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10. 如图4-1-36,在$△ ABC$中,点D在BC边上,且$BD = 2CD$,$AB ⊥ AC$,$\tan B = \frac{4}{3}$,则$\tan∠ CAD$等于 ………………【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{3}{8}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
B
解析
【分析】
要计算tan∠CAD，需将∠CAD放在直角三角形中求解。首先根据tanB的数值设出△ABC的边长参数，再通过作DE⊥AC构造含∠CAD的直角三角形，利用平行线判定相似三角形，结合BD=2CD得到相似比，求出直角边DE、AE的长度，最后根据正切的定义计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DEC=90°，可得DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，即$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
∵BD=2CD，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}$，相似比为$\frac{1}{3}$。
在Rt△ABC中，tanB=$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$，设AB=3k，AC=4k（$k＞0$），
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
根据相似比可得：
$DE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×3k=k$，
$CE=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×4k=\frac{4k}{3}$，
∴$AE=AC-CE=4k-\frac{4k}{3}=\frac{8k}{3}$。
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴$\tan∠CAD=\frac{DE}{AE}=\frac{k}{\frac{8k}{3}}=\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题通过构造直角三角形，结合相似三角形的性质将所求角的正切值转化为线段比值，是求解角度三角函数值的常用方法，合理设参数可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要计算tan∠CAD，需将∠CAD放在直角三角形中求解。首先根据tanB的数值设出△ABC的边长参数，再通过作DE⊥AC构造含∠CAD的直角三角形，利用平行线判定相似三角形，结合BD=2CD得到相似比，求出直角边DE、AE的长度，最后根据正切的定义计算即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AC于点E，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=∠DEC=90°，可得DE//AB，
∴△CDE∽△CBA，即$\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$。
∵BD=2CD，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{1}{3}$，相似比为$\frac{1}{3}$。
在Rt△ABC中，tanB=$\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$，设AB=3k，AC=4k（$k＞0$），
由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
根据相似比可得：
$DE=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×3k=k$，
$CE=\frac{1}{3}AC=\frac{1}{3}×4k=\frac{4k}{3}$，
∴$AE=AC-CE=4k-\frac{4k}{3}=\frac{8k}{3}$。
在Rt△ADE中，∠AED=90°，
∴$\tan∠CAD=\frac{DE}{AE}=\frac{k}{\frac{8k}{3}}=\frac{3}{8}$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形，相似三角形的判定与性质，正切的定义
【点评】
本题通过构造直角三角形，结合相似三角形的性质将所求角的正切值转化为线段比值，是求解角度三角函数值的常用方法，合理设参数可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
11.如图4-1-37，为解决停车难的问题，在一段长56 m的道路旁的空地上规划停车位，每个车位是长5 m、宽2.2 m的矩形，矩形的边与路的边缘成$45°$角，那么这片空地上最多可以规划出这样的停车位 …………【 】
A.10个
B.15个
C.17个
D.21个
A.10个
B.15个
C.17个
D.21个
答案
C
解析
【分析】
要计算最多能规划的车位数，需先利用解直角三角形的知识，分别求出第一个停车位占用的道路横向长度，以及每新增1个停车位需要额外增加的横向长度，再根据总道路长度列不等式计算，最终结果根据实际情况取整数即可。
首先已知矩形边与路边缘成45°角，结合45°角的三角函数值可求出矩形的长、宽在水平方向的投影长度：第一个车位的水平总占用长度由长和宽的投影共同决定，后续每个车位仅需增加宽对应的水平投影增量，最后通过总长度关系计算最大整数解。
【解析】
∵矩形的边与路的边缘成45°角，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$
①计算第一个停车位占用的水平长度：
长度为5m的边的水平投影 + 宽度为2.2m的边的水平投影 $=5×\sin45° + 2.2×\cos45°\approx5×0.707 + 2.2×0.707\approx5.09\mathrm{m}$
②计算每新增1个停车位需要额外增加的水平长度：
新增车位仅需补充宽度方向对应的水平增量，即$\frac{2.2}{\sin45°}\approx2.2×1.414\approx3.11\mathrm{m}$
③设最多可以规划$x$个停车位，根据总长度56m列不等式：
$5.09 + 3.11(x-1)≤56$
解不等式：
$3.11(x-1)≤56-5.09=50.91$
$x-1≤50.91÷3.11\approx16.37$
∵$x$为正整数，
∴$x-1$最大取16，$x=16+1=17$
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题关键是明确斜放停车位的水平长度构成规律，注意最终结果要根据实际情况向下取整，不能直接四舍五入。
【难度系数】
0.6
要计算最多能规划的车位数，需先利用解直角三角形的知识，分别求出第一个停车位占用的道路横向长度，以及每新增1个停车位需要额外增加的横向长度，再根据总道路长度列不等式计算，最终结果根据实际情况取整数即可。
首先已知矩形边与路边缘成45°角，结合45°角的三角函数值可求出矩形的长、宽在水平方向的投影长度：第一个车位的水平总占用长度由长和宽的投影共同决定，后续每个车位仅需增加宽对应的水平投影增量，最后通过总长度关系计算最大整数解。
【解析】
∵矩形的边与路的边缘成45°角，$\sin45°=\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707$
①计算第一个停车位占用的水平长度：
长度为5m的边的水平投影 + 宽度为2.2m的边的水平投影 $=5×\sin45° + 2.2×\cos45°\approx5×0.707 + 2.2×0.707\approx5.09\mathrm{m}$
②计算每新增1个停车位需要额外增加的水平长度：
新增车位仅需补充宽度方向对应的水平增量，即$\frac{2.2}{\sin45°}\approx2.2×1.414\approx3.11\mathrm{m}$
③设最多可以规划$x$个停车位，根据总长度56m列不等式：
$5.09 + 3.11(x-1)≤56$
解不等式：
$3.11(x-1)≤56-5.09=50.91$
$x-1≤50.91÷3.11\approx16.37$
∵$x$为正整数，
∴$x-1$最大取16，$x=16+1=17$
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，一元一次不等式的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题关键是明确斜放停车位的水平长度构成规律，注意最终结果要根据实际情况向下取整，不能直接四舍五入。
【难度系数】
0.6
12. 如图4-1-38，在$△ ABC$中，$AB = AC$，它的一个外角为$80°$，底角的角平分线长为$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，求腰上的高。
图4-1-38
图4-1-38
答案
12. 提示:由一个外角为$80°$可知其相邻内角为$100°$,这个角只能是顶角,则底角为$40°$.
如图,BD 是 $∠ABC$ 的平分线,作 AC 边的高BE.可得 $∠BDE = ∠C + ∠CBD = 60°$.
∴ $BE = BD · \sin∠BDE$
$= \frac{20\sqrt{3}}{3} · \sin60° = 10$.
解析
【分析】
解题时首先需判断80°外角对应的内角位置：等腰三角形两底角相等，若80°是底角的外角，则底角为100°，两底角和超过三角形内角和180°，因此该外角只能是顶角的外角，可求出顶角为100°，底角为40°。接下来结合底角角平分线的条件，利用三角形外角性质求出角平分线与腰形成的夹角的度数，最后构造腰上的高所在的直角三角形，利用锐角三角函数即可求出高的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，若底角的外角为80°，则底角为100°，两底角和为200°＞180°，不符合三角形内角和定理，
∴80°是顶角∠BAC的外角，即∠BAC=180°-80°=100°，
∴底角∠ABC=∠C=(180°-100°)÷2=40°。
∵BD是底角∠ABC的平分线，
∴∠CBD=½∠ABC=20°。
过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E，则BE为腰AC上的高。
∵∠BDE是△BCD的外角，
∴∠BDE=∠C+∠CBD=40°+20°=60°。
在Rt△BED中，∠E=90°，BD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴$BE=BD·\sin∠BDE= \frac{20\sqrt{3}}{3} × \sin60° = \frac{20\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} =10$。
【答案】
腰上的高为10。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是先结合等腰三角形性质和内角和定理确定80°外角对应的内角，再构造直角三角形利用三角函数计算边长，易错点是容易误将80°外角当成底角的外角导致解题错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先需判断80°外角对应的内角位置：等腰三角形两底角相等，若80°是底角的外角，则底角为100°，两底角和超过三角形内角和180°，因此该外角只能是顶角的外角，可求出顶角为100°，底角为40°。接下来结合底角角平分线的条件，利用三角形外角性质求出角平分线与腰形成的夹角的度数，最后构造腰上的高所在的直角三角形，利用锐角三角函数即可求出高的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，若底角的外角为80°，则底角为100°，两底角和为200°＞180°，不符合三角形内角和定理，
∴80°是顶角∠BAC的外角，即∠BAC=180°-80°=100°，
∴底角∠ABC=∠C=(180°-100°)÷2=40°。
∵BD是底角∠ABC的平分线，
∴∠CBD=½∠ABC=20°。
过点B作BE⊥CA，交CA的延长线于点E，则BE为腰AC上的高。
∵∠BDE是△BCD的外角，
∴∠BDE=∠C+∠CBD=40°+20°=60°。
在Rt△BED中，∠E=90°，BD=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$，
∴$BE=BD·\sin∠BDE= \frac{20\sqrt{3}}{3} × \sin60° = \frac{20\sqrt{3}}{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} =10$。
【答案】
腰上的高为10。
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；解直角三角形
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是先结合等腰三角形性质和内角和定理确定80°外角对应的内角，再构造直角三角形利用三角函数计算边长，易错点是容易误将80°外角当成底角的外角导致解题错误。
【难度系数】
0.6
13. 如图4-1-39,在$△ ABC$中,AD是高,E为AC边的中点,BC=14,AD=12,$\sin B=\frac{4}{5}$.
(1) 求线段CD的长.
(2) 求$\tan∠ CDE$的值.
图4-1-39
(1) 求线段CD的长.
(2) 求$\tan∠ CDE$的值.
图4-1-39
答案
13. 提示:(1)$AB = \frac{AD}{\sin B} = 15$,
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$.
∴ $CD = BC - BD = 5$.
(2) 由 E 是斜边 AC 的中点可得 $DE = CE$.
∴ $\tan∠CDE = \tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{12}{5}$.
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$.
∴ $CD = BC - BD = 5$.
(2) 由 E 是斜边 AC 的中点可得 $DE = CE$.
∴ $\tan∠CDE = \tan C = \frac{AD}{CD} = \frac{12}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要求CD的长度，已知BC总长，只需先求出BD的长度即可。AD是△ABC的高，故△ABD是直角三角形，已知sinB和AD的长，可先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到CD的长。
(2) 要求$\tan∠CDE$的值，观察到E是Rt△ADC斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE=CE，因此$∠CDE=∠C$，只需计算Rt△ADC中$\tan C$的值，即可得到$\tan∠CDE$的值。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，且$AD=12$
∴$AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15$
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
∵$BC=14$，
∴$CD=BC-BD=14-9=5$
(2) 在$Rt△ ADC$中，E是AC边的中点
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=CE=\frac{1}{2}AC$
∴$∠CDE=∠C$
在$Rt△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{5}$
∴$\tan∠CDE=\tan C=\frac{12}{5}$
【答案】
(1) $CD=5$；(2) $\tan∠CDE=\frac{12}{5}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题关键是灵活运用直角三角形的性质转化所求角，将未知的三角函数值转化为已知直角三角形内角的三角函数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的长度，已知BC总长，只需先求出BD的长度即可。AD是△ABC的高，故△ABD是直角三角形，已知sinB和AD的长，可先根据正弦的定义求出AB的长，再用勾股定理计算BD，最后用BC减去BD即可得到CD的长。
(2) 要求$\tan∠CDE$的值，观察到E是Rt△ADC斜边AC的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE=CE，因此$∠CDE=∠C$，只需计算Rt△ADC中$\tan C$的值，即可得到$\tan∠CDE$的值。
【解析】
(1)
∵AD是△ABC的高，
∴$∠ ADB=∠ ADC=90°$
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，且$AD=12$
∴$AB=\frac{AD}{\sin B}=\frac{12}{\frac{4}{5}}=15$
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9$
∵$BC=14$，
∴$CD=BC-BD=14-9=5$
(2) 在$Rt△ ADC$中，E是AC边的中点
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=CE=\frac{1}{2}AC$
∴$∠CDE=∠C$
在$Rt△ ADC$中，$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{12}{5}$
∴$\tan∠CDE=\tan C=\frac{12}{5}$
【答案】
(1) $CD=5$；(2) $\tan∠CDE=\frac{12}{5}$
【知识点】
解直角三角形，直角三角形斜边中线性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题属于解直角三角形的基础应用题，解题关键是灵活运用直角三角形的性质转化所求角，将未知的三角函数值转化为已知直角三角形内角的三角函数值，降低计算难度。
【难度系数】
0.7
14.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，图4-1-40中左图是一辆自行车的实物图，右图是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45cm和60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20cm.点A,C,E在同一条直线上，∠CAB = 75°.(参考数据：sin75°≈0.966，cos75°≈0.259，tan75°≈3.732)
图4-1-40
(1)求车架档AD的长.
(2)求车座点E到车架档AB的距离.(结果精确到1cm)
图4-1-40
(1)求车架档AD的长.
(2)求车座点E到车架档AB的距离.(结果精确到1cm)
答案
14. 提示:(1)$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = 75(\mathrm{cm})$.
(2) 过点 E 作 $EF ⊥ AB$,垂足为 F.
$EF = AE · \sin75° = (45 + 20)\sin75° ≈ 63(\mathrm{cm})$.
(2) 过点 E 作 $EF ⊥ AB$,垂足为 F.
$EF = AE · \sin75° = (45 + 20)\sin75° ≈ 63(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
(1) 由题意可知AC与CD互相垂直，可得△ACD是直角三角形，已知两条直角边AC、CD的长度，要求斜边AD的长，直接利用勾股定理计算即可。
(2) 要求车座点E到车架档AB的距离，根据点到直线的距离的定义，过点E作AB的垂线段EF，构造Rt△AEF；由A、C、E共线可先求出AE的长度，再结合∠EAF=75°，利用正弦函数的定义即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 已知AC⊥CD，即∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AC=45cm，CD=60cm，
根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75(\mathrm{cm})$。
(2) 过点E作$EF⊥ AB$，垂足为F，则EF的长度就是点E到AB的距离，
∵点A、C、E在同一条直线上，
∴$AE=AC+CE=45+20=65(\mathrm{cm})$，
在Rt△AEF中，∠EAF=75°，由$\sin∠ EAF=\frac{EF}{AE}$得：
$EF=AE·\sin75°\approx65×0.966\approx63(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 车架档AD的长为75cm；
(2) 车座点E到车架档AB的距离约为63cm。
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的应用；点到直线的距离
【点评】
本题结合自行车的实际场景考查直角三角形的相关计算，将实际问题转化为几何中的直角三角形问题是解题的切入点，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生将数学知识结合生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 由题意可知AC与CD互相垂直，可得△ACD是直角三角形，已知两条直角边AC、CD的长度，要求斜边AD的长，直接利用勾股定理计算即可。
(2) 要求车座点E到车架档AB的距离，根据点到直线的距离的定义，过点E作AB的垂线段EF，构造Rt△AEF；由A、C、E共线可先求出AE的长度，再结合∠EAF=75°，利用正弦函数的定义即可求出EF的长度。
【解析】
(1) 已知AC⊥CD，即∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AC=45cm，CD=60cm，
根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{45^2+60^2}=\sqrt{2025+3600}=\sqrt{5625}=75(\mathrm{cm})$。
(2) 过点E作$EF⊥ AB$，垂足为F，则EF的长度就是点E到AB的距离，
∵点A、C、E在同一条直线上，
∴$AE=AC+CE=45+20=65(\mathrm{cm})$，
在Rt△AEF中，∠EAF=75°，由$\sin∠ EAF=\frac{EF}{AE}$得：
$EF=AE·\sin75°\approx65×0.966\approx63(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 车架档AD的长为75cm；
(2) 车座点E到车架档AB的距离约为63cm。
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的应用；点到直线的距离
【点评】
本题结合自行车的实际场景考查直角三角形的相关计算，将实际问题转化为几何中的直角三角形问题是解题的切入点，既考查了基础定理的应用，也锻炼了学生将数学知识结合生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
