1.如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的平分线 （）

A.互相垂直
B.互相平行
C.互相重合
D.以上均不正确

1.B

【分析】
解决这道题可按以下思路推导：第一步，先根据题目给出的“两条平行线被第三条直线所截”的条件，利用平行线的性质得到一组内错角相等；第二步，结合角平分线的定义，分别表示出两个内错角被平分线平分后得到的小角，可证这两个小角相等；第三步，观察这两个小角属于两条平分线被原截线所截形成的内错角，再根据平行线的判定定理，就能推出两条平分线的位置关系。
【解析】
我们通过画图辅助推导：设两条平行线为$AB// CD$，第三条截线$EF$分别交$AB$、$CD$于点$M$、$N$，此时一组内错角为$∠ AMN$和$∠ DNM$；作$MG$平分$∠ AMN$，$NH$平分$∠ DNM$。
1. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ AMN=∠ DNM$；
2. 因为$MG$平分$∠ AMN$，所以$∠ GMN=\frac{1}{2}∠ AMN$；同理$NH$平分$∠ DNM$，所以$∠ HNM=\frac{1}{2}∠ DNM$；
3. 由等量代换可得$∠ GMN=∠ HNM$，而$∠ GMN$和$∠ HNM$是直线$MG$、$NH$被直线$EF$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得$MG// NH$。
因此这组内错角的平分线互相平行。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
这道题是相交线与平行线模块的基础典型题，需要熟练区分平行线的性质和判定，结合角平分线的定义完成角度的等量推导，就能快速得出结论。
【难度系数】
0.8

2. 如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，$∠ 1=120°$，$∠ 2=40°$。要使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（）

A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$

2.B

【分析】
要解决本题，首先回忆平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行。第一步先根据邻补角的性质求出直线a、b相交形成的与∠2为同位角的角的度数，再对比直线b、c平行时该同位角需要等于∠2的度数，二者的差值就是直线b需要逆时针旋转的角度。
【解析】
已知∠1=120°，根据邻补角之和为180°，可得直线a、b相交形成的与∠1相邻的同位角（与∠2为同位角）的度数为：
$180°-120°=60°$
根据平行线的判定规则，当这个同位角等于∠2=40°时，直线$b// c$，因此直线b需要绕点A逆时针旋转的角度为：
$60°-40°=20°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定的基础应用类题目，解题的核心是明确两直线平行所需的同位角条件，结合邻补角的性质计算旋转角度，难度较低，主要考查对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ ABC$中：
(1)若$∠ A=50°$，$∠ ACB=70°$，则$∠ B=$.
(2)若$∠ A=50°$，$∠ B=42°$，则$∠ ACD=$.

3.(1)60° (2)92°

【分析】
这道题分为两小问，分别考察三角形内角和定理与外角性质的应用。第(1)问，已知三角形的两个内角，根据三角形内角和为180°，用180°减去已知的两个角的度数，即可求出∠B的度数；第(2)问，∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接将∠A和∠B的度数相加就能得到∠ACD的度数，也可以先求出∠ACB的度数，再根据平角为180°计算∠ACD。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ ACB = 180°$
已知$∠ A=50°$，$∠ ACB=70°$，代入得：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ ACB = 180° - 50° - 70° = 60°$
(2) 利用三角形外角性质求解：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，$∠ ACD$是$△ ABC$的外角，因此：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=50°$，$∠ B=42°$，代入得：
$∠ ACD = 50° + 42° = 92°$
【答案】
(1)$60°$ (2)$92°$
【知识点】
三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础计算题，是三角形角度计算的常规题型，核心考察三角形内角相关性质的直接应用，熟练掌握对应定理即可快速准确求解。
【难度系数】
0.9

4.如图，$a// b$，$PA⊥ PB$，$∠ 1=35°$，则$∠ 2$的度数是.

4.55°

【分析】
解题时首先要思考如何把已知的∠1和待求的∠2建立关联：已知a//b，我们可以过点P作PQ平行于a，根据平行公理的推论可得PQ也平行于b，这样就可以利用平行线的内错角相等，把∠1转化为∠APQ，∠2转化为∠BPQ；再结合PA⊥PB可知∠APB=90°，也就是∠APQ+∠BPQ=90°，代入∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
过点P作PQ//a，
∵a//b，
∴PQ//b（平行于同一直线的两条直线互相平行），
根据两直线平行，内错角相等，可得：
∠1=∠APQ，∠2=∠BPQ，
∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°（垂直的定义），即∠APQ+∠BPQ=90°，
∴∠1+∠2=90°，
代入∠1=35°，得∠2=90°-35°=55°。
【答案】
55°
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；角度计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，主要考查平行线性质和垂直定义的结合运用，解题的关键是合理作出辅助线，实现已知角和未知角的关系转化，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.85

5.如图,一个由4条线段构成的“鱼”形图案,其中∠1=50°,∠2=50°,∠3=130°,找出图中的平行线,并说明理由.

OA//BC,OB//AC 理由如下:
∵∠1=50°,∠2=50°,
∴∠1=∠2,则OB//AC,
∵∠2=50°,∠3=130°,
∴∠2+∠3=180°.
∴OA//BC

【分析】
要找出图中的平行线，需结合平行线的判定定理分析角的数量关系：首先回忆平行线的判定方法：同位角相等、同旁内角互补均可判定两直线平行。第一步先观察相等的角：已知∠1=∠2=50°，这两个角是直线OB、AC被直线OA所截形成的同位角，同位角相等即可判定OB与AC平行；第二步观察角的和：∠2=50°，∠3=130°，二者相加为180°，是直线OA、BC被直线OB所截形成的同旁内角，同旁内角互补即可判定OA与BC平行。
【解析】
解：图中的平行线为OB//AC，OA//BC，理由如下：
∵ ∠1=50°，∠2=50°（已知），
∴ ∠1=∠2（等量代换），
∴ OB//AC（同位角相等，两直线平行）。
∵ ∠2=50°，∠3=130°（已知），
∴ ∠2+∠3=50°+130°=180°，
∴ OA//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
OB//AC，OA//BC，理由：
∵∠1=50°,∠2=50°,
∴∠1=∠2，则OB//AC；
∵∠2=50°,∠3=130°,
∴∠2+∠3=180°，则OA//BC。
【知识点】
平行线的判定、同位角、同旁内角
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的同位角、同旁内角，再结合角的数量关系即可判断直线的位置关系。
【难度系数】
0.8

6.命题“若$a$是自然数，则代数式$(5a + 2)(5a + 1) + 3$的值是5的倍数.”是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请给出证明。

真命题 证明:(5a+2)(5a+1)+3=25a²+15a+5=5(5a²+3a+1),
∴原命题是真命题

【分析】
要判断该命题的真假，核心是验证代数式的值是否为5的整数倍，解题思路如下：第一步先根据多项式乘多项式的法则展开$(5a+2)(5a+1)$，第二步合并同类项化简整个代数式，第三步观察化简结果是否可以提取公因式5，若能提取出5，且剩余因式在a为自然数的前提下是整数，即可说明代数式是5的倍数，原命题为真命题，反之则为假命题。
【解析】
证明：对代数式展开并化简：
$\begin{aligned}(5a+2)(5a+1)+3&=25a^2+5a+10a+2+3\\&=25a^2+15a+5\\&=5(5a^2+3a+1)\end{aligned}$
因为a是自然数，所以$5a^2+3a+1$为正整数，因此$5(5a^2+3a+1)$是5的倍数，即代数式$(5a+2)(5a+1)+3$的值是5的倍数，原命题为真命题。
【答案】
真命题 证明:$(5a+2)(5a+1)+3=25a²+15a+5=5(5a²+3a+1)$，
∴原命题是真命题
【知识点】
多项式乘法运算，提公因式法因式分解，命题真假判断
【点评】
本题考查整式运算的实际应用，判断代数式是否为某数的倍数时，通常先化简代数式，再提取对应的公因数，结合变量的取值范围即可验证结论，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8