和2tanα时，可代入具体角度利用三角函数值判断大小。第二问辨析倍角的三角函数值和三角函数值的2倍是否相等，同样代入特殊角的三角函数值验证即可。第三问已知α=15°，可得β=30°，利用含30°角的直角三角形的边长关系设参数求出各边长度，再根据正切的定义计算tanα的值，最后分母有理化得到结果。
【解析】
（1）
∵BE=AB，
∴∠BAE=∠E=α，
∵∠ABC是△ABE的外角，
∴∠ABC=∠BAE+∠E=2α，即$\boldsymbol{β=2α}$。
取α=15°，则β=30°，$tanβ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0.577$，$2tan15°\approx2×0.268\approx0.536$，因此$\boldsymbol{tanβ≠2tanα}$。
（2）取α=30°，则$sin2α=sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$，$2sinα=2sin30°=1$，因此$\boldsymbol{sin2α≠2sinα}$；
$cos2α=cos60°=0.5$，$2cosα=2cos30°=\sqrt{3}\approx1.732$，因此$\boldsymbol{cos2α≠2cosα}$。
（3）当α=15°时，β=2α=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，设AC=1，
∴AB=2AC=2，故BE=AB=2，
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴$CE=CB+BE=\sqrt{3}+2$，
在Rt△ACE中，$tanα=tan15°=\frac{AC}{CE}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$（分母有理化：分子分母同乘$2-\sqrt{3}$得$\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$）。
【答案】
（1）$\boldsymbol{β=2α}$，$\boldsymbol{≠}$；
（2）$\boldsymbol{≠}$，$\boldsymbol{≠}$；
（3）$\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值
【点评】
本题将等腰三角形、三角形外角性质与锐角三角函数相结合，通过特殊值法辨析了倍角的三角函数值和三角函数值的倍量关系，同时考察了利用特殊直角三角形的边长关系求解非特殊角的三角函数值的方法，需要熟练掌握三角函数的定义和特殊角的三角函数性质。
【难度系数】
0.6
