3.如图，月历中“田”字形和倒“Z”字形的4个数之间有什么规律？请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.

3. 解：
“田”字形四个数为$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
倒“Z”字形四个数为a、a+1、a+6、a+7
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).

【分析】
解题首先要明确月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。先观察“田”字形的四个数的位置，分别写出四个数的代数式，再计算两组对角的和，对比即可找到规律；再观察倒“Z”字形的四个数，分别写出四个数的代数式，计算两端两数之和与中间两数之和，对比得到对应规律。
【解析】
1. 探究“田”字形规律：
根据月历的数字排列特征，“田”字形四个数分别为左上角$a$，右上角$a+1$，左下角$a+7$，右下角$a+8$。
分别计算两组对角的和：
$a+(a+8)=2a+8$
$(a+1)+(a+7)=2a+8$
因此可得等式$a+(a+8)=(a+1)+(a+7)$。
2. 探究倒“Z”字形规律：
倒“Z”字形的四个数分别为$a$、$a+1$、$a+6$、$a+7$。
分别计算两端数字之和与中间数字之和：
$a+(a+7)=2a+7$
$(a+1)+(a+6)=2a+7$
因此可得等式$a+(a+7)=(a+1)+(a+6)$。
【答案】
“田”字形四个数为$\begin{array}{|c|c|} \hline a & a+1 \\ \hline a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+8)=(a+1)+(a+7).$
规律:“田”字形中上阶梯的两数之和等于下阶梯的两数之和(答案不唯一).
倒“Z”字形四个数为a、a+1、a+6、a+7
$a+(a+7)=(a+1)+(a+6).$
规律:倒“Z”字形中两端的两数之和等于中间两数之和(答案不唯一).
【知识点】
列代数式，整式加减运算，数字规律探究
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，考查规律探究能力，解题的关键是先明确月历的数字排列特征，再通过代数式运算验证猜想的规律，能够有效锻炼观察能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.8

4.如图，月历中“X”字形的5个数之间有什么规律？请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.

4. 解：
“X”字形五个数为$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+a+(a-8)+(a+8)=5a.$
规律:“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍(答案不唯一).

【分析】
要探究“X”字形5个数的规律，首先明确月历的基本排列规则：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。我们可以设“X”字形正中间的数为a，再根据月历的排列特点分别表示出剩余4个位置的数，最后计算5个数的和，就能总结出对应的规律。
【解析】
设“X”字形正中间的数为a：
1. 左上角的数：比a往上1行（减7）、往左1列（减1），即$a-7-1=a-8$；
2. 右上角的数：比a往上1行（减7）、往右1列（加1），即$a-7+1=a-6$；
3. 左下角的数：比a往下1行（加7）、往左1列（减1），即$a+7-1=a+6$；
4. 右下角的数：比a往下1行（加7）、往右1列（加1），即$a+7+1=a+8$。
计算5个数的和：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-6)+a+(a+6)+(a+8)\\=&a-8+a-6+a+a+6+a+8\\=&5a\end{aligned}$
【答案】
“X”字形的5个数之和等于正中间数的5倍，用含a的式子表示为：五个数分别为$a-8$、$a-6$、$a$、$a+6$、$a+8$，5个数的和为$5a$（答案不唯一）。
【知识点】
用字母表示数；整式的加减；月历数字规律
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要先掌握月历的基本排列特点，通过设中间数为未知数，表示出其余数字后化简代数式即可得到规律，能较好地锻炼观察能力和代数式的应用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图,月历中“工”字形的7个数之间有什么规律? 请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.

5. 解：
“工”字形七个数为$\begin{array}{|c|c|c|} \hline a-8 & a-7 & a-6 \\ \hline & a & \\ \hline a+6 & a+7 & a+8 \\ \hline \end{array}$
$(a-6)+(a+6)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)=7a.$
规律:“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍(答案不唯一).

【分析】
首先明确月历的基本数字规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。我们可以设“工”字形正中间的数为$a$，根据上述规律分别表示出“工”字形剩下的6个数，再将7个数相加化简，即可得到对应的规律。
【解析】
设“工”字形正中间的数为$ a $：
1. 正中间上方一行的三个数：同一列上方的数比$a$小7，即$a-7$，它左边相邻数为$a-7-1=a-8$，右边相邻数为$a-7+1=a-6$；
2. 正中间下方一行的三个数：同一列下方的数比$a$大7，即$a+7$，它左边相邻数为$a+7-1=a+6$，右边相邻数为$a+7+1=a+8$。
将7个数相加计算：
$\begin{aligned}&(a-8)+(a-7)+(a-6)+a+(a+6)+(a+7)+(a+8)\\=&a-8+a-7+a-6+a+a+6+a+7+a+8\\=&7a\end{aligned}$
【答案】
“工”字形的7个数之和等于正中间数的7倍，即7个数的和为$ 7a $（$a$为正中间的数，答案不唯一）。
【知识点】
月历数字规律，用字母表示数，整式加减运算
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究，解题的关键是先掌握月历中数字的基础差量关系，再通过设未知数、列代数式、化简代数式得到最终规律，属于规律探究类的基础题型。
【难度系数】
0.7

6.如图，月历中阴影里的15个数之间有什么规律？请你用含字母a的式子来表示你发现的规律.

6. 解：
阴影里的15个数为$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline a-9 & a-8 & a-7 & a-6 & a-5 \\ \hline a-2 & a-1 & a & a+1 & a+2 \\ \hline a+5 & a+6 & a+7 & a+8 & a+9 \\ \hline \end{array}$
$a+(a+1)+(a-1)+(a+2)+(a-2)+(a+5)+(a-5)+(a+6)+(a-6)+(a+7)+(a-7)+(a+8)+(a-8)+(a+9)+(a-9)=15a.$
规律:题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍(答案不唯一).

【分析】
解题时先回忆月历的基本数字规律：同一行相邻数相差1，同一列相邻数相差7。我们可以选择阴影部分最中间的数作为基准量，设为a，再根据月历的数字差规律，把剩余14个数字都用含a的代数式表示出来，最后将15个数相加，通过整式的加减化简后就能总结出规律。
【解析】
1. 明确月历数字基本规律：同一行中相邻两个数相差1，同一列中相邻两个数相差7。
2. 设阴影部分正中间的数为$a$，根据上述规律可表示出其余14个数：
第一行（中间数的上一行）：$a-9$、$a-8$、$a-7$、$a-6$、$a-5$
第二行（中间数所在行）：$a-2$、$a-1$、$a$、$a+1$、$a+2$
第三行（中间数的下一行）：$a+5$、$a+6$、$a+7$、$a+8$、$a+9$
3. 计算15个数的和：
$\begin{aligned}&(a-9)+(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-5)+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+(a+5)+(a+6)+(a+7)+(a+8)+(a+9)\\=&a-9+a-8+a-7+a-6+a-5+a-2+a-1+a+a+1+a+2+a+5+a+6+a+7+a+8+a+9\\=&15a\end{aligned}$
由此可得出规律。
【答案】
题图阴影里的15个数之和等于正中间数的15倍（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
月历数字规律，列代数式，整式的加减
【点评】
本题结合生活中常见的月历考查数字规律的探究，需要先观察出月历中数字的基本位置关系，再通过设未知数表示各数、化简代数式得到结论，能有效提升观察归纳能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7