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15.某数学兴趣小组测量一座小山的高度,该小山顶上有一个高度为20 m的信号发射塔AB,如图4-1-41所示.在山脚平地上的点D处测得塔底B的仰角为30°,向小山方向前进80 m到达点E处,测得塔顶A的仰角为60°,求小山BC的高度. 
答案
15. 解:设 $BC = x\ \mathrm{m}$,则 $AC = (20 + x)\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$CD = BC ÷ \tan30° = \sqrt{3}x$.
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,$CE = (\sqrt{3}x - 80)\ \mathrm{m}$,
$\tan60° = \frac{AC}{CE}$, 即 $\frac{20 + x}{\sqrt{3}x - 80} = \sqrt{3}$.
解得 $x = 10 + 40\sqrt{3}$.
答:小山的高度为$(10 + 40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.
在 $\mathrm{Rt}△BCD$ 中,$CD = BC ÷ \tan30° = \sqrt{3}x$.
在 $\mathrm{Rt}△ACE$ 中,$CE = (\sqrt{3}x - 80)\ \mathrm{m}$,
$\tan60° = \frac{AC}{CE}$, 即 $\frac{20 + x}{\sqrt{3}x - 80} = \sqrt{3}$.
解得 $x = 10 + 40\sqrt{3}$.
答:小山的高度为$(10 + 40\sqrt{3})\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是一道利用解直角三角形解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先明确图中有两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ ACE$，已知发射塔$AB$高20m，$DE$长80m，两个仰角分别为$30°$和$60°$。我们可以设小山$BC$的高度为$x\ \mathrm{m}$，那么塔顶$A$到地面的高度$AC$就是$(20+x)\ \mathrm{m}$；先在$\mathrm{Rt}△ BCD$中利用$30°$角的正切值表示出$CD$的长度，再根据$DE=80\mathrm{m}$得到$CE$的长度表达式；最后在$\mathrm{Rt}△ ACE$中利用$60°$角的正切值列出关于$x$的方程，解方程即可求出$BC$的高度。
【解析】
解：设小山$BC$的高度为$x\ \mathrm{m}$，则塔顶到地面的高度$AC=(20+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ D=30°$，由锐角三角函数的定义得：
$\tan30°=\frac{BC}{CD}$，因此$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
已知$DE=80\ \mathrm{m}$，因此$CE=CD-DE=(\sqrt{3}x - 80)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC=60°$，由锐角三角函数的定义得：
$\tan60°=\frac{AC}{CE}$，代入已知量得：
$\sqrt{3}=\frac{20+x}{\sqrt{3}x - 80}$
两边同乘$(\sqrt{3}x - 80)$得：
$\sqrt{3}(\sqrt{3}x - 80)=20 + x$
整理得：$3x - 80\sqrt{3}=20 + x$
移项合并同类项得：$2x=20 + 80\sqrt{3}$
解得：$x=10 + 40\sqrt{3}$
【答案】
小山BC的高度为$\boldsymbol{(10 + 40\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 解直角三角形应用 2. 锐角三角函数 3. 仰角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的常规实际应用题，核心是结合图形找到直角三角形的边角关系、不同直角三角形之间的边长关联，通过设未知数列方程的方法求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道利用解直角三角形解决实际测量高度的问题，解题思路如下：首先明确图中有两个直角三角形$\mathrm{Rt}△ BCD$和$\mathrm{Rt}△ ACE$，已知发射塔$AB$高20m，$DE$长80m，两个仰角分别为$30°$和$60°$。我们可以设小山$BC$的高度为$x\ \mathrm{m}$，那么塔顶$A$到地面的高度$AC$就是$(20+x)\ \mathrm{m}$；先在$\mathrm{Rt}△ BCD$中利用$30°$角的正切值表示出$CD$的长度，再根据$DE=80\mathrm{m}$得到$CE$的长度表达式；最后在$\mathrm{Rt}△ ACE$中利用$60°$角的正切值列出关于$x$的方程，解方程即可求出$BC$的高度。
【解析】
解：设小山$BC$的高度为$x\ \mathrm{m}$，则塔顶到地面的高度$AC=(20+x)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ D=30°$，由锐角三角函数的定义得：
$\tan30°=\frac{BC}{CD}$，因此$CD=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
已知$DE=80\ \mathrm{m}$，因此$CE=CD-DE=(\sqrt{3}x - 80)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ AEC=60°$，由锐角三角函数的定义得：
$\tan60°=\frac{AC}{CE}$，代入已知量得：
$\sqrt{3}=\frac{20+x}{\sqrt{3}x - 80}$
两边同乘$(\sqrt{3}x - 80)$得：
$\sqrt{3}(\sqrt{3}x - 80)=20 + x$
整理得：$3x - 80\sqrt{3}=20 + x$
移项合并同类项得：$2x=20 + 80\sqrt{3}$
解得：$x=10 + 40\sqrt{3}$
【答案】
小山BC的高度为$\boldsymbol{(10 + 40\sqrt{3})\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 解直角三角形应用 2. 锐角三角函数 3. 仰角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的常规实际应用题，核心是结合图形找到直角三角形的边角关系、不同直角三角形之间的边长关联，通过设未知数列方程的方法求解，能有效锻炼学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.6
16.如图4-1-42，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为16，大正方形的面积为170，直角三角形中较小的锐角为$α$，求$\tanα$的值.
图4-1-42
图4-1-42
答案
16. 提示:易得小正方形的边长为 4,设直角三角形的短直角边为 $x$,则长直角边为$(x + 4)$.
由勾股定理可得 $(x + 4)^2 + x^2 = 170$,
解得 $x_1 = 7$, $x_2 = -11$(不合题意,舍去).
∴ 短直角边为 7,长直角边为 11, $\tanα = \frac{7}{11}$.
由勾股定理可得 $(x + 4)^2 + x^2 = 170$,
解得 $x_1 = 7$, $x_2 = -11$(不合题意,舍去).
∴ 短直角边为 7,长直角边为 11, $\tanα = \frac{7}{11}$.
解析
【分析】
解题时先根据正方形面积公式求出小正方形的边长，观察图形可知直角三角形的长直角边比短直角边多小正方形的边长，因此设短直角边长为x，用含x的式子表示长直角边；再结合大正方形面积与直角三角形边长的关系，利用勾股定理列方程求解，得到两条直角边的长度；最后根据正切函数的定义，即锐角的正切值等于对边与邻边的比值，计算$\tanα$的值即可。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为16，
∴小正方形的边长为$\sqrt{16}=4$。
设直角三角形的短直角边长为$x$，由图形特征可得长直角边长为$x+4$。
∵大正方形的面积为170，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于大正方形边长的平方（即大正方形的面积），因此列方程：
$x^2+(x+4)^2=170$
展开整理得：$x^2+4x-77=0$
解方程得：$x_1=7$，$x_2=-11$（边长为非负数，不合题意，舍去）
∴短直角边长为7，长直角边长为$7+4=11$。
∵$α$是直角三角形中较小的锐角，其对边为短直角边，邻边为长直角边，
∴$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{7}{11}$。
【答案】
$\frac{7}{11}$
【知识点】
勾股定理，正切的定义，一元二次方程的应用
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，综合考查了几何图形的边长关系、勾股定理和锐角三角函数的应用，解题的关键是找准直角三角形两条直角边的数量关系列方程，同时要注意结合实际意义排除不合题意的解。
【难度系数】
0.7
解题时先根据正方形面积公式求出小正方形的边长，观察图形可知直角三角形的长直角边比短直角边多小正方形的边长，因此设短直角边长为x，用含x的式子表示长直角边；再结合大正方形面积与直角三角形边长的关系，利用勾股定理列方程求解，得到两条直角边的长度；最后根据正切函数的定义，即锐角的正切值等于对边与邻边的比值，计算$\tanα$的值即可。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为16，
∴小正方形的边长为$\sqrt{16}=4$。
设直角三角形的短直角边长为$x$，由图形特征可得长直角边长为$x+4$。
∵大正方形的面积为170，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于大正方形边长的平方（即大正方形的面积），因此列方程：
$x^2+(x+4)^2=170$
展开整理得：$x^2+4x-77=0$
解方程得：$x_1=7$，$x_2=-11$（边长为非负数，不合题意，舍去）
∴短直角边长为7，长直角边长为$7+4=11$。
∵$α$是直角三角形中较小的锐角，其对边为短直角边，邻边为长直角边，
∴$\tanα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{7}{11}$。
【答案】
$\frac{7}{11}$
【知识点】
勾股定理，正切的定义，一元二次方程的应用
【点评】
本题以经典的赵爽弦图为背景，综合考查了几何图形的边长关系、勾股定理和锐角三角函数的应用，解题的关键是找准直角三角形两条直角边的数量关系列方程，同时要注意结合实际意义排除不合题意的解。
【难度系数】
0.7
