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5. 如图4，P为$\odot O$的弦AB上的点，$PA=6$，$PB=2$，$\odot O$的半径为5，则$OP$的长为(
A.3
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
C
)A.3
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案
5. C
解析
【分析】
要计算OP的长度，我们可以结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再计算出垂足到点P的距离，随后用勾股定理先求出圆心到AB的垂线段长度，最后再次利用勾股定理即可求出OP的长。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，连接$OA$。
由题意得，$AB=PA+PB=6+2=8$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4$，
则$PC=PA-AC=6-4=2$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC^2=OA^2-AC^2=5^2-4^2=9$，即$OC=3$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$OP^2=OC^2+PC^2=3^2+2^2=13$，因此$OP=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，作垂直于弦的直径是解决弦相关计算的常用辅助线，将问题转化为直角三角形的计算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算OP的长度，我们可以结合垂径定理构造直角三角形求解：首先过圆心作弦AB的垂线，利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再计算出垂足到点P的距离，随后用勾股定理先求出圆心到AB的垂线段长度，最后再次利用勾股定理即可求出OP的长。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，连接$OA$。
由题意得，$AB=PA+PB=6+2=8$，
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AC=BC=\frac{1}{2}AB=4$，
则$PC=PA-AC=6-4=2$。
在$Rt△ OAC$中，$OA=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$OC^2=OA^2-AC^2=5^2-4^2=9$，即$OC=3$。
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$OP^2=OC^2+PC^2=3^2+2^2=13$，因此$OP=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题，作垂直于弦的直径是解决弦相关计算的常用辅助线，将问题转化为直角三角形的计算即可快速求解。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 垂直于弦的直径
1. 垂直于弦的直径
平分
这条弦，并且平分此弦所对的两条弧
。答案
1. 平分，弧
解析
【分析】
本题考查垂径定理的基础内容，解题时只需回忆垂径定理的具体表述即可作答：垂径定理明确说明了垂直于弦的直径的两个核心性质，一是对弦的作用，二是对弦所对的弧的作用，对应填入相关内容即可。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分此弦所对的两条弧，因此第一个空填“平分”，第二个空填“弧”。
【答案】
平分，弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对核心定理内容的记忆掌握，只要熟练记住垂径定理的表述就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查垂径定理的基础内容，解题时只需回忆垂径定理的具体表述即可作答：垂径定理明确说明了垂直于弦的直径的两个核心性质，一是对弦的作用，二是对弦所对的弧的作用，对应填入相关内容即可。
【解析】
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分此弦所对的两条弧，因此第一个空填“平分”，第二个空填“弧”。
【答案】
平分，弧
【知识点】
垂径定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对核心定理内容的记忆掌握，只要熟练记住垂径定理的表述就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图5，$\odot O$的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB(包括端点A,B)上移动，则OM的取值范围是
$3≤ OM≤5$
.答案
2. $3≤ OM≤5$
解析
【分析】
要确定OM的取值范围，需先找到OM的最小值和最大值：根据“点到线段的所有连线中，垂线段最短”，可知当OM垂直于AB时，OM长度最小；当点M与弦AB的端点A或B重合时，OM长度最大，等于圆的半径。接下来可借助垂径定理和勾股定理计算最短OM的长度，即可得到取值范围。
【解析】
过点O作$OC⊥AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
已知$\odot O$半径$OA=5$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
因为点M在线段AB上移动：
当M与垂足C重合时，OM取最小值3；
当M与端点A（或B）重合时，OM取最大值，等于半径5。
因此OM的取值范围是$3≤ OM≤5$。
【答案】
$3≤ OM≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值判定
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题的核心是先明确OM取最值的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算对应长度，熟练掌握垂径定理的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定OM的取值范围，需先找到OM的最小值和最大值：根据“点到线段的所有连线中，垂线段最短”，可知当OM垂直于AB时，OM长度最小；当点M与弦AB的端点A或B重合时，OM长度最大，等于圆的半径。接下来可借助垂径定理和勾股定理计算最短OM的长度，即可得到取值范围。
【解析】
过点O作$OC⊥AB$于点C，连接OA。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$
已知$\odot O$半径$OA=5$，在$Rt△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$
因为点M在线段AB上移动：
当M与垂足C重合时，OM取最小值3；
当M与端点A（或B）重合时，OM取最大值，等于半径5。
因此OM的取值范围是$3≤ OM≤5$。
【答案】
$3≤ OM≤5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，最值判定
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，解题的核心是先明确OM取最值的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算对应长度，熟练掌握垂径定理的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 在半径为6 cm的圆中,垂直平分半径的弦长为
$6\sqrt{3}$
cm.答案
3. $6\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先根据题意画出示意图，明确已知条件：圆的半径为6cm，弦垂直平分半径，因此弦与半径的交点到圆心的距离为半径的一半，即3cm。接下来回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，我们可以连接圆心和弦的一个端点，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理求出半弦长，将半弦长乘2即可得到完整的弦长。
【解析】
设⊙O的半径为6cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D。
∵ OC是⊙O的半径，
∴ OC=6cm，
∵ AB垂直平分OC，
∴ $OD=\frac{1}{2}OC=3cm$，且$AB⊥OC$，
连接OA，根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ODA$中，OA=6cm，OD=3cm，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2AD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，结合勾股定理求解，掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题意画出示意图，明确已知条件：圆的半径为6cm，弦垂直平分半径，因此弦与半径的交点到圆心的距离为半径的一半，即3cm。接下来回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，我们可以连接圆心和弦的一个端点，构造出由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形，再利用勾股定理求出半弦长，将半弦长乘2即可得到完整的弦长。
【解析】
设⊙O的半径为6cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D。
∵ OC是⊙O的半径，
∴ OC=6cm，
∵ AB垂直平分OC，
∴ $OD=\frac{1}{2}OC=3cm$，且$AB⊥OC$，
连接OA，根据垂径定理可得：$AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
在$Rt△ODA$中，OA=6cm，OD=3cm，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{OA^2 - OD^2}=\sqrt{6^2 - 3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴ $AB=2AD=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$6\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题关键是构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，结合勾股定理求解，掌握垂径定理是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
4. M是$\odot O$内一点，已知在$\odot O$中，过点M的最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM =
3
cm.答案
4. 3
解析
【分析】
解题时首先回忆圆中弦的相关性质：①过圆内一点的最长弦是圆的直径，由此可先求出圆的半径；②过圆内一点的最短弦是与过该点的直径互相垂直的弦，此时结合垂径定理可求出最短弦的一半长度；最后根据半径、半弦长、圆心到弦的距离（即OM）构成直角三角形，利用勾股定理即可求出OM的长度。
【解析】
∵ 过圆内一点的最长弦为圆的直径，已知过M的最长弦为10 cm
∴ ⊙O的直径为10 cm，半径$r = 10÷2 = 5$ cm
过点M作垂直于过M的直径的弦AB，此时AB为过M的最短弦，即$AB = 8$ cm
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$ cm
在$Rt△ OAM$中，OA为⊙O的半径即$OA=5$ cm，$AM=4$ cm，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ cm
【答案】
3
【知识点】
圆的弦的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题核心是牢记过圆内定点的最长弦为直径、最短弦与过该点的直径垂直这两个规律，再结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是垂径定理应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆中弦的相关性质：①过圆内一点的最长弦是圆的直径，由此可先求出圆的半径；②过圆内一点的最短弦是与过该点的直径互相垂直的弦，此时结合垂径定理可求出最短弦的一半长度；最后根据半径、半弦长、圆心到弦的距离（即OM）构成直角三角形，利用勾股定理即可求出OM的长度。
【解析】
∵ 过圆内一点的最长弦为圆的直径，已知过M的最长弦为10 cm
∴ ⊙O的直径为10 cm，半径$r = 10÷2 = 5$ cm
过点M作垂直于过M的直径的弦AB，此时AB为过M的最短弦，即$AB = 8$ cm
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可得：
$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4$ cm
在$Rt△ OAM$中，OA为⊙O的半径即$OA=5$ cm，$AM=4$ cm，由勾股定理得：
$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ cm
【答案】
3
【知识点】
圆的弦的性质、垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题核心是牢记过圆内定点的最长弦为直径、最短弦与过该点的直径垂直这两个规律，再结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，是垂径定理应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
5*. 半径为2 cm的圆中，有一条长为2 cm的弦，则圆心到这条弦的距离为
$\sqrt{3}$
cm.答案
5. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
遇到求圆心到弦的距离的问题，首先联想到垂径定理，我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：第一步，过圆心作已知弦的垂线；第二步，利用垂径定理求出半弦的长度；第三步，结合半径、半弦长、弦心距构成直角三角形的三边关系，用勾股定理计算出弦心距即可。
【解析】
设圆的圆心为O，已知弦为AB，AB=2cm，过点O作OC⊥AB，垂足为C。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
已知圆的半径$OA=2\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的计算问题转化为直角三角形边长求解问题，属于垂径定理应用的常规考法。
【难度系数】
0.8
遇到求圆心到弦的距离的问题，首先联想到垂径定理，我们可以通过作辅助线构造直角三角形求解：第一步，过圆心作已知弦的垂线；第二步，利用垂径定理求出半弦的长度；第三步，结合半径、半弦长、弦心距构成直角三角形的三边关系，用勾股定理计算出弦心距即可。
【解析】
设圆的圆心为O，已知弦为AB，AB=2cm，过点O作OC⊥AB，垂足为C。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1\mathrm{cm}$。
已知圆的半径$OA=2\mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题关键是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的计算问题转化为直角三角形边长求解问题，属于垂径定理应用的常规考法。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图6，在半径为2的$\odot O$中，已知$∠ AOB=120°$，求弦$AB$的长.
1. 如图6，在半径为2的$\odot O$中，已知$∠ AOB=120°$，求弦$AB$的长.
答案
1. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要求弦AB的长度，首先已知⊙O半径为2，可得OA=OB=2，△OAB是顶角为120°的等腰三角形。我们可以通过作辅助线：过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理可知该垂线既平分AB，也平分圆心角∠AOB，这样就能将原问题转化为解直角三角形的问题，通过直角三角形的边角关系求出半弦长，再乘以2即可得到AB的全长。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，
∴ $∠ ACO=90°$，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，且$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OA=2$，
$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴ $AC=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ $AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题，掌握相关定理和特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要求弦AB的长度，首先已知⊙O半径为2，可得OA=OB=2，△OAB是顶角为120°的等腰三角形。我们可以通过作辅助线：过圆心O作AB的垂线，结合垂径定理可知该垂线既平分AB，也平分圆心角∠AOB，这样就能将原问题转化为解直角三角形的问题，通过直角三角形的边角关系求出半弦长，再乘以2即可得到AB的全长。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，
∴ $∠ ACO=90°$，
根据垂径定理可得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$，且$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，$OA=2$，
$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴ $AC=OA·\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
∴ $AB=2AC=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，等腰三角形性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是通过作垂线构造直角三角形，结合垂径定理将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题，掌握相关定理和特殊角的三角函数值即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载:今有圆材埋于壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何? 大意是,如图7,今有一圆柱形木材,其部分埋在了墙壁中,不知其大小,用锯去锯这木材,锯口深CD等于1寸,弦AB长1尺,问圆形木材的直径是多少?(1尺=10寸)
答案
2. 连接OA、OC,如图所示
. 由题意得:C为AB的中点,则O、C、D三点共线,OC⊥AB,$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=5$寸.
设圆的半径为x寸,则OC=(x-1)寸.
在Rt△OAC中,由勾股定理得:$5^2+(x-1)^2=x^2$,解得:x=13.
$\therefore$圆材直径为2×13=26(寸).
解析
【分析】
这是垂径定理结合勾股定理解决实际问题的典型题目，解题思路如下：首先将实际条件转化为几何量：锯道AB是圆O的弦，锯深CD是弓形的高，即半径与弦心距的差。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此连接半径OA、OC后，可得OC垂直AB，且C是AB中点，即可求出AC的长度；接下来设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△OAC的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
解：连接OA、OC，如图所示。
由题意可知O、C、D三点共线，且OC⊥AB，根据垂径定理可得C为AB的中点，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB$，
∵1尺=10寸，AB=1尺，
$\therefore AC=\frac{1}{2}×10=5$寸。
设圆O的半径为x寸，则OC=(x-1)寸，OA=x寸，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC^2+OC^2=OA^2$，即$5^2+(x-1)^2=x^2$，
展开化简解得：$x=13$，
$\therefore$圆形木材的直径为$2x=2×13=26$寸。
【答案】
连接OA、OC,如图所示. 由题意得:C为AB的中点,则O、C、D三点共线,OC⊥AB,
$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=5$寸.
设圆的半径为x寸,则OC=(x-1)寸.
在Rt△OAC中,由勾股定理得:$5^2+(x-1)^2=x^2$,解得:x=13.
$\therefore$圆材直径为2×13=26(寸).
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想应用
【点评】
本题取材于古代数学经典问题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何关系转化为方程求解，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是垂径定理结合勾股定理解决实际问题的典型题目，解题思路如下：首先将实际条件转化为几何量：锯道AB是圆O的弦，锯深CD是弓形的高，即半径与弦心距的差。根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此连接半径OA、OC后，可得OC垂直AB，且C是AB中点，即可求出AC的长度；接下来设圆的半径为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△OAC的各边长度，再利用勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
解：连接OA、OC，如图所示
。由题意可知O、C、D三点共线，且OC⊥AB，根据垂径定理可得C为AB的中点，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB$，
∵1尺=10寸，AB=1尺，
$\therefore AC=\frac{1}{2}×10=5$寸。
设圆O的半径为x寸，则OC=(x-1)寸，OA=x寸，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC^2+OC^2=OA^2$，即$5^2+(x-1)^2=x^2$，
展开化简解得：$x=13$，
$\therefore$圆形木材的直径为$2x=2×13=26$寸。
【答案】
连接OA、OC,如图所示
. 由题意得:C为AB的中点,则O、C、D三点共线,OC⊥AB,$\therefore AC=BC=\frac{1}{2}AB=5$寸.
设圆的半径为x寸,则OC=(x-1)寸.
在Rt△OAC中,由勾股定理得:$5^2+(x-1)^2=x^2$,解得:x=13.
$\therefore$圆材直径为2×13=26(寸).
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想应用
【点评】
本题取材于古代数学经典问题，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，将几何关系转化为方程求解，能够考查学生将实际问题转化为数学模型的能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
