2. 已知关于$x$的一元二次方程$3x^2 -2x +m=0$有两个根，其中一个根为$x=1$，则这两个根的积为（）

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{3}$

D

3.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + bx + c = 0$的两根分别为$x_1=1,x_2=-2$，则$b$与$c$的值分别为（）

A.$b=-1,c=2$
B.$b=1,c=-2$
C.$b=1,c=2$
D.$b=-1,c=-2$

B

4. (2025长沙期末)已知关于x的一元二次方程$x^2 -2x +a^2 -1=0$有一个根是$x=0$，则另外一个根是$x=$。

2

5. (2025 岳阳期末)一元二次方程 $x^2 - 2x - 2025 = 0$ 与 $x^2 - x - 2026 = 0$ 的所有实数根的和等于 。

3

6. (2025湘潭期中)已知α,β是一元二次方程$x^2 - 2025x + 2024 = 0$的两个实数根，则代数式$(α - 2025)(β - 2025)$的值为。

2 024

7.已知$α,β$是一元二次方程$x^2 - 2x - 2026=0$的两个实数根，则$α^2 -4α -2β -2$的值为。

2 020

8.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程$x^2 -6x +4=0$的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是。

$2\sqrt{7}$

9.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2.$
(1)求$k$的取值范围；
(2)若$(x_1-1)(x_2-1)=11$，求$k$的值.

(1) $\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+1)=4k-3$.
$\because$方程有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta＞0$，即 $4k-3＞0$，解得 $k＞\frac{3}{4}$.
(2) $\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(2k+1)x+k^2+1=0$ 有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$，
$\therefore x_1+x_2=-(2k+1)$，$x_1x_2=k^2+1$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=11$.
$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=11$，
$\therefore k^2+1+(2k+1)+1=11$，解得 $k_1=-4$，$k_2=2$.
$\because k＞\frac{3}{4}$，$\therefore k=2$.

10. 在数学研究课上,小明发现了一个有趣的现象:有些看似和一元二次方程不沾边的问题,只要巧妙构造一元二次方程,利用根与系数的关系就能轻松解决.他随即抛出了两个问题,邀请同学们一起探究.
(1)若实数 $a$ ,$b$ 满足 $a^2 -5a +1=0$,$b^2 -5b +1=0$,则 $\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 的值为 ;
(2)若实数 $p$ ,$q$ 满足 $p^2 -2p =m$,$\frac{1}{2}q^2 -q=\frac{1}{2}m$,且 $p≠q$,求 $(q^2 +1)(2p +1 +m)$ 的取值范围.

(1) 23 或 2
(2) 将方程 $\frac{1}{2}q^2 -q=\frac{1}{2}m$ 两边同乘以 2，得 $q^2-2q=m$.
$\because$ 实数 $p,q$ 满足 $p^2-2p=m$，$q^2-2q=m$ 且 $p≠ q$，
$\therefore p,q$ 是方程 $x^2-2x-m=0$ 的两个不相等的实数根，
$\therefore p+q=2$，$pq=-m$，$q^2=2q+m$，
$\therefore (q^2+1)(2p+1+m)=(2q+m+1)(2p+1+m)=4pq+2q(1+m)+2p(1+m)+(1+m)^2=4pq+2(1+m)·(p+q)+(1+m)^2=-4m+4(1+m)+(1+m)^2=(m+1)^2+4$.
又 $\because p,q$ 是方程 $x^2-2x-m=0$ 的两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta=4+4m＞0$，解得 $m＞-1$，
$\therefore (m+1)^2+4＞4$，
$\therefore (q^2+1)(2p+1+m)＞4$.