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7. 某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现，他把“抖空竹”抽象成数学问题，如图，已知$AB// CD$，$∠ BAE=87°$，$∠ DCE=121°$，则$∠ E$的度数是（
A.$28°$
B.$34°$
C.$46°$
D.$56°$
B
）A.$28°$
B.$34°$
C.$46°$
D.$56°$
答案
7.B
解析
【分析】
本题已知AB//CD，给出了两个角的度数，要求∠E的度数，解题时我们可以通过作辅助线搭建已知角和未知角的联系：延长DC交AE于点F，首先利用平行线的性质求出∠CFE的度数，再结合三角形外角的性质，即可推导得到∠E和已知角的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长DC，交AE于点F。
∵AB//CD，
∴∠CFE=∠BAE=87°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠DCE是△CEF的外角，
∴∠DCE=∠CFE+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴∠E=∠DCE - ∠CFE=121° - 87°=34°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统抖空竹的生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将已知角和未知角转化到可关联的几何关系中，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
本题已知AB//CD，给出了两个角的度数，要求∠E的度数，解题时我们可以通过作辅助线搭建已知角和未知角的联系：延长DC交AE于点F，首先利用平行线的性质求出∠CFE的度数，再结合三角形外角的性质，即可推导得到∠E和已知角的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：延长DC，交AE于点F。
∵AB//CD，
∴∠CFE=∠BAE=87°（两直线平行，同位角相等）。
∵∠DCE是△CEF的外角，
∴∠DCE=∠CFE+∠E（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∴∠E=∠DCE - ∠CFE=121° - 87°=34°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合传统抖空竹的生活场景考查几何知识的应用，解题的关键是正确作出辅助线，将已知角和未知角转化到可关联的几何关系中，属于基础类的几何应用题。
【难度系数】
0.7
8.已知$ l_1 // l_2 $，直线$ l $与$ l_1 $，$ l_2 $相交于C，D两点，将一把含$ 30° $角的三角尺按如图所示的位置摆放.若$ ∠ 1 = 130° $，则$ ∠ 2 = $
20°
.答案
8.20°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先已知∠1=130°，根据邻补角互补可求出∠1在直线$l_1$上的邻补角度数；再结合$l_1 // l_2$的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到直线$l_2$上对应角的度数；最后结合含30°角三角尺的特殊角度，观察图形发现所求∠2与上述两个角存在和差关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求∠1的邻补角度数：
∵∠1与∠ACD互为邻补角，∠1=130°
∴$∠ ACD=180°-∠ 1=180°-130°=50°$
2. 利用平行线性质求∠CDB：
∵$l_1 // l_2$，∠ACD与∠CDB是内错角
∴$∠ CDB=∠ ACD=50°$
3. 结合三角尺特殊角求∠2：
已知三角尺为含30°角的直角三角尺，故$∠ ADB=30°$
观察图形可得$∠ CDB=∠ 2+∠ ADB$
∴$∠ 2=∠ CDB-∠ ADB=50°-30°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考察平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图形中的内错角、邻补角，结合特殊三角尺的固定角度进行角的运算，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先已知∠1=130°，根据邻补角互补可求出∠1在直线$l_1$上的邻补角度数；再结合$l_1 // l_2$的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到直线$l_2$上对应角的度数；最后结合含30°角三角尺的特殊角度，观察图形发现所求∠2与上述两个角存在和差关系，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
1. 求∠1的邻补角度数：
∵∠1与∠ACD互为邻补角，∠1=130°
∴$∠ ACD=180°-∠ 1=180°-130°=50°$
2. 利用平行线性质求∠CDB：
∵$l_1 // l_2$，∠ACD与∠CDB是内错角
∴$∠ CDB=∠ ACD=50°$
3. 结合三角尺特殊角求∠2：
已知三角尺为含30°角的直角三角尺，故$∠ ADB=30°$
观察图形可得$∠ CDB=∠ 2+∠ ADB$
∴$∠ 2=∠ CDB-∠ ADB=50°-30°=20°$
【答案】
20°
【知识点】
平行线的性质；邻补角的定义；角的和差计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考察平行线性质的应用，解题的关键是准确识别图形中的内错角、邻补角，结合特殊三角尺的固定角度进行角的运算，是平行线章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图,已知直线$AB// CD$,直线$EF$分别交$AB$,$CD$于$M$,$N$,$MP$平分$∠ EMB$,$NQ$平分$∠ MND$.求证:$MP// NQ$.
答案
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ EMB = ∠ MND$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $MP$ 平分 $∠ EMB$，
∴ $∠ EMP = \frac{1}{2}∠ EMB$（角平分线的定义）。
∵ $NQ$ 平分 $∠ MND$，
∴ $∠ MNQ = \frac{1}{2}∠ MND$（角平分线的定义）。
∴ $∠ EMP = ∠ MNQ$（等量代换）。
∴ $MP// NQ$（同位角相等，两直线平行）。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ EMB = ∠ MND$（两直线平行，同位角相等）。
∵ $MP$ 平分 $∠ EMB$，
∴ $∠ EMP = \frac{1}{2}∠ EMB$（角平分线的定义）。
∵ $NQ$ 平分 $∠ MND$，
∴ $∠ MNQ = \frac{1}{2}∠ MND$（角平分线的定义）。
∴ $∠ EMP = ∠ MNQ$（等量代换）。
∴ $MP// NQ$（同位角相等，两直线平行）。
解析
【分析】
要证明$MP// NQ$，可根据平行线的判定定理，证明二者被直线$EF$所截形成的同位角$∠ EMP$和$∠ MNQ$相等即可。首先由已知$AB// CD$，利用平行线的性质可得到同位角$∠ EMB=∠ MND$；再结合$MP$、$NQ$分别是$∠ EMB$和$∠ MND$的角平分线，根据角平分线的定义，可推出两个角的二分之一也相等，即$∠ EMP=∠ MNQ$，最后根据“同位角相等，两直线平行”即可证明结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ EMB = ∠ MND$（两直线平行，同位角相等）。
$\because MP$平分$∠ EMB$，
$\therefore ∠ EMP = \frac{1}{2}∠ EMB$（角平分线的定义）。
$\because NQ$平分$∠ MND$，
$\therefore ∠ MNQ = \frac{1}{2}∠ MND$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ EMP = ∠ MNQ$（等量代换）。
$\therefore MP// NQ$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上，可证得$MP// NQ$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关证明的基础题型，解题核心是区分平行线性质和判定的使用场景：由直线平行推导角的数量关系用平行线性质，由角的数量关系推导直线平行用平行线判定，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明$MP// NQ$，可根据平行线的判定定理，证明二者被直线$EF$所截形成的同位角$∠ EMP$和$∠ MNQ$相等即可。首先由已知$AB// CD$，利用平行线的性质可得到同位角$∠ EMB=∠ MND$；再结合$MP$、$NQ$分别是$∠ EMB$和$∠ MND$的角平分线，根据角平分线的定义，可推出两个角的二分之一也相等，即$∠ EMP=∠ MNQ$，最后根据“同位角相等，两直线平行”即可证明结论。
【解析】
证明：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ EMB = ∠ MND$（两直线平行，同位角相等）。
$\because MP$平分$∠ EMB$，
$\therefore ∠ EMP = \frac{1}{2}∠ EMB$（角平分线的定义）。
$\because NQ$平分$∠ MND$，
$\therefore ∠ MNQ = \frac{1}{2}∠ MND$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠ EMP = ∠ MNQ$（等量代换）。
$\therefore MP// NQ$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
证明过程如上，可证得$MP// NQ$。
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线相关证明的基础题型，解题核心是区分平行线性质和判定的使用场景：由直线平行推导角的数量关系用平行线性质，由角的数量关系推导直线平行用平行线判定，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10. 已知$AB// CD$，$∠ ABE$与$∠ CDE$的平分线交于点$F$.
(1)如图1，若$∠ E=80°$，求$∠ BFD$的度数.
(2)如图2，$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，写出$∠ M$与$∠ E$之间的数量关系，并证明你的结论.
★(3)若$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{n}∠ CDF$，设$∠ E=m°$，则$∠ M=$
(1)如图1，若$∠ E=80°$，求$∠ BFD$的度数.
(2)如图2，$∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，写出$∠ M$与$∠ E$之间的数量关系，并证明你的结论.
★(3)若$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{n}∠ CDF$，设$∠ E=m°$，则$∠ M=$
$\frac{360°-m°}{2n}$
（用含$n,m$的代数式表示，不用证明）.答案
(1)$∠BFD=140°$
(2)$\because ∠ABM=\frac{1}{3}∠ABF,∠CDM=\frac{1}{3}∠CDF$,
$\therefore ∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM.$
$\because ∠ABE$与$∠CDE$的平分线交于点$F,\therefore ∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM.$
易证$∠ABE+∠E+∠CDE=360°,∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.$
易证$∠M=∠ABM+∠CDM,∴6∠M+∠E=360°$
(3)$\frac{360°-m°}{2n}$
(2)$\because ∠ABM=\frac{1}{3}∠ABF,∠CDM=\frac{1}{3}∠CDF$,
$\therefore ∠ABF=3∠ABM,∠CDF=3∠CDM.$
$\because ∠ABE$与$∠CDE$的平分线交于点$F,\therefore ∠ABE=6∠ABM,∠CDE=6∠CDM.$
易证$∠ABE+∠E+∠CDE=360°,∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°.$
易证$∠M=∠ABM+∠CDM,∴6∠M+∠E=360°$
(3)$\frac{360°-m°}{2n}$
解析
【分析】
本题考查平行线的性质与角平分线的综合应用，可通过过拐点作平行线，利用平行线折线拐角模型推导角的数量关系：
(1) 先分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线同旁内角互补的性质，推导$∠ ABE+∠ CDE$与$∠ E$的关系，再结合角平分线性质推导$∠ BFD$和$∠ ABE+∠ CDE$的关系，代入$∠ E$的度数即可求解；
(2) 根据已知角的比例关系，将$∠ ABE$、$∠ CDE$用$∠ ABM$、$∠ CDM$表示，结合(1)得到的$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，以及平行线性质推导的$∠ M=∠ ABM+∠ CDM$，即可推出$∠ M$和$∠ E$的数量关系；
(3) 类比第(2)问的推导逻辑，将比例系数换成$n$，代入$∠ E=m°$即可直接写出$∠ M$的表达式。
【解析】
(1) 如图1，分别过点E作$EG// AB$，过点F作$FH// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore AB// CD// EG// FH$，
$\therefore ∠ ABE+∠ BEG=180°$，$∠ CDE+∠ DEG=180°$，
两式相加得：$∠ ABE+∠ CDE+∠ BEG+∠ DEG=360°$，
即$∠ ABE+∠ CDE+∠ BED=360°$，
$\because ∠ BED=80°$，$\therefore ∠ ABE+∠ CDE=360°-80°=280°$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}×280°=140°$，
又$\because FH// AB// CD$，$\therefore ∠ ABF=∠ BFH$，$∠ CDF=∠ DFH$，
$\therefore ∠ BFD=∠ BFH+∠ DFH=∠ ABF+∠ CDF=140°$。
(2) 数量关系为$6∠ M+∠ E=360°$，证明如下：
$\because ∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，
$\therefore ∠ ABF=3∠ ABM$，$∠ CDF=3∠ CDM$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABE=2∠ ABF=6∠ ABM$，$∠ CDE=2∠ CDF=6∠ CDM$，
由(1)得$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，
代入得：$6∠ ABM+6∠ CDM+∠ E=360°$，即$6(∠ ABM+∠ CDM)+∠ E=360°$，
过点M作$MN// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore MN// AB// CD$，
$\therefore ∠ ABM=∠ BMN$，$∠ CDM=∠ DMN$，
$\therefore ∠ M=∠ BMN+∠ DMN=∠ ABM+∠ CDM$，
代入上式得：$6∠ M+∠ E=360°$。
(3) 类比(2)的推导逻辑，当$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{n}∠ CDF$时，
$∠ ABE=2n∠ ABM$，$∠ CDE=2n∠ CDM$，
代入$∠ ABE+∠ CDE+m°=360°$，得$2n(∠ ABM+∠ CDM)=360°-m°$，
又$\because ∠ M=∠ ABM+∠ CDM$，
$\therefore ∠ M=\frac{360°-m°}{2n}$。
【答案】
(1) $\boxed{140°}$
(2) $\boxed{6∠ M + ∠ E = 360°}$
(3) $\boxed{\dfrac{360° - m°}{2n}}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行线拐角模型
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合探究题，从特殊到一般逐步推导角的关系，解题关键是熟练掌握平行线折线模型的角关系结论，结合角平分线的性质进行代换即可求解，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题考查平行线的性质与角平分线的综合应用，可通过过拐点作平行线，利用平行线折线拐角模型推导角的数量关系：
(1) 先分别过点E、F作AB的平行线，根据平行线同旁内角互补的性质，推导$∠ ABE+∠ CDE$与$∠ E$的关系，再结合角平分线性质推导$∠ BFD$和$∠ ABE+∠ CDE$的关系，代入$∠ E$的度数即可求解；
(2) 根据已知角的比例关系，将$∠ ABE$、$∠ CDE$用$∠ ABM$、$∠ CDM$表示，结合(1)得到的$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，以及平行线性质推导的$∠ M=∠ ABM+∠ CDM$，即可推出$∠ M$和$∠ E$的数量关系；
(3) 类比第(2)问的推导逻辑，将比例系数换成$n$，代入$∠ E=m°$即可直接写出$∠ M$的表达式。
【解析】
(1) 如图1，分别过点E作$EG// AB$，过点F作$FH// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore AB// CD// EG// FH$，
$\therefore ∠ ABE+∠ BEG=180°$，$∠ CDE+∠ DEG=180°$，
两式相加得：$∠ ABE+∠ CDE+∠ BEG+∠ DEG=360°$，
即$∠ ABE+∠ CDE+∠ BED=360°$，
$\because ∠ BED=80°$，$\therefore ∠ ABE+∠ CDE=360°-80°=280°$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，$∠ CDF=\frac{1}{2}∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABF+∠ CDF=\frac{1}{2}(∠ ABE+∠ CDE)=\frac{1}{2}×280°=140°$，
又$\because FH// AB// CD$，$\therefore ∠ ABF=∠ BFH$，$∠ CDF=∠ DFH$，
$\therefore ∠ BFD=∠ BFH+∠ DFH=∠ ABF+∠ CDF=140°$。
(2) 数量关系为$6∠ M+∠ E=360°$，证明如下：
$\because ∠ ABM=\frac{1}{3}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{3}∠ CDF$，
$\therefore ∠ ABF=3∠ ABM$，$∠ CDF=3∠ CDM$，
$\because BF$平分$∠ ABE$，$DF$平分$∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABE=2∠ ABF=6∠ ABM$，$∠ CDE=2∠ CDF=6∠ CDM$，
由(1)得$∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°$，
代入得：$6∠ ABM+6∠ CDM+∠ E=360°$，即$6(∠ ABM+∠ CDM)+∠ E=360°$，
过点M作$MN// AB$，$\because AB// CD$，$\therefore MN// AB// CD$，
$\therefore ∠ ABM=∠ BMN$，$∠ CDM=∠ DMN$，
$\therefore ∠ M=∠ BMN+∠ DMN=∠ ABM+∠ CDM$，
代入上式得：$6∠ M+∠ E=360°$。
(3) 类比(2)的推导逻辑，当$∠ ABM=\frac{1}{n}∠ ABF$，$∠ CDM=\frac{1}{n}∠ CDF$时，
$∠ ABE=2n∠ ABM$，$∠ CDE=2n∠ CDM$，
代入$∠ ABE+∠ CDE+m°=360°$，得$2n(∠ ABM+∠ CDM)=360°-m°$，
又$\because ∠ M=∠ ABM+∠ CDM$，
$\therefore ∠ M=\frac{360°-m°}{2n}$。
【答案】
(1) $\boxed{140°}$
(2) $\boxed{6∠ M + ∠ E = 360°}$
(3) $\boxed{\dfrac{360° - m°}{2n}}$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，平行线拐角模型
【点评】
本题是平行线与角平分线的综合探究题，从特殊到一般逐步推导角的关系，解题关键是熟练掌握平行线折线模型的角关系结论，结合角平分线的性质进行代换即可求解，对几何逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
