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14. 四边形具有不稳定性. 如图4-1-27, 将面积为5的矩形的上边向右“推”, 得到面积为4的平行四边形, 则$\tanα$的值为…【 】
A.1
B.2
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
图4-1-27
A.1
B.2
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{4}{3}$
图4-1-27
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要抓住矩形变形为平行四边形的不变量：各边长度不变，因此平行四边形的底等于原矩形的长，侧边长等于原矩形的宽。首先结合矩形、平行四边形的面积公式，求出平行四边形的高与原矩形宽的比值，再利用锐角三角函数中正切的定义，构造直角三角形求解即可。
【解析】
设原矩形的长为$a$，宽为$b$，由矩形面积公式得：
$S_{\mathrm{矩形}}=ab=5$
矩形变形为平行四边形后，底边长仍为$a$，设平行四边形的高为$h$，由平行四边形面积公式得：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a· h=4$
将两式作比可得：$\frac{ah}{ab}=\frac{h}{b}=\frac{4}{5}$，即$h=\frac{4}{5}b$。
在$α$所在的直角三角形中，斜边为平行四边形的侧边长$b$，$α$的对边为高$h$，由勾股定理可得$α$的邻边长为：
$\sqrt{b^2-h^2}=\sqrt{b^2-(\frac{4}{5}b)^2}=\frac{3}{5}b$
根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{\frac{3}{5}b}=\frac{\frac{4}{5}b}{\frac{3}{5}b}=\frac{4}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 四边形的不稳定性
2. 特殊四边形面积计算
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是找到图形变形过程中边长不变的特点，结合面积关系推导直角三角形的边长比例，进而求解三角函数值，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要抓住矩形变形为平行四边形的不变量：各边长度不变，因此平行四边形的底等于原矩形的长，侧边长等于原矩形的宽。首先结合矩形、平行四边形的面积公式，求出平行四边形的高与原矩形宽的比值，再利用锐角三角函数中正切的定义，构造直角三角形求解即可。
【解析】
设原矩形的长为$a$，宽为$b$，由矩形面积公式得：
$S_{\mathrm{矩形}}=ab=5$
矩形变形为平行四边形后，底边长仍为$a$，设平行四边形的高为$h$，由平行四边形面积公式得：
$S_{\mathrm{平行四边形}}=a· h=4$
将两式作比可得：$\frac{ah}{ab}=\frac{h}{b}=\frac{4}{5}$，即$h=\frac{4}{5}b$。
在$α$所在的直角三角形中，斜边为平行四边形的侧边长$b$，$α$的对边为高$h$，由勾股定理可得$α$的邻边长为：
$\sqrt{b^2-h^2}=\sqrt{b^2-(\frac{4}{5}b)^2}=\frac{3}{5}b$
根据正切的定义：$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{h}{\frac{3}{5}b}=\frac{\frac{4}{5}b}{\frac{3}{5}b}=\frac{4}{3}$。
【答案】
D
【知识点】
1. 四边形的不稳定性
2. 特殊四边形面积计算
3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是几何综合基础题，解题的核心是找到图形变形过程中边长不变的特点，结合面积关系推导直角三角形的边长比例，进而求解三角函数值，很好地考查了知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.计算：
$\cos 30° · \tan 30° + \sin 60° · \tan 60°.$
$\cos 30° · \tan 30° + \sin 60° · \tan 60°.$
答案
15. 2
解析
【分析】
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°、60°的余弦、正弦、正切的三角函数值，避免混淆；第二步，将对应数值代入原式，按照四则运算顺序，先分别计算两个乘法项的结果；第三步，将两个乘积相加得到最终结果，计算过程中注意遵循二次根式的乘法规则。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}\\&=\frac{3}{6} + \frac{3}{2}\\&=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察对30°、60°特殊锐角三角函数值的准确记忆，计算难度较低，只要细心运算即可得分，是锐角三角函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题思路如下：第一步，先准确回忆30°、60°的余弦、正弦、正切的三角函数值，避免混淆；第二步，将对应数值代入原式，按照四则运算顺序，先分别计算两个乘法项的结果；第三步，将两个乘积相加得到最终结果，计算过程中注意遵循二次根式的乘法规则。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}\\&=\frac{3}{6} + \frac{3}{2}\\&=\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\\&=2\end{aligned}$
【答案】
2
【知识点】
特殊角的三角函数值、实数的混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察对30°、60°特殊锐角三角函数值的准确记忆，计算难度较低，只要细心运算即可得分，是锐角三角函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
16.计算：
$\tan^{2}45°+2\tan60°·\cos30°-3\tan^{2}30°.$
$\tan^{2}45°+2\tan60°·\cos30°-3\tan^{2}30°.$
答案
16. 3
解析
【分析】
本题是特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路分为三步：第一步，准确记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值；第二步，将对应三角函数值代入原式；第三步，按照实数的运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步计算得出结果即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1^2 + 2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\&=1 + 3 - 3×\frac{1}{3}\\&=1+3-1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；二次根式运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对特殊角三角函数值的识记能力和基本运算能力，解题的关键是准确记忆各特殊角的三角函数值，严格按照运算顺序计算，避免因记错数值或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
本题是特殊角三角函数值的混合运算题，解题思路分为三步：第一步，准确记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值；第二步，将对应三角函数值代入原式；第三步，按照实数的运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，逐步计算得出结果即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\tan45°=1$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$
将上述值代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1^2 + 2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2} - 3×(\frac{\sqrt{3}}{3})^2\\&=1 + 3 - 3×\frac{1}{3}\\&=1+3-1\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数混合运算；二次根式运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对特殊角三角函数值的识记能力和基本运算能力，解题的关键是准确记忆各特殊角的三角函数值，严格按照运算顺序计算，避免因记错数值或运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.8
17.计算：$\sqrt{12}\sin45°+\tan60°-\sqrt{8}\sin60°+(π-3)^0$
18.计算：$\sin30° - 3\sin^245° + \frac{2}{2\sin60° - \tan45°}$
18.计算：$\sin30° - 3\sin^245° + \frac{2}{2\sin60° - \tan45°}$
答案
17. $\sqrt{3}+1$
18. $\sqrt{3}$
18. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
这两道题为锐角三角函数与实数的混合运算题，解题思路如下：1. 先准确回忆30°、45°、60°角的正弦、正切三角函数值，以及零指数幂的运算规则、二次根式化简方法、分母有理化方法；2. 逐题将特殊角的三角函数值代入原式，先化简每一项，再按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
17题计算过程：
先化简各项并代入特殊角的三角函数值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$(π-3)^0=1$（非零数的0次幂为1）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} +1\\&=\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} +1\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
18题计算过程：
先代入特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} - 3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{2}{2×\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}\\&=\frac{1}{2} - 3×\frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{1}{2}-\frac{3}{2} + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=-1 + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}\\&=-1 + \sqrt{3} +1\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
17. $\sqrt{3}+1$
18. $\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
这两道题是三角函数混合运算的基础题型，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，运算过程中要注意二次根式化简、分母有理化的正确性，严格遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
这两道题为锐角三角函数与实数的混合运算题，解题思路如下：1. 先准确回忆30°、45°、60°角的正弦、正切三角函数值，以及零指数幂的运算规则、二次根式化简方法、分母有理化方法；2. 逐题将特殊角的三角函数值代入原式，先化简每一项，再按照“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序计算，最后合并同类项得到结果。
【解析】
17题计算过程：
先化简各项并代入特殊角的三角函数值：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$(π-3)^0=1$（非零数的0次幂为1）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{3}}{2} +1\\&=\sqrt{6} + \sqrt{3} - \sqrt{6} +1\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
18题计算过程：
先代入特殊角的三角函数值：
$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan45°=1$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2} - 3×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{2}{2×\frac{\sqrt{3}}{2} - 1}\\&=\frac{1}{2} - 3×\frac{1}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{1}{2}-\frac{3}{2} + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\&=-1 + \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2}\\&=-1 + \sqrt{3} +1\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
17. $\sqrt{3}+1$
18. $\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，零指数幂运算
【点评】
这两道题是三角函数混合运算的基础题型，解题核心是准确记忆特殊角的三角函数值，运算过程中要注意二次根式化简、分母有理化的正确性，严格遵循运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
19.已知α和β都是锐角，且$\tanα = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$β + α = 90°$，求$\tanβ$的值.
答案
19. 提示:方法一:由于锐角α和β互余,把α和β看作是直角三角形ABC中的锐角∠A和∠B,则
$\tanβ = \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\tanα} = \sqrt{3}$.
方法二:由α为锐角,$\tanα = \frac{\sqrt{3}}{3}$可得$α = 30°$,
$\therefore β = 60°$, $\tanβ = \sqrt{3}$.
$\tanβ = \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{\tan A} = \frac{1}{\tanα} = \sqrt{3}$.
方法二:由α为锐角,$\tanα = \frac{\sqrt{3}}{3}$可得$α = 30°$,
$\therefore β = 60°$, $\tanβ = \sqrt{3}$.
解析
【分析】
解题可从两个符合学段知识的方向切入：①利用特殊角的三角函数值，先根据$\tanα$的取值确定锐角$α$的度数，再结合$α$和$β$互余的条件求出$β$的度数，最后计算$\tanβ$即可；②利用直角三角形中互余锐角的正切关系，两个互余锐角的正切值互为倒数，直接代入$\tanα$的取值计算即可。
【解析】
方法一：
∵ $α$、$β$均为锐角，且$α+β=90°$
∴ 可将$α$、$β$看作直角三角形的两个锐角，设Rt△ABC中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$∠ B=β$
由正切的定义可得：$\tanα=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tanβ=\tan B=\frac{AC}{BC}$
∴ $\tanβ=\frac{1}{\tanα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$
方法二：
∵ $α$是锐角，且$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $α=30°$
又
∵ $β+α=90°$
∴ $β=90°-30°=60°$
∴ $\tanβ=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，互余角的性质，正切的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，两种解题思路分别对应特殊角三角函数值记忆、直角三角形中三角函数定义两个核心考点，能帮助学生巩固锐角三角函数的基础概念，掌握灵活解题的方法。
【难度系数】
0.9
解题可从两个符合学段知识的方向切入：①利用特殊角的三角函数值，先根据$\tanα$的取值确定锐角$α$的度数，再结合$α$和$β$互余的条件求出$β$的度数，最后计算$\tanβ$即可；②利用直角三角形中互余锐角的正切关系，两个互余锐角的正切值互为倒数，直接代入$\tanα$的取值计算即可。
【解析】
方法一：
∵ $α$、$β$均为锐角，且$α+β=90°$
∴ 可将$α$、$β$看作直角三角形的两个锐角，设Rt△ABC中，$∠ C=90°$，$∠ A=α$，$∠ B=β$
由正切的定义可得：$\tanα=\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\tanβ=\tan B=\frac{AC}{BC}$
∴ $\tanβ=\frac{1}{\tanα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$
方法二：
∵ $α$是锐角，且$\tanα=\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴ $α=30°$
又
∵ $β+α=90°$
∴ $β=90°-30°=60°$
∴ $\tanβ=\tan60°=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，互余角的性质，正切的定义
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题型，两种解题思路分别对应特殊角三角函数值记忆、直角三角形中三角函数定义两个核心考点，能帮助学生巩固锐角三角函数的基础概念，掌握灵活解题的方法。
【难度系数】
0.9
20.已知α是锐角，且$\tanα = 2$，求代数式$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα}$的值。
答案
20. 提示:设直角三角形锐角α的对边为2,邻边为1,斜边为r,由三角函数的意义,得
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{2}{r} + \frac{1}{r}}{\frac{2}{r} - \frac{1}{r}} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$.
也可先求出$r = \sqrt{5}$,再代入计算,请你试一试.
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{2}{r} + \frac{1}{r}}{\frac{2}{r} - \frac{1}{r}} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$.
也可先求出$r = \sqrt{5}$,再代入计算,请你试一试.
解析
【分析】
已知α是锐角且给出tanα的值，要求含sinα、cosα的代数式的值，我们可以从两个角度思考：一是根据锐角三角函数的定义，tanα是直角三角形中α的对边与邻边的比值，因此可以设出对边、邻边的长度，结合勾股定理表示出斜边，再写出sinα和cosα的表达式，代入代数式计算即可；二是观察代数式的结构，分子分母都是关于sinα、cosα的一次式，且α是锐角则cosα≠0，可将分子分母同时除以cosα，将式子转化为仅含tanα的表达式，直接代入已知值计算更简便。
【解析】
方法一：利用锐角三角函数定义求解
∵α是锐角，$\tanα = \frac{\mathrm{α的对边}}{\mathrm{α的邻边}} = 2$
∴设含α的直角三角形中，α的对边长为2，邻边长为1，斜边长为$r$
由勾股定理得：$r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
根据正弦、余弦的定义：
$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
代入代数式得：
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 3$
方法二：转化为含tanα的式子求解
∵α是锐角，
∴$\cosα ≠ 0$
将代数式的分子、分母同时除以$\cosα$得：
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{\sinα}{\cosα} + \frac{\cosα}{\cosα}}{\frac{\sinα}{\cosα} - \frac{\cosα}{\cosα}} = \frac{\tanα + 1}{\tanα - 1}$
将$\tanα = 2$代入得：
原式$= \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$
【答案】
3
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；分式化简
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关计算，解题方法灵活，既可以通过设参数结合三角函数定义代入计算，也可以通过式子变形直接代入正切值求解，计算时注意锐角的余弦值不为0的隐含条件，避免出错。
【难度系数】
0.8
已知α是锐角且给出tanα的值，要求含sinα、cosα的代数式的值，我们可以从两个角度思考：一是根据锐角三角函数的定义，tanα是直角三角形中α的对边与邻边的比值，因此可以设出对边、邻边的长度，结合勾股定理表示出斜边，再写出sinα和cosα的表达式，代入代数式计算即可；二是观察代数式的结构，分子分母都是关于sinα、cosα的一次式，且α是锐角则cosα≠0，可将分子分母同时除以cosα，将式子转化为仅含tanα的表达式，直接代入已知值计算更简便。
【解析】
方法一：利用锐角三角函数定义求解
∵α是锐角，$\tanα = \frac{\mathrm{α的对边}}{\mathrm{α的邻边}} = 2$
∴设含α的直角三角形中，α的对边长为2，邻边长为1，斜边长为$r$
由勾股定理得：$r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
根据正弦、余弦的定义：
$\sinα = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\cosα = \frac{\mathrm{邻边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
代入代数式得：
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 3$
方法二：转化为含tanα的式子求解
∵α是锐角，
∴$\cosα ≠ 0$
将代数式的分子、分母同时除以$\cosα$得：
$\frac{\sinα + \cosα}{\sinα - \cosα} = \frac{\frac{\sinα}{\cosα} + \frac{\cosα}{\cosα}}{\frac{\sinα}{\cosα} - \frac{\cosα}{\cosα}} = \frac{\tanα + 1}{\tanα - 1}$
将$\tanα = 2$代入得：
原式$= \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$
【答案】
3
【知识点】
锐角三角函数的定义；勾股定理；分式化简
【点评】
本题考查锐角三角函数的相关计算，解题方法灵活，既可以通过设参数结合三角函数定义代入计算，也可以通过式子变形直接代入正切值求解，计算时注意锐角的余弦值不为0的隐含条件，避免出错。
【难度系数】
0.8
