登录
【例1】求证:只有一组三个连续正整数能构成直角三角形。
答案
证明:设三边的长分别为n,n+1,n+2(n＞0),
根据题意,得n²+(n+1)²=(n+2)²,
整理,得n²-2n-3=0,
解得n₁=3,n₂=-1(不合题意,舍去),
∴仅唯一正整数解n=3,对应三边的长为3,4,5,
∴只有一组三个连续正整数能构成直角三角形.
根据题意,得n²+(n+1)²=(n+2)²,
整理,得n²-2n-3=0,
解得n₁=3,n₂=-1(不合题意,舍去),
∴仅唯一正整数解n=3,对应三边的长为3,4,5,
∴只有一组三个连续正整数能构成直角三角形.
【变式】正方形$ABCD$的边长为2，问边$AB$上是否存在点$E$，使得$∠ DEC = 90°$？若存在，求出$AE$的长；若不存在，说明理由。
答案
不存在.理由如下:设AE=x,则EB=2-x,
DE²=2²+x²=x²+4,
CE²=2²+(2-x)²=(2-x)²+4,
CD²=4.
假设存在,由∠DEC=90°,得
DE²+CE²=CD²,即x²+4+(2-x)²+4=4,
∴x²-2x+4=0.
∵Δ=4-16=-12＜0,
∴方程无实数根,
∴不存在点E,使得∠DEC=90°.
DE²=2²+x²=x²+4,
CE²=2²+(2-x)²=(2-x)²+4,
CD²=4.
假设存在,由∠DEC=90°,得
DE²+CE²=CD²,即x²+4+(2-x)²+4=4,
∴x²-2x+4=0.
∵Δ=4-16=-12＜0,
∴方程无实数根,
∴不存在点E,使得∠DEC=90°.
【例2】如图，用 30 m 的篱笆靠墙围成一个100 m²的矩形养鸡场.已知墙长 18 m，求该养鸡场中垂直于墙的边长.
答案
解:设该养鸡场中垂直于墙的边长为x m,平行于墙的边长为(30-2x) m.
根据题意,得x(30-2x)=100,
解得x₁=5,x₂=10.
当x=5时,30-2x=30-2×5=20,
∵20＞18,不符合墙长限制,故舍去;
当x=10时,30-2x=30-2×10=10,
∵10＜18,符合墙长限制,
∴该养鸡场中垂直于墙的边长为10 m.
根据题意,得x(30-2x)=100,
解得x₁=5,x₂=10.
当x=5时,30-2x=30-2×5=20,
∵20＞18,不符合墙长限制,故舍去;
当x=10时,30-2x=30-2×10=10,
∵10＜18,符合墙长限制,
∴该养鸡场中垂直于墙的边长为10 m.
【变式】如图，阳光中学有一块长42 m，宽32 m的矩形空地，计划在这块空地上铺设道路（图中阴影部分），其余部分铺设草坪，小明同学设计了一个宽度相同的道路，若要使铺设草坪的面积和为1 200 m²，则道路的宽度为
课后提升
分层评价，培育核心素养
5
m.课后提升
分层评价，培育核心素养
答案
道路的宽度为5 m.
1.如图，一边靠墙，其他三边用50 m长的篱笆围成一个面积为180 m²的矩形花圃ABCD.设边AB的长为x m，则下列方程正确的是（
A.$x(50-x)=180$
B.$x(50-2x)=180$
C.$x(25-x)=180$
D.$25(2x-25)=180$
B
）A.$x(50-x)=180$
B.$x(50-2x)=180$
C.$x(25-x)=180$
D.$25(2x-25)=180$
答案
1. B
2. 一直角三角形的面积为6，其两直角边的和为7，则斜边长为（
A.$\sqrt{37}$
B.5
C.$\sqrt{38}$
D.7
B
）A.$\sqrt{37}$
B.5
C.$\sqrt{38}$
D.7
答案
2. B
3. 如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长. 若设这个直角三角形的斜边长为 $ x $，则可列方程
$(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
.答案
3. $(x-2)^2+(x-1)^2=x^2$
