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7. 下列命题中，不正确的是（
A.同旁内角互补
B.若$|a|=-a$，则$a≤0$
C.如果一个数的平方根是它本身，那么这个数只能是0
D.如果一个数的立方根是它本身，那么这个数可能是0，1或-1
A
）A.同旁内角互补
B.若$|a|=-a$，则$a≤0$
C.如果一个数的平方根是它本身，那么这个数只能是0
D.如果一个数的立方根是它本身，那么这个数可能是0，1或-1
答案
7.A
解析
【分析】
本题要求选出不正确的命题，解题时需要逐个分析每个选项对应的知识点，判断命题的真假：首先回忆同旁内角互补的前提条件，再结合绝对值的性质、平方根和立方根的定义分别验证其余选项，最终选出错误命题即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：只有当两条被截直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，符合题意；
选项B：根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（也满足$|0|=-0$），因此若$|a|=-a$，则$a≤0$，是真命题，不符合题意；
选项C：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，因此该命题是真命题，不符合题意；
选项D：经计算，$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，因此立方根是它本身的数为0、1或-1，该命题是真命题，不符合题意。
综上，不正确的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
真假命题判定；绝对值的性质；平方根与立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查常见定理、性质的适用条件，易错点是忽略“同旁内角互补”的前提是两直线平行，日常学习中要注意对概念、定理的完整理解，牢记特殊数值的相关性质。
【难度系数】
0.8
本题要求选出不正确的命题，解题时需要逐个分析每个选项对应的知识点，判断命题的真假：首先回忆同旁内角互补的前提条件，再结合绝对值的性质、平方根和立方根的定义分别验证其余选项，最终选出错误命题即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：只有当两条被截直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，符合题意；
选项B：根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（也满足$|0|=-0$），因此若$|a|=-a$，则$a≤0$，是真命题，不符合题意；
选项C：正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根，只有0的平方根是它本身，因此该命题是真命题，不符合题意；
选项D：经计算，$\sqrt[3]{0}=0$，$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{-1}=-1$，因此立方根是它本身的数为0、1或-1，该命题是真命题，不符合题意。
综上，不正确的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
真假命题判定；绝对值的性质；平方根与立方根的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查常见定理、性质的适用条件，易错点是忽略“同旁内角互补”的前提是两直线平行，日常学习中要注意对概念、定理的完整理解，牢记特殊数值的相关性质。
【难度系数】
0.8
▲8.对于数对$(a,b),(c,d)$,定义:当且仅当$a=c$且$b=d$时,$(a,b)=(c,d)$.定义其运算如下:$(a,b)※(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$,如$(1,2)※(3,4)=(1×3-2×4,1×4+2×3)=(-5,10)$.若$(x,y)※(1,1)=(1,3)$,则$x^y$的值是
2
.答案
8.2
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则和数对相等的判定条件：第一步先将$(x,y)※(1,1)$按照给定的运算规则展开，得到含$x$、$y$的数对；第二步根据数对相等时对应元素分别相等的性质，列出关于$x$、$y$的二元一次方程组；第三步解方程组得到$x$、$y$的值，最后代入$x^y$计算即可得到结果。
【解析】
根据题中定义的运算规则：
$(x,y)※(1,1)=(x×1 - y×1, x×1 + y×1)=(x-y, x+y)$
已知$(x,y)※(1,1)=(1,3)$，由数对相等的条件可得方程组：
$\begin{cases}x-y=1 \\x+y=3\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=4$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$x-y=1$，得$2-y=1$，解得$y=1$，
因此$x^y=2^1=2$。
【答案】
2
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，考查知识迁移能力，核心是将陌生的新运算转化为已学的代数式运算和方程组问题，认真审题、准确套用规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解题目给出的新运算规则和数对相等的判定条件：第一步先将$(x,y)※(1,1)$按照给定的运算规则展开，得到含$x$、$y$的数对；第二步根据数对相等时对应元素分别相等的性质，列出关于$x$、$y$的二元一次方程组；第三步解方程组得到$x$、$y$的值，最后代入$x^y$计算即可得到结果。
【解析】
根据题中定义的运算规则：
$(x,y)※(1,1)=(x×1 - y×1, x×1 + y×1)=(x-y, x+y)$
已知$(x,y)※(1,1)=(1,3)$，由数对相等的条件可得方程组：
$\begin{cases}x-y=1 \\x+y=3\end{cases}$
将两个方程相加得：$2x=4$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$x-y=1$，得$2-y=1$，解得$y=1$，
因此$x^y=2^1=2$。
【答案】
2
【知识点】
新定义运算，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于新定义类基础题，考查知识迁移能力，核心是将陌生的新运算转化为已学的代数式运算和方程组问题，认真审题、准确套用规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9.现规定$a,b$两数之间的一种运算,记作$(a,b)$:若$a^c = b$,则$(a,b)=c$.
如$(2,8)=3$.试说明下列结论均正确.
(1)对于任意自然数$n$,都有$(3^n,4^n)=(3,4)$.
(2)$(3,4)+(3,5)=(3,20)$.
如$(2,8)=3$.试说明下列结论均正确.
(1)对于任意自然数$n$,都有$(3^n,4^n)=(3,4)$.
(2)$(3,4)+(3,5)=(3,20)$.
答案
9.(1)设$(3^n,4^n)=x$,则$(3^n)^x=4^n$,$\therefore 3^x=4$,$\therefore (3^n,4^n)=(3,4)$
(2)设$(3,4)=x$,$(3,5)=y$,$\therefore 3^x=4$,$3^y=5$,则$3^x×3^y=20$,$\therefore 3^{x+y}=20$,$\therefore (3,20)=x+y$,即$(3,4)+(3,5)=(3,20)$
(2)设$(3,4)=x$,$(3,5)=y$,$\therefore 3^x=4$,$3^y=5$,则$3^x×3^y=20$,$\therefore 3^{x+y}=20$,$\therefore (3,20)=x+y$,即$(3,4)+(3,5)=(3,20)$
解析
【分析】
本题是新定义运算题型，解题核心是先准确理解题干给出的运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，即$(a,b)$代表使$a$的乘方结果等于$b$的指数。两个小问均采用设元法求解：先把新运算的结果设为未知数，根据定义转化为熟悉的幂运算等式，再结合幂的运算性质推导，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 设$(3^n,4^n)=x$，根据新运算定义可得$(3^n)^x=4^n$，由幂的乘方性质变形得$3^{nx}=(3^x)^n=4^n$，因为$n$是自然数，所以可得$3^x=4$，即$(3,4)=x$，因此$(3^n,4^n)=(3,4)$。
(2) 设$(3,4)=x$，$(3,5)=y$，根据新运算定义可得$3^x=4$，$3^y=5$，两式相乘得$3^x×3^y=4×5=20$，由同底数幂的乘法性质得$3^{x+y}=20$，即$(3,20)=x+y$，因此$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。
【答案】
(1) 设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x=4^n$，$\therefore 3^x=4$，$\therefore (3^n,4^n)=(3,4)$，结论正确；
(2) 设$(3,4)=x$，$(3,5)=y$，$\therefore 3^x=4$，$3^y=5$，则$3^x×3^y=20$，$\therefore 3^{x+y}=20$，$\therefore (3,20)=x+y$，即$(3,4)+(3,5)=(3,20)$，结论正确。
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查对新定义的理解和幂运算性质的灵活应用，解题关键是将陌生的新运算转化为已学的幂运算知识，能有效锻炼知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算题型，解题核心是先准确理解题干给出的运算规则：若$a^c = b$，则$(a,b)=c$，即$(a,b)$代表使$a$的乘方结果等于$b$的指数。两个小问均采用设元法求解：先把新运算的结果设为未知数，根据定义转化为熟悉的幂运算等式，再结合幂的运算性质推导，即可验证结论成立。
【解析】
(1) 设$(3^n,4^n)=x$，根据新运算定义可得$(3^n)^x=4^n$，由幂的乘方性质变形得$3^{nx}=(3^x)^n=4^n$，因为$n$是自然数，所以可得$3^x=4$，即$(3,4)=x$，因此$(3^n,4^n)=(3,4)$。
(2) 设$(3,4)=x$，$(3,5)=y$，根据新运算定义可得$3^x=4$，$3^y=5$，两式相乘得$3^x×3^y=4×5=20$，由同底数幂的乘法性质得$3^{x+y}=20$，即$(3,20)=x+y$，因此$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。
【答案】
(1) 设$(3^n,4^n)=x$，则$(3^n)^x=4^n$，$\therefore 3^x=4$，$\therefore (3^n,4^n)=(3,4)$，结论正确；
(2) 设$(3,4)=x$，$(3,5)=y$，$\therefore 3^x=4$，$3^y=5$，则$3^x×3^y=20$，$\therefore 3^{x+y}=20$，$\therefore (3,20)=x+y$，即$(3,4)+(3,5)=(3,20)$，结论正确。
【知识点】
新定义运算，幂的乘方，同底数幂的乘法
【点评】
本题考查对新定义的理解和幂运算性质的灵活应用，解题关键是将陌生的新运算转化为已学的幂运算知识，能有效锻炼知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
10. 定义一种对于三位数$\overline{abc}$（$a,b,c$不完全相同）的“F运算”：重排$\overline{abc}$的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零）。
如：若$\overline{abc}=213$，则$\boxed{213}\xrightarrow{F}\boxed{198}(321-123=198)\xrightarrow{F}\boxed{792}(981-189=792)$。
(1)579经过三次“F运算”得
(2)假设$\overline{abc}$中$a＞b＞c$，则$\overline{abc}$经过一次“F运算”得
★(3)猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值
如：若$\overline{abc}=213$，则$\boxed{213}\xrightarrow{F}\boxed{198}(321-123=198)\xrightarrow{F}\boxed{792}(981-189=792)$。
(1)579经过三次“F运算”得
495
。(2)假设$\overline{abc}$中$a＞b＞c$，则$\overline{abc}$经过一次“F运算”得
$99(a-c)$
（用代数式表示）。★(3)猜想：任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个定值
495
，请证明你的猜想。答案
10.(1)495 (2)$99(a-c)$ (3)495 证明:设这个三位数$\overline{abc}$中三个数字$a≥ b≥ c$,且$a≥ c+1$,则“F运算”有$\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)$,因此所得的三位数中必有一个9,而另外两个数字之和为9.共有990,981,972,963,954五种情况.以990为例,得$990-099=891$,$981-189=792$,$972-279=693$,$963-369=594$,$954-459=495$,…,最后得到495,数就会循环,即定值为495
解析
【分析】
(1) 第一小问严格按照“F运算”定义操作即可：每次对当前数的三个数位数字重排，计算最大三位数减最小三位数的差，连续运算三次得到结果；
(2) 第二小问已知$a＞b＞c$，可直接写出重排后的最大三位数$\overline{abc}$和最小三位数$\overline{cba}$，两数作差化简即可得到代数式结果；
(3) 第三小问先通过实例猜想定值为495，证明时先设出三位数三个数字的大小关系，推导一次“F运算”后所得数字的特征，再对所有可能的中间结果逐一运算，验证最终都会得到固定值即可。
【解析】
(1) 第一次“F运算”：将579重排得最大数975、最小数579，差为$975-579=396$；
第二次“F运算”：将396重排得最大数963、最小数369，差为$963-369=594$；
第三次“F运算”：将594重排得最大数954、最小数459，差为$954-459=495$。
(2) 当$a＞b＞c$时，重排后最大三位数为$100a+10b+c$，最小三位数为$100c+10b+a$，一次“F运算”结果为：
$\begin{aligned}&(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\=&99a-99c\\=&99(a-c)\end{aligned}$
(3) 猜想定值为495，证明如下：
设任意三位数的三个数位数字满足$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（三个数字不完全相同），一次“F运算”结果为：
$\begin{aligned}&\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-(100c+10b+a)\\=&99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)\end{aligned}$
可得运算结果必有一个数字为9，另外两个数字之和为9，所有可能的结果为990、981、972、963、954五种：
$990-099=891$，$981-189=792$，$972-279=693$，$963-369=594$，$954-459=495$，后续对495执行“F运算”仍得$954-459=495$，结果保持不变，故任意三位数经过若干次“F运算”都会得到定值495。
【答案】
(1) $\boxed{495}$；(2) $\boxed{99(a-c)}$；(3) $\boxed{495}$，证明见解析
【知识点】
1. 新定义运算 2. 整式的加减 3. 数字规律探究
【点评】
本题结合新定义考查代数式化简与规律探究能力，解题核心是准确理解“F运算”的规则，掌握数位表示数的方法，通过从特殊到一般的推理即可验证规律，难度适中，注重对逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 第一小问严格按照“F运算”定义操作即可：每次对当前数的三个数位数字重排，计算最大三位数减最小三位数的差，连续运算三次得到结果；
(2) 第二小问已知$a＞b＞c$，可直接写出重排后的最大三位数$\overline{abc}$和最小三位数$\overline{cba}$，两数作差化简即可得到代数式结果；
(3) 第三小问先通过实例猜想定值为495，证明时先设出三位数三个数字的大小关系，推导一次“F运算”后所得数字的特征，再对所有可能的中间结果逐一运算，验证最终都会得到固定值即可。
【解析】
(1) 第一次“F运算”：将579重排得最大数975、最小数579，差为$975-579=396$；
第二次“F运算”：将396重排得最大数963、最小数369，差为$963-369=594$；
第三次“F运算”：将594重排得最大数954、最小数459，差为$954-459=495$。
(2) 当$a＞b＞c$时，重排后最大三位数为$100a+10b+c$，最小三位数为$100c+10b+a$，一次“F运算”结果为：
$\begin{aligned}&(100a+10b+c)-(100c+10b+a)\\=&99a-99c\\=&99(a-c)\end{aligned}$
(3) 猜想定值为495，证明如下：
设任意三位数的三个数位数字满足$a≥b≥c$，且$a≥c+1$（三个数字不完全相同），一次“F运算”结果为：
$\begin{aligned}&\overline{abc}-\overline{cba}=100a+10b+c-(100c+10b+a)\\=&99(a-c)=100(a-c-1)+10×9+(10+c-a)\end{aligned}$
可得运算结果必有一个数字为9，另外两个数字之和为9，所有可能的结果为990、981、972、963、954五种：
$990-099=891$，$981-189=792$，$972-279=693$，$963-369=594$，$954-459=495$，后续对495执行“F运算”仍得$954-459=495$，结果保持不变，故任意三位数经过若干次“F运算”都会得到定值495。
【答案】
(1) $\boxed{495}$；(2) $\boxed{99(a-c)}$；(3) $\boxed{495}$，证明见解析
【知识点】
1. 新定义运算 2. 整式的加减 3. 数字规律探究
【点评】
本题结合新定义考查代数式化简与规律探究能力，解题核心是准确理解“F运算”的规则，掌握数位表示数的方法，通过从特殊到一般的推理即可验证规律，难度适中，注重对逻辑推导能力的考查。
【难度系数】
0.6
