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一、选择题
1. 如图1，$\odot O$中弦$AB$垂直于直径$CD$于点$E$，有下列结论：①$AE=BE$；②$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；③$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；④$EO=ED$. 其中正确的有(
A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①④
1. 如图1，$\odot O$中弦$AB$垂直于直径$CD$于点$E$，有下列结论：①$AE=BE$；②$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$；③$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$；④$EO=ED$. 其中正确的有(
B
)A.①②③④
B.①②③
C.②③④
D.①④
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。先明确题目已知条件：CD是⊙O的直径，且CD垂直弦AB于E，完全符合垂径定理的适用条件，接下来我们逐个验证四个结论的正误，即可选出正确选项。要注意没有给出的条件不能自行默认成立。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E：
1. 直径CD平分弦AB，因此$AE=BE$，结论①正确；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，因此劣弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，优弧$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，结论②③正确；
3. 结论④$EO=ED$成立需要满足AB平分半径OD，题中未给出该条件，无法证明$EO=ED$，因此结论④错误。
综上，正确的结论为①②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题关键是熟记垂径定理的条件和对应结论，注意不要自行添加题目未给出的条件进行判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆垂径定理的内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。先明确题目已知条件：CD是⊙O的直径，且CD垂直弦AB于E，完全符合垂径定理的适用条件，接下来我们逐个验证四个结论的正误，即可选出正确选项。要注意没有给出的条件不能自行默认成立。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。
已知CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E：
1. 直径CD平分弦AB，因此$AE=BE$，结论①正确；
2. 直径CD平分弦AB所对的两条弧，因此劣弧$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，优弧$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，结论②③正确；
3. 结论④$EO=ED$成立需要满足AB平分半径OD，题中未给出该条件，无法证明$EO=ED$，因此结论④错误。
综上，正确的结论为①②③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆的基本性质
【点评】
本题是垂径定理的基础应用题型，解题关键是熟记垂径定理的条件和对应结论，注意不要自行添加题目未给出的条件进行判断。
【难度系数】
0.8
2. 如图2,已知$\odot O$的半径为5 mm,弦AB的长为8 mm,则圆心O到AB的距离是(
A.1 mm
B.2 mm
C.3 mm
D.4 mm
C
)A.1 mm
B.2 mm
C.3 mm
D.4 mm
答案
2. C
解析
【分析】
要求圆心O到弦AB的距离，可结合垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理计算弦心距即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，OC即为圆心O到AB的距离。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{mm}$
已知$\odot O$的半径$OA=5\ \mathrm{mm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
代入数值计算：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{mm}$
因此圆心O到AB的距离为3mm，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理
2.勾股定理
【点评】
本题是圆中基础计算类题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算，属于常考基础考点。
【难度系数】
0.8
要求圆心O到弦AB的距离，可结合垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理计算弦心距即可。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，OC即为圆心O到AB的距离。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{mm}$
已知$\odot O$的半径$OA=5\ \mathrm{mm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC^2 + AC^2 = OA^2$
代入数值计算：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{mm}$
因此圆心O到AB的距离为3mm，选C。
【答案】
C
【知识点】
1.垂径定理
2.勾股定理
【点评】
本题是圆中基础计算类题型，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的相关计算转化为直角三角形的边长计算，属于常考基础考点。
【难度系数】
0.8
3. 下列命题中,正确的是(
A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
D
)A.圆只有一条对称轴
B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条
C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴
D.圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心概念：一是对称轴的定义为直线，沿直线对折后图形两侧可完全重合；二是圆是轴对称图形，所有过圆心的直线都能让圆对折后重合。接下来带着这两个认知逐一排查选项：先排除对称轴数量错误的A、B选项，再排除混淆线段和直线概念的C选项，最终锁定正确答案。
【解析】
首先明确对称轴的定义：对称轴是能够使图形沿其对折后，直线两侧部分完全重合的直线，属于直线，不是线段。
对各选项逐一分析：
A. 圆沿任意经过圆心的直线对折都可重合，对称轴数量远不止1条，该选项错误；
B. 经过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，并非有限条，该选项错误；
C. 直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，而对称轴是直线，不能说直径是圆的对称轴，该选项错误；
D. 经过圆心的每条直线都能让圆对折后两侧完全重合，是圆的对称轴，且共有无数条，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的轴对称性、对称轴的定义、直径的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见的易错点是误将直径（线段）等同于对称轴（直线），只要牢牢掌握对称轴是直线、圆的对称轴均经过圆心这两个要点，就能快速避开干扰项得出正确结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心概念：一是对称轴的定义为直线，沿直线对折后图形两侧可完全重合；二是圆是轴对称图形，所有过圆心的直线都能让圆对折后重合。接下来带着这两个认知逐一排查选项：先排除对称轴数量错误的A、B选项，再排除混淆线段和直线概念的C选项，最终锁定正确答案。
【解析】
首先明确对称轴的定义：对称轴是能够使图形沿其对折后，直线两侧部分完全重合的直线，属于直线，不是线段。
对各选项逐一分析：
A. 圆沿任意经过圆心的直线对折都可重合，对称轴数量远不止1条，该选项错误；
B. 经过圆心的直线有无数条，因此圆的对称轴有无数条，并非有限条，该选项错误；
C. 直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，而对称轴是直线，不能说直径是圆的对称轴，该选项错误；
D. 经过圆心的每条直线都能让圆对折后两侧完全重合，是圆的对称轴，且共有无数条，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的轴对称性、对称轴的定义、直径的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，常见的易错点是误将直径（线段）等同于对称轴（直线），只要牢牢掌握对称轴是直线、圆的对称轴均经过圆心这两个要点，就能快速避开干扰项得出正确结论。
【难度系数】
0.7
4. 数学活动课上,同学们要测一个如图3所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD,交弦AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(
A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
C
)A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
答案
4. C
解析
【分析】
本题是利用垂径定理求残缺圆半径的实际应用题，解题思路如下：首先根据垂直平分线的性质可知，残缺圆的圆心必在AB的垂直平分线CD上，我们可设圆的半径为r，再连接圆心与点A构造直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
设该残缺圆形工件的圆心为O，半径为$ r\ \mathrm{cm} $，连接$ OA $。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm} $，且$ CD⊥ AB $。
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{cm} $，$ CD=10\ \mathrm{cm} $，
∴ $ OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ODA $中，由勾股定理得：$ OA^2=OD^2+AD^2 $，
代入数据得：$ r^2=(r-10)^2+20^2 $，
展开计算：$ r^2=r^2-20r+100+400 $，
移项化简得：$ 20r=500 $，
解得：$ r=25 $。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于垂径定理的典型应用题型，解题核心是通过弦的垂直平分线确定圆心位置，构造直角三角形将圆的半径、弦长的一半、弦心距三个量关联起来，结合方程思想求解，是圆中线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题是利用垂径定理求残缺圆半径的实际应用题，解题思路如下：首先根据垂直平分线的性质可知，残缺圆的圆心必在AB的垂直平分线CD上，我们可设圆的半径为r，再连接圆心与点A构造直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解半径即可。
【解析】
设该残缺圆形工件的圆心为O，半径为$ r\ \mathrm{cm} $，连接$ OA $。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，$ AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20\ \mathrm{cm} $，且$ CD⊥ AB $。
∵ $ OA=OC=r\ \mathrm{cm} $，$ CD=10\ \mathrm{cm} $，
∴ $ OD=OC-CD=(r-10)\ \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt}△ ODA $中，由勾股定理得：$ OA^2=OD^2+AD^2 $，
代入数据得：$ r^2=(r-10)^2+20^2 $，
展开计算：$ r^2=r^2-20r+100+400 $，
移项化简得：$ 20r=500 $，
解得：$ r=25 $。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题属于垂径定理的典型应用题型，解题核心是通过弦的垂直平分线确定圆心位置，构造直角三角形将圆的半径、弦长的一半、弦心距三个量关联起来，结合方程思想求解，是圆中线段计算的常见考法。
【难度系数】
0.7
